Un número complejo es un término que se puede representar como la suma de números reales e imaginarios. Estos son los números que se pueden escribir en forma de a + ib, donde a y b son números reales. Se denota por z. Aquí el valor ‘a’ se llama la parte real que se denota por Re(z), y ‘b’ se llama la parte imaginaria Im(z) en forma de un número complejo. También se le llama número imaginario. En forma de número complejo a + bi ‘i’ es un número imaginario llamado “iota”. El valor de i es (√-1) o podemos escribir como i 2 = -1. Por ejemplo,
- 6 + 2i es un número complejo, donde 6 es un número real (Re) y 2i es un número imaginario (Im).
- 9 + 3i es un número complejo donde 9 es un número real (Re) y 3i es un número imaginario (Im)
Operaciones algebraicas sobre números complejos
La combinación de un número real y un número imaginario se denomina número complejo. Hay cuatro tipos de operaciones algebraicas de números complejos,
- Adición de Números Complejos
En esta operación sabemos que un número complejo es de la forma z = p + iq donde a y b son números reales. Ahora, considere dos números complejos z 1 = p 1 + iq 1 y z 2 = p 2 + iq 2 . Por lo tanto, la suma de los números complejos z 1 y z 2 .
z 1 + z 2 = (pag 1 + pag 2 ) + yo (q 1 + q 2 )
Algunas identidades más son:
- z 1 + z 2 = z
- z 1 + z 2 = z 2 + z 1
- (z 1 + z 2 ) + z 3 = z 1 + (z 2 + z 3 )
- z + (-z) = 0
- (p + iq) + (0 + i0) = p + iq
La parte real del número complejo resultante es la suma de la parte real de cada número complejo. La parte imaginaria del número complejo resultante es igual a la suma de la parte imaginaria de cada número complejo.
- Resta de Números Complejos
En esta operación de los números complejos z 1 = p 1 + iq 1 y z 2 = p 2 + ib 2 , por lo tanto la diferencia de z 1 y z 2 que es z 1 -z 2 se define como,
z 1 – z 2 = (p 1 – p 2 ) + i(q 1 – q 2 )
- Multiplicación de Números Complejos
En esta operación de multiplicación de Dos Números Complejos. Sabemos que (x + y)(z + w).
= xz + xw + zy + zw
De manera similar, los números complejos z 1 = p 1 + iq 1 y z 2 = p 2 + iq 2
Para encontrar z 1 z 2 :
z 1 z 2 = (pag 1 + iq 1 )(p 2 + iq 2 )
z 1 z 2 = pags 1 pags 2 + pags 1 q 2 yo + q 1 pags 2 yo + q 1 q 2 yo 2
Como sabemos, i 2 = -1,
Por lo tanto,
z 1 z 2 = (pag 1 pag 2 – q 1 q 2 ) + yo (pag 1 q 2 + pag 2 q 1 )
Algunas identidades son:
- z 1 × z 2 = z
- z 1 .z 2 = z 2 .z 1
- z 1 (z 2 .z 3 ) = (z 1 .z 2 )z 3
- z 1 (z 2 + z 3 ) = z 1 .z 2 + z 1 .z 3
- División de Números Complejos
En esta operación de número complejo z 1 = p 1 + iq 1 y z 2 = p 2 + iq 2 , por lo tanto, para encontrar z 1 /z 2 , tenemos que multiplicar el numerador y el denominador con el conjugado de z 2 .
La división de números complejos:
Sean z 1 = p 1 + iq 1 y z 2 = p 2 + iq 2 ,
z 1 /z 2 = (p 1 + iq 1 )/(p 2 + iq 2 )
Por lo tanto, (p 1 + iq 1 )/(p 2 + iq 2 ) = [(p 1 + iq 1 )(p 2 – iq 2 )] / [(p 2 + iq 2 )(p 2 – iq 2 ) ]
(p 1 + iq 1 )/(p 2 + iq 2 ) = [(p 1 p 2 ) – (p 1 q 2 i) + (p 2 q 1 i) + q 1 q 2 )] / [(p 2 2 + q 2 2 )]
(p 1 + iq 1 )/(p 2 + iq 2 ) = [(p 1 p 2 ) + (q 1 q 2 ) + i(p 2 q 1 – p 1 q 2 )] / (p 2 2 + q 2 2 )
z 1 /z 2 = (p 1 p 2 ) + (q 1 q 2 ) / (p 2 2 + q 2 2 ) + i(p 2 q 1 – p 1 q 2 ) / (p 2 2 + q 2 2 )
Simplifica (2 – 14i)(2 + 14i)
Solución:
Dado: (2 – 14i)(2 + 14i)
= {4 + 28i – 28i – 196i 2 }
= (4 +196)
= 200 + 0i
Problemas similares
Pregunta 1: ¿Resuelve (1 – 5i) / (-3i)?
Solución:
Dado: (1 – 5i) / (-3i)
Forma estándar del denominador, es decir, -3i = 0 – 3i
Conjugado del denominador 0 – 3i = 0 + 3i
Multiplicar con el conjugado,
Por lo tanto, {(1 – 5i) / (0 – 3i)} × {(0 + 3i)/(0 + 3i)}
= {(1 – 5i)(0 + 3i)} / {0 – (3i) 2 }
= {3i – 15i 2 } / {0 – (9(-1))}
= {3i – 15 (-1)} / 9
= (3i +15) / 9
= 5/3 + (1/9)i
Pregunta 2: Realiza la operación indicada y escribe la respuesta en forma estándar: (a + bi) (c + di).
Solución:
Dado: (a + bi) (c + di)
= ac + bci + adi+ bdi 2
= (ac – bd) + i(bc + ad)
Pregunta 3: Realiza la operación indicada y escribe la respuesta en forma estándar: (4 + 4i) × (3 – 4i).
Solución:
(4 + 4i) × (3 – 4i)
= (12+ 12i – 16i – 16i2 )
= 12 – 4i +16
= 28 – 4i
Pregunta 4: Realiza la operación indicada y escribe la respuesta en forma estándar: (5 + 4i) × (6 – 4i).
Solución :
= (5 + 4i) × (6 – 4i)
= (30 – 20i + 24i – 16i 2 )
= 30 + 4i + 16
= 46 + 4i
Pregunta 5: ¿Cuál es la respuesta al siguiente problema, (-5i)(4i)(-2).
Solución:
Dado: (-5i)(4i)(-2)
= -5i × 4i × (-2)
= -20i 2 × -2 {i 2 = -1}
= -20 (-1) × -2
= 20 × -2
= -40 + 0i
Pregunta 6: Si z 1 , z 2 son (1 – i), (-2 + 4i) respectivamente, encuentre Im(z 1 z 2 /z 1 ).
Solución:
Dado: z 1 = (1 – i)
z2 = (-2 + 4i )
Ahora para encontrar Im(z 1 z 2 /z 1 ),
Poner valores de z 1 y z 2
Im(z 1 z 2 /z 1 ) = {(1 – i) (-2 + 4i)} / (1 – i)
= {(-2 + 4) + i(2 + 4)} / (1 + i)
= {(2 + 6i) /(1 + i)}
= {(2 + 6i) (1 + i)} / {(1 + i)(1 – i)}
= {(2 + 6) + i(6 – 2)} / (1 + 1)
= 4 + 2i
Por lo tanto, Im(z 1 z 2 /z 1 ) = 2
Publicación traducida automáticamente
Artículo escrito por Nishant_Singh y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA