En matemáticas, la sumatoria es la suma básica de una sucesión de cualquier tipo de números, llamados sumandos o sumandos; el resultado es su suma o total. En Matemáticas los números, funciones, vectores, arrays, polinomios y, en general, los elementos de cualquier tipo de objeto matemático se pueden asociar a una operación llamada suma/suma que se denota como “+”.
La suma de una secuencia explícita se denota como una sucesión de adiciones. Por ejemplo, la suma de (1, 3, 4, 7) puede denotar en base 1 + 3 + 4 + 7, y el resultado de la notación anterior es 15, es decir, 1 + 3 + 4 + 7 = 15. Debido a que la operación de suma es tanto asociativo como conmutativo, no hay necesidad de paréntesis al enumerar la serie/secuencia, y el resultado será el mismo independientemente del orden de los sumandos.
¿Qué es la sumatoria?
La notación de suma o sigma (∑) es un método utilizado para escribir una suma larga de manera concisa. Esta notación se puede adjuntar con cualquier fórmula o función.
Por ejemplo i=1 ∑ 10 (i) es una notación sigma de suma de secuencia finita 1 + 2 + 3 + 4…… + 10 donde el primer elemento es 1 y el último elemento es 10.
¿Dónde usar la sumatoria?
La notación de suma se puede utilizar en varios campos de las matemáticas como:
- secuencia en serie
- Integración
- Probabilidad
- Permutación y Combinación
- Estadísticas
Nota: una suma es una forma abreviada de suma repetitiva. También podemos reemplazar la suma con un ciclo de suma.
Propiedades de la suma
Propiedad 1
yo=1 ∑ norte do = do + do + do + …. + c (n) veces = nc
Por ejemplo: Encuentra el valor de i=1 ∑ 4 c.
Usando la propiedad 1 podemos calcular directamente el valor de i=1 ∑ 4 c como 4×c = 4c.
Propiedad 2
c=1 ∑ norte kc = (k×1) + (k×2) + (k×3) + …. + (k×n) …. (n) veces = k × (1 + … + n) = k c =1 ∑ norte c
Por ejemplo: Encuentra el valor de i=1 ∑ 4 5i.
Usando la propiedad 2 y 1 podemos calcular directamente el valor de i= 1 ∑ 4 5i como 5 × i=1 ∑ 4 i = 5 × ( 1 + 2 + 3 + 4) = 50.
Propiedad 3
c=1 ∑ norte (k+c) = (k+1) + (k+2) + (k+3) + …. + (k+n) …. (n) veces = (n × k) + (1 + … + n) = nk + c=1 ∑ n c
Por ejemplo: Encuentra el valor de i=1 ∑ 4 (5+i).
Al usar las propiedades 2 y 3, podemos calcular directamente el valor de i=1 ∑ 4 (5+i) como 5×4 + i=1 ∑ 4 i = 20 + ( 1 + 2 + 3 + 4) = 30.
Propiedad 4
k=1 ∑ norte ( f (k) + g(k)) = k=1 ∑ norte f (k) + k=1 ∑ norte gramo(k)
Por ejemplo: Encuentra el valor de i=1 ∑ 4 (i + i 2 ).
Usando la propiedad 4 podemos calcular directamente el valor de i=1 ∑ 4 (i + i 2 ) como i=1 ∑ 4 i + i=1 ∑ 4 i 2 = ( 1 + 2 + 3 + 4) + (1 + 4 + 9 + 16) = 40.
Algunas fórmulas estándar usando la sumatoria
- Suma de los primeros n números naturales: (1+2+3+…+n) = i=1 ∑ n (i) = [n ×(n +1)]/2
- Suma del cuadrado de los primeros n números naturales: (1 2 +2 2 +3 2 +…+n 2 ) = i=1 ∑ n (i 2 ) = [n ×(n +1)× (2n+1)] /6
- Suma del cubo de los primeros n números naturales: (1 3 +2 3 +3 3 +…+n 3 ) = i=1 ∑ n (i 3 ) = [n 2 ×(n +1) 2 )]/4
- Suma de los primeros n números naturales pares: (2+4+…+2n) = i=1 ∑ n (2i) = [n ×(n +1)]
- Suma de los primeros n números naturales impares: (1+3+…+2n-1) = i=1 ∑ n (2i-1) = n 2
- Suma del cuadrado de los primeros n números naturales pares: (2 2 +4 2 +…+(2n) 2 ) = i=1 ∑ n (2i) 2 = [2n(n + 1)(2n + 1)] / 3
- Suma del cuadrado de los primeros n números naturales impares: (1 2 +3 2 +…+(2n-1) 2 ) = i=1 ∑ n (2i-1) 2 = [n(2n+1)(2n-1) )] / 3
- Suma del cubo de los primeros n números naturales pares: (2 3 +4 3 +…+(2n)3) = i=1 ∑ n (2i) 3 = 2[n(n+1)] 2
- Suma del cubo de los primeros n números naturales impares: (1 3 +3 3 +…+(2n-1) 3 ) = i=1 ∑ n (2i-1) 3 = n 2 (2n 2 – 1)
Problemas de muestra
Problema 1: Encuentra la suma de los primeros 10 números naturales, usando la fórmula de suma.
Solución:
Usando la fórmula de sumatoria para la suma de n número natural i=1 ∑ n (i) = [n ×(n +1)]/2
Tenemos suma de los 10 primeros números naturales = i=1 ∑ 10 (i) = [10 ×(10 +1)]/2 = 55
Problema 2: Halla la suma de los 10 primeros números naturales mayores que 5, usando la fórmula de sumatoria.
Solución:
Según la pregunta:
La suma de los 10 primeros números naturales mayores que 5 = i=6 ∑ 15 (i)
= i=1 ∑ 15 (i) – i=1 ∑ 5 (i)
= [15 × 16 ] / 2 – [5 × 6]/2
= 120 – 30
= 90
Problema 3: Encuentra la suma de la secuencia finita dada 1 2 + 2 2 + 3 2 + … 8 2 .
Solución:
La secuencia dada es 1 2 + 2 2 + 3 2 + … 8 2 , se puede escribir como i=1 ∑ 8 i 2 usando la propiedad/fórmula de la suma
i=1 ∑ 8 i 2 = [8 ×(8 +1)× (2×8 +1)]/6 = [8 × 9 × 17] / 6
= 204
Problema 4: Simplifica c=1 ∑ n kc.
Solución:
Fórmula de suma dada = c=1 ∑ n kc
= (k×1) + (k×2) + …… + (k×n) (n términos)
= k (1 + 2 + 3 +….. + n)
c=1 ∑ norte kc = k c=1 ∑ norte c
Problema 5: Simplifica y evalúa x =1 ∑ n (4+x).
Solución:
La suma dada es x=1 ∑ n (4+x)
Como sabemos que c=1 ∑ n (k+c) = nk + c=1 ∑ n c
La suma dada se puede simplificar como,
4n + x=1 ∑ norte (x)
Problema 6: Simplificar x=1 ∑ n (2x+x 2 ).
Solución:
La suma dada es x=1 ∑ n (2x+x 2 ).
como sabemos que k=1 ∑ n (f(k) + g(k)) = k=1 ∑ n f(k) + k=1 ∑ n g(k)
la suma dada se puede simplificar como x=1 ∑ n (2x) + x=1 ∑ n (x 2 ).
Publicación traducida automáticamente
Artículo escrito por drananyashubhi y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA