La trigonometría es la rama de las matemáticas que se ocupa de los ángulos, las dimensiones y las medidas. Un ángulo se forma cuando las dos líneas tienen cierta inclinación entre sí. La inclinación de un ángulo se llama medida y cuando se juntan varios ángulos dan lugar a una dimensión.
Hay varias fórmulas e identidades que ayudan a determinar la inclinación y las medidas. Se determinan los valores de 0°, 30°, 45°, 60°, 90°, 180° trigonométricos para sen, cos, tan, cosec, sec y cot. De manera similar, también tenemos algo llamado la fórmula del medio ángulo en matemáticas.
Fórmulas de medio ángulo
Para encontrar los valores de los ángulos además de los valores conocidos de 0°, 30°, 45°, 60°, 90°, 180°. Los medios ángulos se derivan de fórmulas de doble ángulo y se enumeran a continuación para seno, coseno y tangente:
- sen x/2 = +/- ((1 – cos x)/ 2) 1/2
- cos x/2 = +/- ((1 + cos x)/ 2) 1/2
- tan x/ 2 = (1 – cosx)/ senx
Algunas identidades más importantes de la fórmula de ángulo doble que serán útiles para la derivación de fórmulas de medio ángulo,
cos 2x = cos (x +x)
cos 2x = (cosx)(cosx) – (senx)(senx)
cos 2x = cos 2 x – sen 2 x
cos 2x = cos 2 x – (1 – cos 2 x)
cos2x = 2cos 2 x – 1 ⇢ (ecuación 1)
Ahora, pon cos 2 x = 1 – sen 2 x
cos2x = 2 (1 – sen 2 x) – 1
cos2x = 2 – 2sen 2 x- 1
cos2x = 1 – 2sen 2 x ⇢ (ecuación 2)
Derivación de la fórmula de medio ángulo para cos
Desde arriba, haremos uso de cos2x = 2cos 2 x – 1, ecuación 1 denotada por eq. 1,
Ponga x = 2y
cos (2)(y/2) = 2 cos 2 (y/2) – 1
cos y = 2 cos 2 (y/2) – 1
1 + cos y = 2 cos 2 (y/2)
O
2cos 2 (y/2) = 1 + acogedor
cos 2 (y/2) = (1+ acogedor)/2
cos(y/2) = +/- √(1+ acogedor)/2
Derivación de la fórmula del medio ángulo para el seno
Desde arriba, haremos uso de cos2x = 1 – 2sen 2 x , ecuación 2 denotada por eq2.
Ponga x = 2y
cos (2)(y/2) = 1 – 2sen 2 (y/2)
cos y = 1 – 2sen 2 (y/2)
2sen 2 (y/2) = 1 – acogedor
sen 2 (y/2) = (1 – acogedor)/2
sin(y/2) = +/- √(1 – acogedor)/2
Derivación de la fórmula de medio ángulo para tan
tan(x/2) = sin(x/2) / cos(x/2)
Poniendo los valores de medio ángulo para seno y cos. Obtenemos,
tan(x/2) = +/- ((√(1 – acogedor)/2 ) / (√(1+ acogedor)/2 ))
tan(x/2) = +/- (√(1 – acogedor)/(1+ acogedor) )
Racionalizando el denominador
tan(x/2) = +/- (√(1 – acogedor)(1 – acogedor)/(1+ acogedor)(1 – acogedor))
tan(x/2) = +/- (√(1 – acogedor) 2 /(1 – cos 2 y))
tan(x/2) = +/- (√(1 – acogedor) 2 /( sen 2 y))
tan(x/2) = (1 – acogedor)/(seno)
Problemas de muestra
Pregunta 1: Determinar el valor de sen 15°
Solución:
Sabemos que la fórmula para el medio ángulo del seno está dada por:
sen x/2 = +/- ((1 – cos x)/ 2) 1/2
El valor del seno 15° se puede encontrar sustituyendo x como 30° en la fórmula anterior
sen 30°/2 = +/- ((1 – cos 30°)/ 2) 1/2
sen 15° = +/- ((1 – 0.866)/ 2) 1/2
sen 15° = +/- (0.134/ 2) 1/2
sen 15° = +/- (0.067) 1/2
sen 15° = +/- 0.2588
Pregunta 2: Determinar el valor de sen 22.5 °
Solución:
Sabemos que la fórmula para el medio ángulo del seno está dada por:
sen x/2 = +/- ((1 – cos x)/ 2) 1/2
El valor del seno 15° se puede encontrar sustituyendo x como 45° en la fórmula anterior
sen 45°/2 = +/- ((1 – cos 45°)/ 2) 1/2
sen 22,5° = +/- ((1 – 0,707)/ 2) 1/2
sen 22,5° = +/- (0,293/ 2) 1/2
sen 22,5° = +/- (0,146) 1/2
sen 22,5° = +/- 0,382
Pregunta 3: Determinar el valor de tan 15°
Solución:
Sabemos que la fórmula para el medio ángulo del seno está dada por:
tan x/2 = +/- (1 – cos x)/ sen x
El valor de tan 15° se puede encontrar sustituyendo x como 30° en la fórmula anterior
tan 30°/2 = +/- (1 – cos 30°)/ sen 30°
bronceado 15° = +/- (1 – 0,866)/ sen 30
tan 15° = +/- (0.134)/ 0.5
bronceado 15° = +/- 0,268
Pregunta 4: Determinar el valor de tan 22,5°
Solución:
Sabemos que la fórmula para el medio ángulo del seno está dada por:
tan x/2 = +/- (1 – cos x)/ sen x
El valor de tan 22,5° se puede encontrar sustituyendo x como 45° en la fórmula anterior
tan 30°/2 = +/- (1 – cos 45°)/ sen 45°
tan 22,5° = +/- (1 – 0,707)/ sin 45°
bronceado 22,5° = +/- (0,293)/ 0,707
bronceado 22,5° = +/- 0,414
Pregunta 5: Determinar el valor de cos 15°
Solución:
Sabemos que la fórmula para el medio ángulo del seno está dada por:
cos x/2 = +/- ((1 + cos x)/ 2) 1/2
El valor del seno 15° se puede encontrar sustituyendo x como 30° en la fórmula anterior
cos 30°/2 = +/- ((1 + cos 30°)/ 2) 1/2
cos 15° = +/- ((1 + 0,866)/ 2) 1/2
cos 15° = +/- (1.866/ 2) 1/2
cos 15° = +/- (0.933) 1/2
cos 15° = +/- 0,965
Pregunta 6: Determinar el valor de cos 22.5°
Solución:
Sabemos que la fórmula para el medio ángulo del seno está dada por:
cos x/2 = +/- ((1 + cos x)/ 2) 1/2
El valor del seno 15° se puede encontrar sustituyendo x como 45° en la fórmula anterior
cos 45°/2 = +/- ((1 + cos 45°)/ 2) 1/2
cos 22,5° = +/- ((1 + 0,707)/ 2) 1/2
cos 22,5° = +/- (1,707/ 2) 1/2
cos 22,5° = +/- ( 0,853 ) 1/2
cos 22,5° = +/- 0,923
Publicación traducida automáticamente
Artículo escrito por riarawal99 y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA