En geometría, un toro se define como un objeto tridimensional formado al girar un círculo pequeño (con radio r) a lo largo de una línea formada por un círculo más grande (con radio R). Un toro es una superficie de la revolución creada al girar un círculo en un espacio tridimensional alrededor de un eje que es coplanar con el círculo. Tiene una forma similar a una dona. Como resultado, tiene un radio tanto interior como exterior.
Volumen de una fórmula toroide
Un toro no es un poliedro y no tiene vértices ni aristas. Si el radio del área de su sección transversal circular es r y el radio del círculo trazado por el centro de las secciones transversales es R, el volumen del toro viene dado por la fórmula:
V = 2π 2 r 2 R
dónde,
r es el radio del círculo más pequeño,
R es el radio del círculo más grande,
π (Pi) es una constante con el valor 3.14159.
Derivación
Supongamos que el toro se obtiene girando una región circular cuyo centro está en (0, R) con la ecuación:
x 2 + (y – R) 2 = r 2
Ahora, sabemos que esta región circular se encuentra entre las curvas, x =
e y =
.
Usando el método de Washer, el volumen del toro sólido dado se puede escribir como,
V =
=
=
=
= (4πR) (1/2) (πr 2 )
= 2π 2 r 2 R
Esto deriva la fórmula para el volumen de un toro.
![\pi\int^{r}_{-r}\left[(\sqrt{r^2-x^2}+R)^2-(-\sqrt{r^2-x^2}+R) ^2\right]dx](https://www.geeksforgeeks.org/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-88d9194199a7c467d7e5a3431e290a5d_l3.png "Procesado por QuickLaTeX.com")
![\pi\int^{r}_{-r}\left[r^2-x^2+R^2+2R\sqrt{r^2-x^2}-(R^2-r^2+ x^2-2R\sqrt{r^2-x^2}\right]dx](https://www.geeksforgeeks.org/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-8efcda51b0703a9391c8e7806d1a8934_l3.png "Procesado por QuickLaTeX.com")
![\pi\int^{r}_{-r}\left[r^2-x^2+R^2+2R\sqrt{r^2-x^2}-R^2+r^2-x ^2+2R\sqrt{r^2-x^2}\right]dx](https://www.geeksforgeeks.org/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-2be79c4371c703877e94f455852bfbb4_l3.png "Procesado por QuickLaTeX.com")
Problemas de muestra
Problema 1. Encuentra el volumen del toro con un radio interior de 7 cm y un radio exterior de 14 cm.
Solución:
Tenemos, r = 7 y R = 14.
Usando la fórmula para el volumen del toro que tenemos,
V = 2π 2 r 2 R
= 2 (22/7) 2 (7) 2 (14)
= 2 (22) (22) (14)
= 13552 pies cúbicos. cm
Problema 2. Encuentra el volumen del toro con un radio interior de 14 cm y un radio exterior de 18 cm.
Solución:
Tenemos, r = 14 y R = 18.
Usando la fórmula para el volumen del toro que tenemos,
V = 2π 2 r 2 R
= 2 (22/7) 2 (14) 2 (18)
= 2 (22) (22) (2) (2) (14)
= 54208 pies cúbicos. cm
Problema 3. Encuentra el radio interior del toro si su volumen es 5040 cu. cm y el radio exterior es de 14 cm.
Solución:
Tenemos, V = 5040 y R = 14.
Usando la fórmula para el volumen del toro que tenemos,
V = 2π 2 r 2 R
=> 5040 = 2 (22/7) 2 (r) 2 (14)
=> 5040 = 2 (22/7) (22) (r 2 ) (2)
=> 5040 = 276,57 r 2
=> r2 = 18,22
=> r = 4,26 cm
Problema 4. Encuentra el radio exterior del toro si su volumen es 4400 cu. cm y el radio interior es de 7 cm.
Solución:
Tenemos, V = 4400 y r = 7.
Usando la fórmula para el volumen del toro que tenemos,
V = 2π 2 r 2 R
=> 4400 = 2 (22/7) 2 (7) 2 (R)
=> 4400 = 2 (22) (R)
=> 4400 = 44R
=> R = 4400/44
=> R = 100 cm
Problema 5. Encuentra la diferencia entre el radio exterior e interior del toro si su volumen es 2640 cu. cm y el radio interior es de 14 cm.
Solución:
Tenemos, V = 2640 y r = 14.
Usando la fórmula para el volumen del toro que tenemos,
V = 2π 2 r 2 R
=> 2640 = 2 (22/7) 2 (14) 2 (R)
=> 2640 = 2 (22) (4) (R)
=> 2640 = 176R
=> R = 2640/176
=> R = 15
Entonces, la diferencia requerida es, R – r = 15 – 7 = 8 cm.