Fórmula tangente 3 theta

La trigonometría es el estudio de la relación entre las proporciones de los lados de un triángulo rectángulo y sus ángulos. Varias razones trigonométricas como seno, coseno, tangente, cotangente, secante y cosecante se utilizan para examinar este campo de estudio. La trigonometría se forma a partir de los nombres ‘Trigonon’ y ‘Metron’, que representan un triángulo y una medida, respectivamente. Es el estudio de la conexión entre los lados y los ángulos de un triángulo rectángulo. Por lo tanto, ayuda a calcular las dimensiones desconocidas de un triángulo rectángulo mediante el uso de ecuaciones e identidades basadas en esta relación.

Relación trigonométrica tangente

La razón de dos lados cualesquiera de un triángulo rectángulo se llama razón trigonométrica. La razón de tangente se define como la razón de la longitud del lado opuesto de un ángulo dividida por la longitud del lado adyacente.

Si θ es el ángulo formado por la base y la hipotenusa de un triángulo rectángulo, entonces,

tan θ = Perpendicular/Base = sen θ/ cos θ

Aquí, la perpendicular es el lado opuesto al ángulo y la base es el lado adyacente a él.

Tangente 3 Theta (Tan 3 θ ) Fórmula

Tan3θ es una identidad de triple ángulo en trigonometría. Es una identidad trigonométrica crucial que se utiliza para resolver una variedad de problemas trigonométricos y de integración. Es una función trigonométrica que devuelve el valor de la función tan para un ángulo triple. Alternativamente, puede escribirse como tan3θ = sen 3θ/cos 3θ ya que la función tangente es una relación de las funciones seno y coseno. El valor de tan3θ se repite cada π/3 radianes, tan3θ = tan (3θ + π/3). Su gráfica es más delgada que la gráfica de tan θ.

Derivación

La fórmula para Tangente 3 theta se obtiene usando la fórmula de suma de ángulos para las relaciones Tangente theta y Tangente 2 theta.

Para demostrar que tan 3θ = (3 tan θ – tan ³ θ) / (1 – 3 tan ² θ), escribimos 3θ como (2θ + θ).

LHS = bronceado 3θ 

= bronceado (2θ + θ)

Utilice la fórmula tan (x + y) = (tan x + tan y) / (1 – tan x tan y)

= (tan 2θ + tan θ)/ (1 – tan 2θ tan θ)

Use la fórmula tan 2x = (2 tan x) / (1 – tan ² x) para tan 2θ.

= [(2 tan θ / (1 – tan ² θ)) + tan θ] / [1 – (2 tan θ / (1 – tan ² θ)) tan θ]

= (tan θ – tan ³ θ + 2 tan θ) / (1 – tan ² θ – 2 tan ² θ)

= (3 tan θ – tan ³ θ) / (1 – 3 tan ² θ) 

= lado derecho

Esto deriva la fórmula para la relación tangente 3 theta.

Problemas de muestra

Problema 1. Si tan θ = 3/4, encuentra el valor de tan 3θ usando la fórmula.

Solución:

Tenemos, tan θ = 3/4.

Usando la fórmula que obtenemos,

tan 3θ = (3 tan θ – tan ³ θ) / (1 – 3 tan ² θ)

= (3 (3/4) – (3/4) ³ ) / (1 – 3 (3/4) ² )

= (9/4 – 27/64) / (1 – 3 (9/16))

= (117/64) / (-11/16)

= -117/44

Problema 2. Si tan θ = 12/5, encuentra el valor de tan 3θ usando la fórmula.

Solución:

Tenemos, tan θ = 12/5.

Usando la fórmula que obtenemos,

tan 3θ = (3 tan θ – tan ³ θ) / (1 – 3 tan ² θ)

= (3 (12/5) – (12/5) ³ ) / (1 – 3 (12/5) ² )

= (36/5 – 1728/125) / (1 – 3 (144/25))

= (-828/125) / (-407/25)

= 828/2035

Problema 3. Si sen θ = 4/5, encuentra el valor de tan 3θ usando la fórmula.

Solución:

Tenemos, sen θ = 4/5.

Claramente cos θ = 3/5. Por lo tanto tenemos, tan θ = 4/3.

Usando la fórmula que obtenemos,

tan 3θ = (3 tan θ – tan ³ θ) / (1 – 3 tan ² θ)

= (3 (4/3) – (4/3) ³ ) / (1 – 3 (4/3) ² )

= (4 – 64/27) / (1 – 3 (16/9))

= (44/27) / (-13/3)

= -44/117

Problema 4. Si cos θ = 12/13, encuentre el valor de tan 3θ usando la fórmula.

Solución:

Tenemos, cos θ = 12/13.

Claramente sen θ = 5/13. Por lo tanto tenemos, tan θ = 5/12.

Usando la fórmula que obtenemos,

tan 3θ = (3 tan θ – tan ³ θ) / (1 – 3 tan ² θ)

= (3 (5/12) – (5/12) ³ ) / (1 – 3 (5/12) ² )

= (5/4 – 125/1728) / (1 – 3 (25/144))

= (2035/1728) / (19/144)

= 2035/228

Problema 5. Si sec θ = 17/8, encuentra el valor de tan 3θ usando la fórmula.

Solución:

Tenemos, sec θ = 17/8.

Encuentre el valor de tan θ usando la fórmula sec ² θ = 1 + tan ² θ.

tan θ = √((289/64) – 1)

= √(225/64)

= 15/8

Usando la fórmula que obtenemos,

tan 3θ = (3 tan θ – tan ³ θ) / (1 – 3 tan ² θ)

= (3 (15/8) – (15/8) ³ ) / (1 – 3 (15/8) ² )

= (45/8 – 3375/1728) / (1 – 3 (225/64))

= (72/25) / (64/675)

= 243/8

Problema 6. Encuentra el valor de tan 135° usando la fórmula tan 3x.

Solución:

Tenemos que encontrar el valor de tan 135°.

Tomemos 3x = 135

=> x = 135/3

=> x = 45°

Sabemos, tan 45° = 1.

Usando la fórmula tan 3x, obtenemos

tan 135° = (3 tan 45° – tan ³ 45°) / (1- 3 tan ² 45°)

= (3(1) – 1 ³ ) / (1 – 3 (1 ² ))

= (3 – 1) / (1 – 3)

= 2 / (-2)

= -1

Problema 7. Encuentra el valor de tan 75° usando la fórmula tan 3x.

Solución:

Tenemos que encontrar el valor de tan 75°.

Tomemos 3x = 75

=> x = 75/3

=> x = 25°

Lo sabemos, tan 25° = 0,47.

Usando la fórmula tan 3x, obtenemos

bronceado 75° = (3 bronceado 25° – bronceado ³ 25°) / (1- 3 bronceado ² 25°)

= (3(0,47) – (0,47) ³ ) / (1 – 3 (0,47) ² )

= (1,41 – 0,10) / (1 – 3 (0,22))

= (1,31) / (0,34)

= 3,85