El círculo más grande que se puede dibujar en la superficie de una esfera es el gran círculo. Un gran círculo es una región de una esfera que abarca el diámetro de la esfera, y también es la distancia más corta entre dos lugares en la superficie de la esfera. También se le conoce como el Círculo Rumano.
La siguiente figura representa una esfera y círculos de diferentes radios y tamaños que se pueden dibujar en su superficie.
Aplicación de Gran Círculo
La aplicación de la fórmula del gran círculo se utiliza en la navegación de aeronaves o barcos, que es uno de los pocos casos en los que se aplica. Debido a que la Tierra es esférica, la fórmula del gran círculo ayuda a la navegación al determinar la distancia más corta dentro de la esfera.
Como se puede ver a continuación, el gran círculo es el que comparte el centro con la propia esfera principal. El diámetro de la esfera y el gran círculo coinciden.
Fórmula del gran círculo
La fórmula del gran círculo se da de la siguiente manera:
d = rcos -1 [cos a cos b cos(xy) + sen a sen b]
dónde,
r representa el radio de la tierra,
a y b representan la latitud
mientras que las longitudes están representadas por x e y.
Problemas de muestra
Pregunta 1. Dado que el radio de una esfera es de 4,7 km, siendo la latitud (45°, 32°) y la longitud (24°, 17°), encuentre la distancia del gran círculo.
Solución:
La fórmula del gran círculo viene dada por: d = rcos -1 [cos a cos b cos(xy) + sen a sen b].
Dado: r = 4,7 km o 4700 m, a, b= 45°, 32° yx, y = 24°,17°.
Sustituyendo los valores en la fórmula anterior, tenemos:
d = 4700 cos-1(0,52 × 0,83 × 0,75) + (0,85 × 0,32)
= 4700 × 0,99
⇒ d = 4653 m
Pregunta 2. Dado que el radio de una esfera es de 5 km, siendo la latitud (25°, 34°) y la longitud (48°, 67°), encuentre la distancia del gran círculo.
Solución:
La fórmula del gran círculo viene dada por: d = rcos -1 [cos a cos b cos(xy) + sen a sen b].
Dado: r = 5 km, a, b= 25°, 34° yx, y = 48°,67°.
Sustituyendo los valores en la fórmula anterior, tenemos:
d = 5 cos-1(0,913 × 0,83 × 0,945) + (0,406 × 0,556)
= 5 × 2.793
⇒ d = 94,928 km o 94928 m
Pregunta 3. Dado que el radio de una esfera es de 10 km, siendo la latitud (55°, 86°) y la longitud (28°, 70°), encuentre la distancia del gran círculo.
Solución:
La fórmula del gran círculo viene dada por: d = rcos -1 [cos a cos b cos(xy) + sen a sen b].
Dado: r = 10 km, a, b= 55°, 86° yx, y = 28°,70°.
Sustituyendo los valores en la fórmula anterior, tenemos:
d = 10 cos -1 (0,573 × 0,0707 × 0,743) + (0,819 × 0,997)
= 10 × 0,5602
⇒ d = 5,62 km
Pregunta 4. Dado que el radio de una esfera es de 7 km, siendo la latitud (55°, 86°) y la longitud (28°, 70°), encuentre la distancia del gran círculo.
Solución:
La fórmula del gran círculo viene dada por: d = rcos -1 [cos a cos b cos(xy) + sen a sen b].
Dado: r = 7 km, a, b= 55°, 86° yx, y = 28°,70°.
Sustituyendo los valores en la fórmula anterior, tenemos:
d = 7 cos -1 (0,573 × 0,0707 × 0,743) + (0,819 × 0,997)
= 7 × 0,5602
⇒ d = 3,93 km
Pregunta 5. Dado que el radio de una esfera es de 4 km, siendo la latitud (25°, 34°) y la longitud (48°, 67°), encuentre la distancia del gran círculo.
Solución:
La fórmula del gran círculo viene dada por: d = rcos -1 [cos a cos b cos(xy) + sen a sen b].
Dado: r = 4 km, a, b= 25°, 34° yx, y = 48°,67°.
Sustituyendo los valores en la fórmula anterior, tenemos:
d = 4 cos -1 (0,913 × 0,83 × 0,945) + (0,406 × 0,556)
= 4 × 2.793
⇒ d = 11,17 km
Pregunta 6. Dado que el radio de una esfera es de 16 km, siendo la latitud (45°, 32°) y la longitud (24°, 17°), encuentre la distancia del gran círculo.
Solución:
La fórmula del gran círculo viene dada por: d = rcos -1 [cos a cos b cos(xy) + sen a sen b].
Dado: r = 16 km, a, b= 45°, 32° yx, y = 24°,17°.
Sustituyendo los valores en la fórmula anterior, tenemos:
d = 16 cos -1 (0,52 × 0,83 × 0,75) + (0,85 × 0,32)
= 16 × 0,99
⇒ d = 15,84 km
Pregunta 7. Dado que el radio de una esfera es de 18 km, siendo la latitud (45°, 32°) y la longitud (24°, 17°), encuentre la distancia del gran círculo.
Solución:
La fórmula del gran círculo viene dada por: d = rcos -1 [cos a cos b cos(xy) + sen a sen b].
Dado: r = 18 km, a, b= 45°, 32° yx, y = 24°,17°.
Sustituyendo los valores en la fórmula anterior, tenemos:
d = 18 cos -1 (0,52 × 0,83 × 0,75) + (0,85 × 0,32)
= 18 × 0,99
⇒ d = 17,82 km
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Artículo escrito por parmarraman44 y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA