Fórmula del teorema del límite central

Posted on by Rudeus Greyrat

En términos sencillos, la estadística es la técnica de capturar, clasificar, analizar, comprender y eventualmente comunicar hechos de una manera comprensible para que uno pueda emitir un juicio y, si es necesario, intervenir. Ejemplos:

  • Un profesor recopila las notas de los alumnos, las ordena de forma ascendente o descendente, mide la nota media de la clase o calcula cuántos alumnos reprobaron y les informa para que puedan centrarse más en sus estudios.
  • Los funcionarios están recopilando cifras del censo y comparándolas con registros anteriores para mantener bajo control el crecimiento de la población.

Teorema del límite central

El teorema del límite central establece que a medida que aumenta el tamaño de la muestra, el tamaño de la muestra de los valores de muestreo se aproxima a una distribución normal, independientemente de la forma de distribución de los datos. La media de medias muestrales será la media poblacional, según el Teorema del Límite Central .

Del mismo modo, si promedia todos los grados de separación en su muestra, obtendrá la verdadera desviación estándar de la población.

  • La media muestral es igual a la media poblacional.
  • La desviación estándar de la muestra es igual a la desviación estándar de la población dividida por la raíz cuadrada del tamaño de la muestra.

Este teorema suele emplearse en los casos en que el tamaño de la distribución es considerable, preferiblemente más de 30.

\mu _{\overline{x}}=\mu  

y 

\sigma _{\overline{x}}=\frac{\sigma }{\sqrt{n}}

donde μ = media de la población, σ = desviación estándar de la población y n = tamaño de la muestra dada.

Problemas de muestra

Problema 1. Los datos de peso de la población masculina siguen una distribución normal. Tiene una media de 70 kg y una desviación estándar de 15 kg. ¿Cuáles serían la media y la desviación estándar de una muestra de 50 hombres si un investigador mirara sus registros?

Solución:

Dado: μ = 70 kg, σ = 15 kg, n = 50

Según el teorema del límite central, la media muestral es igual a la media poblacional.

Por lo tanto,  \mu _{\overline{x}}  = μ = 70 kg

Ahora,  \sigma _{\overline{x}}=\frac{\sigma }{\sqrt{n}}  = 15/√50

⇒  \sigma _{\overline{x}}  ≈ 2,1 kg

Problema 2. Una distribución tiene una media de 69 y una desviación estándar de 420. Encuentra la media y la desviación estándar si se extrae una muestra de 80 de la distribución.

Solución:

Dado: μ = 69, σ = 420, n = 80

Según el teorema del límite central, la media muestral es igual a la media poblacional.

Por lo tanto,  \mu _{\overline{x}}  = μ = 69 

Ahora, \sigma _{\overline{x}}=\frac{\sigma }{\sqrt{n}}

= 420/√80

⇒  \sigma _{\overline{x}}  = 46,95 

Problema 3. La edad media de las personas en una colonia es de 34 años. Suponga que la desviación estándar es de 15 años. El tamaño de la muestra es 50. Encuentra la media y la desviación estándar de la muestra.

Solución:

Dado: μ = 34, σ = 15, n = 50

Según el teorema del límite central, la media muestral es igual a la media poblacional.

Por lo tanto,  \mu _{\overline{x}}  = μ = 34 años

Ahora, \sigma _{\overline{x}}=\frac{\sigma }{\sqrt{n}}

= 15/√50

⇒  \sigma _{\overline{x}}  = 2,12 años

Problema 4. La edad media de los fumadores de cigarrillos es de 35 años. Suponga que la desviación estándar es de 10 años. El tamaño de la muestra es 39. Encuentra la media y la desviación estándar de la muestra.

Solución:

Dado: μ = 35, σ = 10, n = 39

Según el teorema del límite central, la media muestral es igual a la media poblacional.

Por lo tanto,  \mu _{\overline{x}}  = μ = 35 años

Ahora,  \sigma _{\overline{x}}=\frac{\sigma }{\sqrt{n}}  = 10/√39

⇒  \sigma _{\overline{x}}  = 1.601 años

Problema 5. El tiempo medio que se tarda en leer un periódico es de 8,2 minutos. Supongamos que la desviación estándar es de un minuto. Toma una muestra de tamaño 70. Encuentra su media y desviación estándar.

Solución:

Dado: μ = 8.2, σ = 1, n = 70

Según el teorema del límite central, la media muestral es igual a la media poblacional.

Por lo tanto,  \mu _{\overline{x}}  = μ = 8,2 minutos

Ahora,  \sigma _{\overline{x}}=\frac{\sigma }{\sqrt{n}}  = 1/√70

⇒  \sigma _{\overline{x}}  = 0,11 minutos

Problema 6. Una distribución tiene una media de 12 y una desviación estándar de 3. Encuentra la media y la desviación estándar si se extrae una muestra de 36 de la distribución.

Solución:

Dado: μ = 12, σ = 3, n = 36

Según el teorema del límite central, la media muestral es igual a la media poblacional.

Por lo tanto,  \mu _{\overline{x}}  = μ = 12

Ahora,  \sigma _{\overline{x}}=\frac{\sigma }{\sqrt{n}}  = 3/√36

⇒  \sigma _{\overline{x}}  = 0,5

Problema 7. Una distribución tiene una media de 4 y una desviación estándar de 5. Halle la media y la desviación estándar si se extrae una muestra de 25 de la distribución.

Solución:

Dado: μ = 4, σ = 5, n = 25

Según el teorema del límite central, la media muestral es igual a la media poblacional.

Por lo tanto,  \mu _{\overline{x}}  = μ = 4

Ahora,  \sigma _{\overline{x}}=\frac{\sigma }{\sqrt{n}}  = 5/√25

⇒  \sigma _{\overline{x}}  = 1

Publicación traducida automáticamente

Artículo escrito por kamaljeet69420 y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA

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