La geometría se deriva de una palabra griega que significa ‘medida de la tierra’. Es una rama de las matemáticas y se ocupa de las propiedades del espacio, es decir, un estudio visual de formas, posición de figuras, patrones, tamaños, etc. La geometría es un tema de innumerables desarrollos, por lo que existen muchos tipos. Son la geometría euclidiana, la geometría no euclidiana, la geometría algebraica, la geometría riemanniana y la geometría simpléctica.
Cuadrilátero
Un cuadrilátero se puede separar en dos palabras Quad significa cuatro y lateral significa lado. Entonces un cuadrilátero es una figura cerrada con cuatro lados. Tenía cuatro vértices. Los lados de un cuadrilátero son iguales/desiguales/paralelos/irregulares lo que conduce a varias figuras geométricas. Ejemplo: Cuadrado, Rectángulo, Rombo, Paralelogramo, Trapecio, etc.
El punto medio de un lado divide un lado de cualquier figura en dos partes iguales (longitudinalmente). En un cuadrilátero habrá un punto medio para cada lado, es decir, cuatro puntos medios.
Hay algunos factores que determinan la forma que se forma al unir los puntos medios de un cuadrilátero. Esos factores son el tipo de cuadrilátero, las propiedades de la diagonal, etc. Estos factores afectan la forma que se forma al unir los puntos medios en un cuadrilátero dado. Echemos un vistazo a los distintos escenarios para obtener una mejor comprensión.
¿Qué figura se crea al unir los puntos medios de cualquier cuadrilátero?
Solución:
Consideremos un cuadrilátero ABCD, encuentre la forma de la figura formada al unir los puntos medios.
Aquí A, B, C, D son vértices del cuadrilátero
P, Q, R, S son puntos medios de los lados AB, AC, BD y CD respectivamente.
Como el punto medio divide un lado en partes iguales, AP = PB y lo mismo se aplicará a todos los lados.
BC es la diagonal del cuadrilátero que forman dos triángulos ABC y BCD.
Considere el Triángulo BCD
CB es paralela a SR (CB || SR)
Según el teorema del punto medio
SR = CB/2
Entonces CB||SR y SR = CB/2 ⇢ (1)
Igual que en el Triángulo ABC
QP||CB y QP = CB/2 ⇢ (2)
De (1) y (2)
SR||QP y SR = QP
Como un par de lados opuestos son iguales en longitud y paralelos entre sí, la figura resultante al unir los puntos medios de un cuadrilátero se convierte en un paralelogramo .
Ejemplos de preguntas
Pregunta 1: Considere el rombo ABCD que también es una especie de cuadrilátero. Encuentra la forma de la figura formada al unir los puntos medios.
Solución:
Sean ABCD un rombo y P,Q,R,S los puntos medios de los lados AB, BC, CD, DA respectivamente.
En Triángulo ABD tenemos:
PD || BD y PS = BD/2 ….(1)
(Según el teorema del punto medio).
En Triangle BDC tenemos
QR||BD & QR=BD/2 ….(2)
(Según el teorema del punto medio).
De las ecuaciones (1) y (2) obtenemos,
PD || código QR
Entonces PQRS es un paralelogramo
Como las diagonales del rombo se bisecan a 90° (ángulos rectos)
Las diagonales son perpendiculares entre sí.
CA ⊥ BD
Como PD || QR y PQ || SR y AC⊥ BD
PQ también es perpendicular a QR.
PQ ⊥ QR (∠PQR = 90°)
Por lo tanto, PQRS es un rectángulo.
Entonces, la figura formada al combinar los puntos medios del rombo forma un rectángulo .
Pregunta 2: Si la figura formada al unir el punto medio de un cuadrilátero es cuadrada solo si, explique la condición.
Solución:
Sean ABCD un rombo y P, Q, R, S puntos medios de los lados AB, BC, CD, DA respectivamente.
Dado que PQRS es un cuadrado.
Tal que PQ = QR = RS = SP ….(1)
También las diagonales en un cuadrado tienen la misma longitud, es decir, PR = SQ
Pero PR = BC y SQ = AB
Por lo tanto, AB = BC (como PR = SQ)
Entonces todos los lados del cuadrilátero son iguales.
El cuadrilátero dado debe ser un cuadrado o un rombo.
En Triangle ADC tenemos
RS||CA y RS = CA/2 ….(2)
(Según el teorema del punto medio).
En Triangle BDC tenemos
QR || BD y QR = BD/2 …..(3)
(Según el teorema del punto medio. 0
De la ecuación (1),
RS = QR
Entonces, AC/2 = BD/2
CA = BD
Por lo tanto, la longitud de las diagonales del cuadrilátero es la misma, entonces ABCD es un cuadrado con diagonales perpendiculares entre sí.
Pregunta 3: ¿Cuál es la figura que se forma al unir los puntos medios de un paralelogramo?
Solución:
La figura dada es un paralelogramo ABCD con puntos medios P, Q, R, S para los lados AB, BD, CD, AC respectivamente.
En el Triángulo ABC tenemos,
PD || BC & PS = BC/2 ….(1)
(Según el teorema del punto medio).
En Triángulo BDC tenemos:
QR || BC y QR = BC/2 ….(2)
(Según el teorema del punto medio).
De la ecuación (1) y (2) obtenemos,
PD || código QR
Entonces, PQRS es un paralelogramo.
Pregunta 4: ¿Cuál es la figura que se forma al unir los puntos medios de un cuadrilátero cuyas diagonales son de igual longitud?
Responder:
Rombo que es una figura plana bidimensional que es cerrada. Se considera un paralelogramo peculiar y tiene su propia identidad como cuadrilátero debido a sus características únicas. Debido a que todos sus lados tienen la misma longitud, un rombo también se conoce como cuadrilátero equilátero. El nombre ‘rombo’ se deriva de la antigua palabra griega ‘rombos’, que literalmente significa «girar».
Pregunta 5: ¿Cuál es la figura que se forma al unir los puntos medios de un cuadrilátero cuyas diagonales son perpendiculares pero no de igual longitud?
Responder:
Rectángulo, que es un cuadrilátero con ángulos iguales en todos sus lados y lados opuestos iguales y paralelos. Hay numerosos elementos rectangulares en nuestro entorno. Cada forma de rectángulo tiene dos dimensiones distintas: largo y ancho. La longitud y el ancho de un rectángulo se definen como el lado más largo y el lado más corto, respectivamente.
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Artículo escrito por akhilvasabhaktula03 y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA