¿Cómo dividir polinomios? – Barcelona Geeks

Tales expresiones algebraicas que se componen de coeficientes y variables se llaman polinomios. La forma general de un polinomio se da como:

un _norte x ^norte + un _norte−1 x ^norte−1 + … + un ₂ x ² + un ₁ x + un ₀

Los polinomios se pueden clasificar en monomios, binomios y trinomios según el número de términos presentes. Por ejemplo, términos como x, 13y, 39, etc. son todos monomios, mientras que términos como x ² + x, x ¹⁰ – x ⁴ , etc. se denominan binomios porque constan de dos términos. De manera similar, los polinomios que tienen solo tres términos se denominan trinomios.

División de polinomios

Una operación aritmética en la que un polinomio se divide por otro polinomio, generalmente de menor grado que el dividendo. Un polinomio puede provenir o no de la división de dos polinomios. Un algoritmo para resolver un número racional que representa un polinomio dividido por un monomio u otro polinomio se conoce como división de polinomios. Colocamos el divisor y el dividendo de la misma manera que lo hacemos para la división normal.

Hay dos métodos que se pueden emplear al dividir dos polinomios dados. Estos se discuten de la siguiente manera:

Método de división larga

El método de división larga es el método más frecuente y general para dividir polinomios por binomios o cualquier otra forma de polinomios. En caso de que el numerador y el denominador dados no tengan ningún factor común, puede simplificar la expresión utilizando el método de división larga. A continuación se muestra un ejemplo del método de división larga, seguido de los pasos:

Supongamos que se nos pide que dividamos el polinomio x ² + 2x + 3 por x – 2 por división larga. Se realiza a continuación:

$\begin{array}{r} x+4\phantom{)} \\ x-2{\overline{\smash{\big)}\,x^2+2x+3\phantom{)}}}\\ \underline{-~\phantom{(}(x^2-2x)\phantom{-b)}}\\ 0+4x+3\phantom{)}\\ \underline{-~\phantom{()}(4x-8)}\\ 0+11\phantom{)} \end{array}$

Pasos en el método de división larga

Paso 1: Divide el primer término del dividendo (x ² ) por el primer término del divisor y utilízalo como el primer término del cociente.

Paso 2: Multiplique el divisor (x – 2) en este caso por la respuesta (x), luego coloque el producto debajo del dividendo (x ² + 2x + 3).

Paso 3: Para hacer un nuevo polinomio, resta.

Paso 4: Usa el nuevo polinomio obtenido después de la resta para repetir la operación.

Método de división sintética

Es una técnica para dividir un polinomio por un binomio lineal usando solo los valores de los coeficientes. Escribimos los polinomios en forma estándar desde el término de mayor grado hasta el término de menor grado de esta manera. Usa cero como los coeficientes de los términos faltantes cuando escribas en potencias descendentes.

Por ejemplo, 3x ⁴ + 5x + 9 se escribiría como 3x ⁴ + 0x ³ + 0x ² + 5x + 9. A continuación se muestra un ejemplo del método de división sintética, seguido de los pasos:

Supongamos que se nos pide que dividamos el polinomio x ² + x – 2 por x – 1 por división sintética. Se realiza a continuación:

$\begin{array}{c|rrr}&1&1&-2\\1&&-1&2\\\hline\\&1&2&0\\\end{array}$

Los dos primeros números de la última fila representan los coeficientes del cociente y el tercer valor es el resto.

Por lo tanto, el cociente es x + 2.

Pasos en el método de división sintética

Paso 1: Asegúrate de que el divisor tenga la forma de x − k. En el caso dado, el divisor en forma de x − k y k = 1.

Paso 2: Escriba los coeficientes de dividendos a la derecha y k a la izquierda para establecer la división.

Paso 3: Ahora, reduzca a cero el coeficiente del término de mayor grado del dividendo. El coeficiente principal es 1 en este caso (coeficiente de x ² ).

Paso 4: Multiplique k por ese coeficiente principal y escriba el producto debajo del segundo coeficiente en el lado izquierdo del dividendo.

Paso 5: Multiplica los números de la segunda columna.

