Fórmula de Moivre – Barcelona Geeks

Los números complejos son aquellos con la fórmula a + ib, donde a y b son números reales y I (iota) es el componente imaginario y representa (-1), y a menudo se representan en forma de rectángulo o estándar. 10 + 5i, por ejemplo, es un número complejo en el que 10 representa la componente real y 5i representa la parte imaginaria. Dependiendo de los valores de a y b, pueden ser completamente reales o puramente ficticios. Cuando a = 0 en a + ib, ib es un número totalmente imaginario, y cuando b = 0, obtenemos a, que es un número estrictamente real.

Fórmula de Moivre

Para expandir un número complejo según su exponente especificado, primero debe transformarse a su forma polar, que tiene el módulo y el argumento como componentes. Después de eso, se aplica el teorema de DeMoivre, que establece:

La fórmula de De Moivre establece que para todos los valores reales de un número, digamos x,

(cos x + isenx) ⁿ = cos(nx) + isen(nx)

Dónde,

n es cualquier número entero

Derivación de la fórmula

El teorema de DeMoivre se puede derivar/demostrar con la ayuda de la inducción matemática de la siguiente manera:

Como se indicó anteriormente, (cos x + isinx) ⁿ = cos(nx) + isin(nx) ⇢ (1)

Para n = 1, obtenemos:

(cos x + i sen x) ¹ = cos(1x) + i sen(1x) = cos(x) + i sen(x), lo cual es cierto.

Suponiendo que la fórmula es válida para cualquier número entero, digamos n = k. Después,

(cos x + i sen x) ^k = cos(kx) + i sen(kx) ⇢ (2)

Ahora, solo tenemos que demostrar que la fórmula es válida para n = k + 1.

(cos x + i sen x) ^k+1 = (cos x + i sen x)k (cos x + i sen x)

= (cos (kx) + i sen (kx)) (cos x + i sen x) [Usando (i)]

= cos (kx) cos x − sen(kx) senx + i (sen(kx) cosx + cos(kx) senx)

= cos {(k+1)x} + yo sin {(k+1)x}

⇒ (cos x + i sen x) ^k+1 = cos {(k+1)x} + i sen {(k+1)x}

Por lo tanto, el resultado está probado.

Problemas de muestra

Pregunta 1. Expande (1 + i) ⁵ .

Solución:

Aquí, r = $\sqrt{(1^2+1^2)} = \sqrt{2}$ , θ = π/4

La forma polar de (1 + i) = $[\sqrt{2}cos(\frac{\pi}{4})+i\ sin(\frac{\pi}{4})]$

Según el Teorema de De Moivre: (cosθ + sinθ) ⁿ = cos(nθ) + i sin(nθ).

Así, (1 + i) ⁵ = $[\sqrt{2}cos(\frac{\pi}{4})+i\ sin(\frac{\pi}{4})]^5$

= $(\sqrt{2})^{5}[cos(\frac{5\pi}{4})+i\ sin(\frac{5\pi}{4})]\\ =(\sqrt{2})^{5}[cos(\pi+\frac{\pi}{4})+i\ sin(\pi+\frac{\pi}{4})]\\ =(\sqrt{2})^{5}[-cos(\frac{\pi}{4})-i\ sin(\frac{\pi}{4})]\\ =(\sqrt{2})^{5}[-\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{1}{\sqrt{2}}i]\\ =(\sqrt{2})^{4}-(\sqrt{2})^{4}i$

= −4 − 4i

Pregunta 2: Expande (2 + 2i) ⁶ .

Solución:

Aquí, r = $\sqrt{(2^2+2^2)} = 2\sqrt{2}$ , θ = π/4

La forma polar de (2 + 2i) = $[2\sqrt{2}cos(\frac{\pi}{4})+i\ sin(\frac{\pi}{4})]$

Según el Teorema de De Moivre: (cosθ + sinθ) ⁿ = cos(nθ) + isin(nθ).

Así, (2 + 2i) ⁶ = $[2\sqrt{2}cos(\frac{\pi}{4})+i\ sin(\frac{\pi}{4})]^6$

= $(2\sqrt{2})^{6}[cos(\frac{6\pi}{4})+i\ sin(\frac{6\pi}{4})]\\ =(2\sqrt{2})^{6}[cos(\frac{3\pi}{2})+i\ sin(\frac{3\pi}{2})]\\ =(2\sqrt{2})^{6}[cos(\pi+\frac{\pi}{2})+i\ sin(\pi+\frac{\pi}{2})]\\ =(2\sqrt{2})^{6}[cos(\frac{\pi}{2})-i\ sin(\frac{\pi}{2})]\\ =(2\sqrt{2})^{6}[0-i]\\ =-(2\sqrt{2})^{6}i$

= 512 (-yo)

= −512i

Pregunta 3: Expande (1 + i) ¹⁸ .

Solución:

Aquí, r = $\sqrt{(1^2+1^2)} = \sqrt{2}$ , θ = π/4

La forma polar de (1+i) = $[\sqrt{2}cos(\frac{\pi}{4})+i\ sin(\frac{\pi}{4})]$

Según el Teorema de De Moivre: (cosθ + sinθ) ⁿ = cos(nθ) + isin(nθ).

