Se dice que una función es continua si uno puede trazar su curva en un gráfico sin levantar la pluma ni una sola vez. Se dice que una función es continua en x = a, si y sólo si se cumplen las tres condiciones siguientes.
- La función se define en x = a; es decir, f(a) es igual a un número real
- El límite de la función cuando x tiende a existe
- El límite de la función cuando x tiende a a es igual al valor de la función en x = a
Se dice que una función f(x) es continua en el intervalo abierto (a, b) si en cualquier punto del intervalo dado la función es continua. En el caso del intervalo cerrado [a, b], se dice que la función es continua:
- f(x) es continua en el intervalo abierto (a, b)
- lím x⇢a f(x) = f(a)
- lím x⇢b f(x) = f(b)
Ejemplo 1: Demostrar que la función f(x) = 5x – 3 es continua en x = 0.
Solución:
Dado, f(x) = 5x – 3
En x = 0, f(0) = (5 × 0) – 3 = -3
lím x⇢0 f(x) = lím x⇢0 (5x – 3) = (5 × 0) – 3 = -3
lím x⇢0 f(x) = f(0)Por lo tanto, f(x) es continua en x = 0.
Ejemplo 2: Examine la función f(x) = |x – 5|, para la continuidad.
Solución:
Función dada, f(x) = |x – 5|
El dominio de f(x) es real e infinito para todo x real
Aquí, f(x) = |x – 5| es una función de módulo
Como , toda función de módulo es continua
Por lo tanto , f(x) es continua en su dominio R.
Ejemplo 3: ¿La función f(x) = x – senx + 5 es continua en x = π?
Solución:
La función dada es f(x) = x – senx + 5
LHL = lím x⇢π – (x – senx + 5) = lím x⇢π – [(π – h) – sen(π – h) + 5] = π + 5
RHL = lím x⇢π + (x – senx + 5) = lím x⇢π + [(π + h) – sen(π + h) + 5] = π + 5
Y, f(π) = π – senπ + 5 = π + 5
Como , LHL = RHL = f(π)
Por lo tanto, f(x) es continua en x = π
Ejemplo 4: Examine la continuidad de la función f(x) = 2x – 1 en x = 3.
Solución:
Dado f(x) = 2x – 1
En x = 3, f(x) = (2 × 3) – 1 = 5
lím x⇢3 f(x) = lím x⇢3 f(x) = (2×3) – 1 = 5
lím x⇢3 f(x) = f(3)
Por lo tanto, f(x) es continua en x = 3
Ejemplo 5: Examinar la función es continua o no?
Solución:
Para x > 0, y = x y x < 0, y = -x
Entonces, sabemos que es continuo para x > 0 y x < 0. Para verificar si es continuo en x = 0, verifique el límite:
límite x⇢0 – | x| = límite x⇢0 – (-x) = 0
límite x⇢0 + | x| = límite x⇢0 + (x) = 0
Entonces, lím x⇢0 |x| = 0 , que es igual al valor de la función en 0. Por lo tanto, es continua en todas partes.
Discontinuidad
Una función es discontinua en un punto x = a si la función no es continua en a. Se dice que la función “f” es discontinua en x = a en cualquiera de los siguientes casos:
- f(a) no está definida
- lim x⇢a + f(x) y lim x⇢a – f(x) existen, pero no son iguales.
- lim x⇢a + f(x) y lim x⇢a – f(x) existen y son iguales pero no iguales a f(a).
Tipos de discontinuidades
Hay tres tipos básicos de discontinuidades.
- Discontinuidad removible (punto)
- Discontinuidad infinita
- Saltar discontinuidad
Discontinuidad extraíble (punto): el gráfico tiene un agujero en un solo valor de x. Imagina que estás caminando por la calle y alguien ha quitado la tapa de una alcantarilla. Esta es una categoría de discontinuidad en la que la función tiene un límite bilateral bien definido en x = a, pero f(a) no está definida o f(a) no es igual a su límite.
- lím x⇢a f(x) ≠ f(a)
- f(a) = límite x⇢a f(x)
Discontinuidad Infinita: La función va hacia el infinito positivo o negativo. Imagina una carretera que se acerca cada vez más a un río sin puente al otro lado. La función diverge en x = a para darle una naturaleza discontinua aquí. Es decir, f(a) no está definida. Dado que el valor de la función en x = a tiende a infinito o no se acerca a un valor finito particular, los límites de la función en x → a tampoco están definidos.
Salto de discontinuidad: el gráfico salta de un lugar a otro. Imagina a un superhéroe dando un paseo, llega a un callejón sin salida y, como puede, vuela hacia otro camino. En este tipo de discontinuidad, existe el límite derecho y el límite izquierdo para la función en x = a; pero los dos no son iguales entre sí.
- límite x⇢a + f (x) ≠ límite x⇢a – f(x)