Paso 6: Multiplica k por el número obtenido en el paso 5 y escribe el resultado en la siguiente columna a la derecha.

Paso 7: Finalmente, escribiremos la solución final, que será un grado por debajo del dividendo.

Problemas de muestra

Problema 1. Usando división sintética, encuentra el cociente y el resto de $\frac{x^2 + 3}{x - 4}$ .

Solución:

Dividendo = x ² + 3 o, x ² + 0x + 3

divisor = x – 4

Aplicando la división sintética tenemos:

$\begin{array}{c|rrr}&1&0&3\\4&&4&16\\\hline\\&1&4&19\\\end{array}$

Los dos primeros números de la última fila representan los coeficientes del cociente y el tercer valor es el resto.

Así, el cociente es x + 4 y el resto es 19.

Problema 2. Resuelve $\frac{4x^3+5x^2+5x+8}{4x+1}$ usando división larga.

Solución:

Dividendo = 4x ³ + 5x ² + 5x + 8

divisor = 4x + 1

Usando el método de división larga, tenemos:

$\begin{array}{r} x^2+x+1\phantom{)} \\ 4x+1{\overline{\smash{\big)}\,4x^3+5x^2+5x+8\phantom{)}}}\\ \underline{4x^3~\phantom{}+x^2~~~~~~~~~~~\phantom{-b)}}\\ 4x^2+5x~~~~~~~\phantom{)}\\ \underline{~\phantom{()}4x^2+1x~~~~~~~~~}\\ 4x+8\phantom{)}\\ \underline{-~\phantom{()}(4x+1)}\\ 7\phantom{)}\\ \end{array}$

Así, el cociente y el resto son x ² + x + 1 y 7 respectivamente.

Problema 3. Resolver $\frac{4x^3-3x^2+3x-1}{x-1}$ usando división sintética.

Solución:

Dividendo = 4x ³ – 3x ² + 3x – 1

divisor = x – 1

Aplicando la división sintética tenemos:

$\begin{array}{c|rrr}&4&-3&3&-1\\1&&4&1&4\\\hline\\&4&1&4&3\\\end{array}$

Los primeros tres números de la última fila representan los coeficientes del cociente y el cuarto valor es el resto.

El cociente es 4x ² + x + 4 y el resto es 3.

Problema 4. Resolver $\left( 5{{x}^{3}}-6{{x}^{2}}+3x+11 \right)\div \left( x-2 \right)$ usando división sintética.

Solución:

Dividendo = 5x ³ – 6x ² + 3x + 11

divisor = x – 2

Aplicando la división sintética tenemos:

$\begin{array}{c|rrr}&5&-6&3&11\\2&&10&8&22\\\hline\\&5&4&11&33\\\end{array}$

Los primeros tres números de la última fila representan los coeficientes del cociente y el cuarto valor es el resto.

El cociente es 5x ² + 4x + 11 y el resto es 33.

Problema 5. Resuelve $\left( 18{{x}^{4}}+9{{x}^{3}}+3{{x}^{2}} \right)\div \left( 3{{x}^{2}}+1 \right)$ usando división larga.

Solución:

Dividendo = 18x ⁴ + 9x ³ + 3x ² + 0x + 0

divisor = 3x ² + 1

Usando el método de división larga, tenemos:

$\begin{array}{r} 6x^2+3x-1\phantom{)} \\ 3x^2+1{\overline{\smash{\big)}\,18x^4+9x^3+3x^2+0x+0\phantom{)}}}\\ \underline{18x^4~\phantom{}+0x^3+6x^2~~~~~~~~~\phantom{-b)}}\\ 9x^3-3x^2+0x+0\phantom{)}\\ \underline{~\phantom{()}9x^3+0x^2+3x~~~~~~~~~}\\ -3x^2-3x+0\phantom{)}\\ \underline{~\phantom{()}-3x^2+0x-1}\\ -3x+1\phantom{)}\\ \end{array}$

Así, el cociente y el resto son 6x ² + 3x – 1 y -3x + 1 respectivamente.

Publicación traducida automáticamente

Artículo escrito por kamaljeet69420 y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA

División de polinomios

Método de división larga

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