Así, (1 + i) ¹⁸ = $[\sqrt{2}cos(\frac{\pi}{4})+i\ sin(\frac{\pi}{4})]^{18}$

= $(\sqrt{2})^{18}[cos(\frac{18\pi}{4})+i\ sin(\frac{18\pi}{4})]^{18}\\ =(\sqrt{2})^{18}[cos(\frac{9\pi}{2})+i\ sin(\frac{9\pi}{2})]\\ =(\sqrt{2})^{18}[cos(4\pi+\frac{\pi}{2})+i\ sin(4\pi+\frac{\pi}{2})]\\ =(\sqrt{2})^{18}[cos(\frac{\pi}{2})+i\ sin(\frac{\pi}{2})]\\ =(\sqrt{2})^{18}[0+i]\\ =(\sqrt{2})^{18}i$

= 512i

Pregunta 4: Expande (-√3 + 3i) ³¹ .

Solución:

Aquí, r = $\sqrt{((-\sqrt{3})^2+3^2)} = 2\sqrt{3}$ , θ = 2π/3

La forma polar de (-√3 + 3i) = $[2\sqrt{3}cos(\frac{2\pi}{3})+i\ sin(\frac{2\pi}{3})]$

Según el Teorema de De Moivre: (cosθ + sinθ) ⁿ = cos(nθ) + isin(nθ).

Así, (-√3 + 3i) ³¹ = $[2\sqrt{3}(cos(\frac{\pi}{4})+i\ sin(\frac{\pi}{4}))]^{31} = (2\sqrt{3})^{31}[cos(\frac{31\pi}{4})+i\ sin(\frac{31\pi}{4})]\\ =(2\sqrt{3})^{31}[cos(8\pi-\frac{\pi}{4})+i\ sin(8\pi-\frac{\pi}{4})]\\ =(2\sqrt{3})^{31}[cos(\frac{\pi}{4})-i\ sin(\frac{\pi}{4})]\\ =(2\sqrt{3})^{31}[\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{1}{\sqrt{2}}i]$

Pregunta 5: Expande (1 – i) ¹⁰ .

Solución:

r = $\sqrt{(1^2+(-1)^2)} = \sqrt{2}$ , θ = π/4

La forma polar de (1 – i) = $[\sqrt{2}cos(\frac{\pi}{4})+i \ sin(\frac{\pi}{4})]$

Según el Teorema de De Moivre: (cosθ + sinθ) ⁿ = cos(nθ) + isin(nθ).

Así, (1 – i) ¹⁰ = $[\sqrt{2}(cos(\frac{π}{4})+ i sin(\frac{π}{4}))]^{10}\\ = (\sqrt2)^{10}[cos(\frac{10π}{4})+i\ sin(\frac{10π}{4})]\\ =(\sqrt2)^{10}[cos(\frac{5π}{2})+i\ sin(\frac{5π}{2})]\\ =(\sqrt2)^{10}[cos(2\pi+\frac{π}{2})+i\ sin(2\pi+\frac{π}{2})]\\ =(\sqrt2)^{10}[cos(\frac{π}{2})-i\ sin(\frac{π}{2})]\\$

= 32 [0 + i(-1)]

= 32 (-yo)

= -32i

Pregunta 6: Simplifica (1 + √3i) ⁶ .

Solución:

Módulo de (1 + √3i) ⁶ = $\sqrt{1^2+(\sqrt{3})^2}$ = 2

Argumento = tan ^-1 (√3/1) = tan ^-1 (√3) = π/3

⇒ Forma polar = $2[cos(\frac{\pi}{3})+i\ sin(\frac{\pi}{3})]$

Ahora, (1 + √3i) ⁶ = $[2(cos(\frac{\pi}{3})+i\ sin(\frac{\pi}{3}))]^6$

Según el teorema de DeMoivre, (cos x + i senx) ⁿ = cos(nx) + i sen(nx).

⇒ $[2(cos(\frac{\pi}{3})+i\ sin(\frac{\pi}{3}))]^6$

= $2^6(cos(\frac{6\pi}{3})+i\ sin(\frac{6\pi}{3}))$

= 64 (cos 2π + i sen 2π)

= 64(1 + 0)

= 64

Pregunta 7: Simplifica i ^√3 .

Solución:

Módulo = r = $\sqrt{0^2+1^2}$ = 1

Argumento = tan ^-1 [1/0] = π/2

Forma polar = r[cosθ + isinθ] = $1[cos(\frac{\pi}{2}) +i\ sin(\frac{\pi}{2})]$

Ahora, yo^{√3} = $[cos(\frac{\pi}{2}) + i\ sin(\frac{\pi}{2})]^{\sqrt3}$

Según el teorema de DeMoivre: (cosθ + isinθ) ⁿ = cos(nθ) + i sin(nθ).

⇒ $[cos(\frac{\pi}{2}) + i\ sin(\frac{\pi}{2})]^{\sqrt3}$

= $[cos(\frac{\sqrt3\pi}{2}) + i\ sin(\frac{\sqrt3\pi}{2})]$ .