Fórmula de permutación

En matemáticas, la permutación se relaciona con el método de organizar a todos los miembros de un grupo en alguna serie o diseño. En términos adicionales, si el grupo ya está completo, la redirección de sus componentes se denomina método de permutación. Las permutaciones tienen lugar, con métodos mejores o poco efectivos, en casi todos los distritos de las matemáticas. Por lo general, ocurren cuando se monitorea una dirección diferente en sitios restringidos detallados.

Fórmula de permutación

Son los arreglos separados de un número suministrado de asociados tomados uno por uno, o algunos, o todos a la vez. Por ejemplo, si tenemos dos elementos A y B, entonces hay dos interpretaciones posibles, AB y BA.

Un número entero de permutaciones cuando los elementos ‘r’ se organizan a partir de un total de elementos ‘n’ es,

_norte PAG ^r = norte! / (n – r)!. 

Por ejemplo, 

Sean n = 2 (A y B) y r = 1 (Todas las permutaciones de tamaño 1). ¡La respuesta es 2!/(2 – 1)! = 2. Las dos permutaciones son AB y BA.

Explicación de la fórmula de permutación

Una permutación es un tipo de arreglo que muestra cómo permutar. Si hay tres enteros separados 1, 2 y 3, y si alguien está interesado en permutar los enteros tomando 2 en un punto, ofrece (1, 2), (1, 3), (2, 1), (2 , 3), (3, 1) y (3, 2). Es decir, se puede realizar de 6 maneras.

Aquí, (1, 2) y (2, 1) están separados. Nuevamente, si estos 3 enteros se configuran para que duren todos a la vez, entonces los arreglos serán (1, 2, 3), (1, 3, 2), (2, 1, 3), (2, 3, 1 ), (3, 1, 2) y (3, 2, 1) es decir, de 6 maneras.

En lo conocido, se pueden seleccionar n elementos separados aceptando r (r < n) a la vez en n(n – 1)(n – 2) … (n – r + 1) maneras. En particular, el primer elemento puede ser cualquiera de los n elementos. Ahora, después de seleccionar el primer elemento, el segundo elemento será cualquiera de las n – 1 cosas restantes. De manera similar, el tercer elemento puede ser cualquiera de las n – 2 cosas restantes. Del mismo modo, el elemento r ^-ésimo puede ser cualquiera de las n – (r – 1) cosas restantes.

Por lo tanto, el número total de permutaciones de n elementos separados tomando r a la vez es n(n – 1)(n – 2) … [n – (r – 1)] que se indica como ⁿ P _r . O, en otras palabras,

ⁿ P _r = n!/(n – r)!

Problemas de muestra

Pregunta 1: ¿Cuáles son los tipos de permutaciones?

Solución:

La permutación de una colección de cosas o componentes en orden se basa en tres condiciones:

1. Cuando no se permite la recurrencia de esencias
2. Cuando se permite la recurrencia de esencias
3. Cuando los componentes de un grupo no son diferentes

Pregunta 2: Calcula el número de permutaciones de n = 5 y r = 2.

Solución:

Dado,

norte = 5

r = 2

Usando la fórmula dada arriba:

Permutación: ⁿ P _r = (n!) / (n – r)!

= (5!) / (5 – 2)!

= 5! / 3! = (5 × 4 × 3! )/ 3!

= 20

Pregunta 3: ¿Cuántas frases de 3 letras con o sin propósito se pueden crear a partir de las letras de la palabra POEMA cuando no se permite la repetición de letras?

Solución:

Aquí n = 4, ya que la palabra POEMA tiene 4 letras. Dado que tenemos que crear palabras de 3 letras con o sin significado y sin repetición, las permutaciones totales posibles son:

⇒ P(n, r) = 4!/(4 − 3)!

= 4 × 3 × 2 × 1/1

= 24

Pregunta 4: ¿Cuántas frases de 4 letras con o sin propósito se pueden crear a partir de las letras de la palabra KANHA cuando se permite la repetición de palabras?

Solución:

El número de letras, en este caso, es de 5, ya que la palabra KANHA tiene 5 letras.

Y r = 4, ya que se debe seleccionar un término de 4 letras.

Así, la permutación será:

Permutación (cuando se permite la repetición) = 5 ⁴ = 625

Pregunta 5: Se requiere colocar 4 hombres y 3 mujeres en fila para que las mujeres ocupen los puestos pares. ¿Cuántas configuraciones de este tipo son factibles?

Solución: 

Nos dan que hay 4 hombres y 3 mujeres.

es decir, hay 7 posiciones.

Las posiciones pares son: 2°, 4° y 6° lugar

¡Estos tres lugares pueden ser ocupados por 3 mujeres en P(3, 3) formas = 3!  

= 3 × 2 × 1  

= 6 maneras

¡Las 4 posiciones restantes pueden ser ocupadas por 4 hombres en P(4, 4) = 4!  

= 4 × 3 × 2 × 1  

= 24 maneras

Por lo tanto, por el principio fundamental de conteo,  

Número total de formas de disposición de los asientos = 24 × 6 

= 144

Pregunta 6: Encuentra el número de frases, con o sin significado, que pueden estar compuestas por las letras de la palabra ‘TABLE’.

Solución:

‘TABLE’ contiene 5 letras.

Así, el número de frases que se pueden formar con estas 5 letras = 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120.

Pregunta 7: Encuentra el número de permutaciones de las letras del sujeto de la frase de modo que las vocales aparezcan consistentemente en posiciones impares.

Solución:

La palabra ‘SUJETO’ tiene 7 letras.

Hay 6 consonantes y 1 vocales en él.

No. de formas en que las vocales 1 pueden ocurrir en 7 lugares diferentes = ⁷ P ₁ = 7 formas.

Después de 1 vocal ocupan 1 lugar, no. de formas 6 consonantes pueden tomar 6 lugares = ⁶ P ₆ = 6! = 720 maneras.

Por lo tanto, número total de permutaciones posibles = 720 × 720 = 518 400 formas.