La trigonometría es una rama de las matemáticas que utiliza razones trigonométricas para determinar los ángulos y los lados incompletos de un triángulo. Las razones trigonométricas como seno, coseno, tangente, cotangente, secante y cosecante se utilizan para investigar esta rama de las matemáticas. Es el estudio de cómo se relacionan los lados y los ángulos de un triángulo rectángulo. La trigonometría se compone de las palabras ‘Trigonon’ y ‘Metron’, que representan un triángulo y una medida, respectivamente. Al aplicar ecuaciones e identidades basadas en esta conexión, facilita la estimación de dimensiones desconocidas de un triángulo rectángulo.
Relación trigonométrica cotangente
La razón de las longitudes de dos lados cualesquiera de un triángulo rectángulo se llama razón trigonométrica. En trigonometría, estas razones relacionan la razón de los lados de un triángulo rectángulo con el ángulo. La razón de cotangente se expresa como la razón de la longitud del lado adyacente de un ángulo dividida por la longitud del lado opuesto. Se denota con el símbolo cuna.
Si θ es el ángulo que se encuentra entre la base y la hipotenusa de un triángulo rectángulo, entonces,
cot θ = Base/Perpendicular = cos θ/ sen θ
Aquí, la base es el lado adyacente al ángulo y la perpendicular es el lado opuesto a él.
Fórmula del medio ángulo de Cot (Cot θ /2)
En trigonometría, las fórmulas de medio ángulo generalmente se representan como θ/2, donde θ es el ángulo. Las ecuaciones de medio ángulo se utilizan para determinar los valores precisos de las relaciones trigonométricas de ángulos estándar, como 30°, 45° y 60°. Podemos obtener los valores de la razón para ángulos complejos como 22,5° (la mitad de 45°) o 15° (la mitad de 30°) usando los valores de la razón para estos ángulos ordinarios. El semiángulo cotangente se denota con la abreviatura cot θ/2. Es una función trigonométrica que devuelve el valor de la función cuna para medio ángulo. El período de la función cot θ es π, pero el período de cot θ/2 es 2π.
cot θ/2 = √((1 + cos θ)/(1 – cos θ))
Derivación
La fórmula para el medio ángulo cotangente se obtiene usando la fórmula del medio ángulo para el seno y el coseno.
Sabemos, sin θ/2 = ±√((1 – cos θ) / 2).
Encuentre cos θ/2 usando la identidad sen 2 θ + cos 2 θ = 1.
cos θ/2 = √(1 – (√((1 – cos θ) / 2)) 2 )
cos θ/2 = √(1 – ((1 – cos θ)/ 2))
cos θ/2 = √((2 – 1 + cos θ)/ 2)
cos θ/2 = √((1 + cos θ)/ 2)
Además, sabemos que cot θ/2 = cos (θ/2)/ sin (θ/2).
Entonces, obtenemos
cot θ/2 = √((1 + cos θ)/ 2)/ √((1 – cos θ)/ 2)
cot θ/2 = √((1 + cos θ)/(1 – cos θ))
Esto deriva la fórmula para la relación de ángulo medio cotangente.
Problemas de muestra
Problema 1. Si cos θ = 3/5, encuentra el valor de cot θ/2 usando la fórmula del medio ángulo.
Solución:
Tenemos, cos θ = 3/5.
Usando la fórmula que obtenemos,
cot θ/2 = √((1 + cos θ)/(1 – cos θ))
= √((1 + (3/5))/ (1 – (3/5)))
= √((8/5)/ (2/5))
= √4
= 2
Problema 2. Si cos θ = 12/13, encuentra el valor de cot θ/2 usando la fórmula del medio ángulo.
Solución:
Tenemos, cos θ = 12/13.
Usando la fórmula que obtenemos,
cot θ/2 = √((1 + cos θ)/(1 – cos θ))
= √((1 + (12/13))/ (1 – (12/13)))
= √((25/13)/ (1/13))
= √25
= 5
Problema 3. Si sen θ = 8/17, encuentra el valor de cot θ/2 usando la fórmula del medio ángulo.
Solución:
Tenemos, sen θ = 8/17.
Encuentra el valor de cos θ usando la fórmula sen 2 θ + cos 2 θ = 1.
cos θ = √(1 – (64/289))
= √(225/289)
= 15/17
Usando la fórmula que obtenemos,
cot θ/2 = √((1 + cos θ)/(1 – cos θ))
= √((1 + (15/17))/ (1 – (15/17)))
= √((32/17)/ (2/17))
= √16
= 4
Problema 4. Si sec θ = 5/4, encuentra el valor de cot θ/2 usando la fórmula del medio ángulo.
Solución:
Tenemos, sec θ = 5/4.
Usando cos θ = 1/seg θ, obtenemos cos θ = 4/5.
Usando la fórmula que obtenemos,
cot θ/2 = √((1 + cos θ)/(1 – cos θ))
= √((1 + (4/5))/ (1 – (4/5)))
= √((9/5)/ (1/5))
= √9
= 3
Problema 5. Si tan θ = 12/5, encuentra el valor de cot θ/2 usando la fórmula del medio ángulo.
Solución:
Tenemos, tan θ = 12/5.
Claramente, cos θ = 5/√(12 2 + 5 2 ) = 5/13
Usando la fórmula que obtenemos,
cot θ/2 = √((1 + cos θ)/(1 – cos θ))
= √((1 + (5/13))/ (1 – (5/13)))
= √((18/13)/ (8/5))
= √(18/8)
= √(9/4)
= 3/2
Problema 6. Si cot θ = 8/15, encuentra el valor de cot θ/2 usando la fórmula del medio ángulo.
Solución:
Tenemos, cot θ = 8/15.
Claramente, cos θ = 8/√(8 2 + 15 2 ) = 8/17
Usando la fórmula que obtenemos,
cot θ/2 = √((1 + cos θ)/(1 – cos θ))
= √((1 + (8/17))/ (1 – (8/17)))
= √((25/17)/ (9/17))
= √(25/9)
= 5/3
Problema 7. Encuentra el valor de cot 15° usando la fórmula del medio ángulo.
Solución:
Tenemos que encontrar el valor de cot 15°.
Tomemos θ/2 = 15°
=> θ = 30°
Usando la fórmula del medio ángulo que tenemos,
cot θ/2 = √((1 + cos θ)/(1 – cos θ))
= √((1 + cos 30°)/ (1 – cos 30°))
= √((1 + (√3/2))/ (1 – (√3/2)))
= √((2 + √3)/ (2 – √3))
= √(((2 + √3) (2 + √3))/ ((2 – √3) (2 + √3)))
= √((4 + 3 + 4√3)/ (4 – 3))
= √(7 + 4√3)