El concepto de trillizos pitagóricos ha sido utilizado desde la antigüedad por muchos filósofos griegos, chinos e indios. Se utiliza para explicar la relación entre los tres lados (es decir, a, b y c) del triángulo rectángulo. Establece que en cualquier triángulo rectángulo el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma del cuadrado de los otros dos lados del triángulo. En este artículo, aprenderemos sobre la fórmula de los tripletes de Pitágoras en detalle junto con ejemplos.
Fórmula de los trillizos pitagóricos
Esta fórmula se usa para encontrar los tres números enteros positivos o términos que satisfacen el teorema de Pitágoras. Generalmente, estos tres términos se pueden escribir en la forma (a, b, c) y el triángulo formado por estos términos se conoce como el triángulo de Pitágoras. Consideremos un triángulo rectángulo en el que m es la base, n se conoce como perpendicular y p se conoce como hipotenusa. Teorema de los tripletes de Pitágoras: la suma de los cuadrados de dos lados cualesquiera es igual al cuadrado del tercer lado.
metro 2 + norte 2 = pag 2
Entonces la fórmula de los tripletes de Pitágoras es
- m = un – segundo
- n = 2ab
- p = un 2 + segundo 2
Aquí, m, n y p son la base, la perpendicular y la hipotenusa. a y b son dos enteros positivos donde a > b y son coprimos y no deben ser números impares.
1. Fórmula de tripletes pitagóricos para números naturales impares:
La siguiente fórmula se puede usar para encontrar los tripletes si tenemos un número impar (1, 3, 5, 7, 9, etc.) que se puede tomar como m, entonces los dos números se pueden encontrar poniendo m en la fórmula.
(m, (m 2 – 1)/2 , (m 2 + 1)/2)
Aquí m debe ser mayor que 1.
2. Fórmula de tripletes pitagóricos para números naturales pares:
La siguiente fórmula se puede usar para encontrar los tripletes si tenemos un número par (2, 4, 6, 8, 10, etc.) que se puede tomar como m, entonces los otros dos números se pueden encontrar poniendo m en la fórmula .
(m, (m 2 – 4)/4 , (m 2 + 4)/4)
Aquí m debe ser mayor que 2.
Prueba de la fórmula de los trillizos pitagóricos
Podemos demostrar la fórmula de los tripletes de Pitágoras de muchas maneras, pero aquí usamos el método algebraico. En este método, usamos los términos que se muestran en la siguiente figura.
Paso 1: Tenemos cuatro triángulos rectángulos con base m, perpendicular n e hipotenusa p. Ahora ordena estos triángulos para que formen dos cuadrados, uno es el cuadrado exterior ABCD cuyo lado es m+n y el otro es el cuadrado interior WZXY cuyo lado es c.
Paso 2: ahora encontramos el área del cuadrado interior, exterior y triángulos:
Área del cuadrado exterior ABCD = (m+n) 2
Área del cuadrado interior WXYZ = (p) 2
Área de un triángulo = 1/2(m × n) 2
Área de cuatro triángulos = 4 × 1/2(m × n) 2 = 2(m × n) 2
Paso 3: Como sabemos que el área del cuadrado ABCD = Área del cuadrado WXYZ + Área de cuatro triángulos
Entonces (m + n) 2 = 2 (m × n) 2 + p 2
metro 2 + 2 × metro × norte + norte 2 = 2 × metro × norte + pag 2
metro 2 + norte 2 = pag 2
Por lo tanto, se prueba la fórmula de los trillizos de Pitágoras.
Tipos de trillizos pitagóricos
1. Tripletas pitagóricas primitivas: Son también conocidas como tripletas reducidas, el máximo común divisor de estas tripletas es 1. O podemos decir que las tripletas pitagóricas primitivas son aquellas tripletas en las que los tres números no tienen ningún divisor común más que uno. Este tipo de tripletas solo contiene un número positivo par entre los tres números dados.
Ejemplo: 3, 4, 5
3, 4, 5 son tripletes pitagóricos ya que satisfacen la fórmula de los tripletes pitagóricos y el máximo común divisor de 3, 4, 5 es 1.
2. Trillizos pitagóricos no primitivos: Estos también se conocen como trillizos pitagóricos imprimitivos. Los tripletes pitagóricos no primitivos son aquellos tripletes en los que los tres números tienen un divisor común. Tales tipos de tripletes pueden contener más de un número positivo par entre los tres números dados.
Ejemplo: 6, 8, 10
6, 8, 10 son tripletes pitagóricos ya que satisfacen la fórmula de los tripletes pitagóricos, pero el máximo común divisor de 6, 8, 10 no es igual a 1, por lo que estos son tripletes pitagóricos no primitivos.
Propiedades de los trillizos pitagóricos
- Los tripletes pitagóricos son los lados de un triángulo rectángulo, representados como m, n, p.
- Estos números satisfacen la fórmula de los tripletes pitagóricos m 2 + n 2 = p 2 .
- Los lados m y n son los lados de un triángulo rectángulo que representan la perpendicular y la base, mientras que p es la hipotenusa.
- Triplete pitagórico consiste en todos los números pares, o dos números impares y un número par.
- Los tres números de un triplete pitagórico nunca pueden ser impares.
Ejemplos de preguntas
Pregunta 1: Encuentra trillizos pitagóricos si m = 8.
Solución:
Dado m = 8,
entonces (m 2 – 4)/4 = (64 – 4)/4 = 15
(m2 + 4)/4 =(64 + 4)/4 = 17
Por lo tanto, los trillizos pitagóricos son 8, 15, 17.
Pregunta 2: Encuentra trillizos pitagóricos si m = 9.
Solución:
Dado m = 9,
entonces (m 2 – 1)/2 = (81 – 1)/2 = 40
(m2 + 1)/2 =(81 + 1)/2 = 41
Por lo tanto, los trillizos pitagóricos son 9, 40, 41.
Pregunta 3: Encuentra trillizos pitagóricos uno de cuyos miembros es 13.
Solución:
Tome m = 13,
entonces (m 2 – 1)/2 = (169 – 1)/2 = 84
(m2 + 1)/2 =(169 + 1)/2 = 85
Por lo tanto, los trillizos pitagóricos son 13, 84, 85.
Pregunta 4: Comprobar si (6, 8, 10) es un triplete pitagórico o no.
Solución:
Tomemos m = 6, n = 8 y p = 10
Según la fórmula
metro 2 + norte 2 = pag 2
Obtenemos
(6) 2 + (8) 2 = (10) 2
36 + 64 = 100
100 = 100
Aquí LHS = RHS
Por tanto, se demostró que (6, 8, 10) es un triplete pitagórico.
Pregunta 5: Si (y, 84, 85) es un triplete pitagórico, encuentra el valor de y.
Solución:
Tomemos m = y, n = 84 y p = 85
Según la fórmula
metro 2 + norte 2 = pag 2
Obtenemos
(y) 2 + (84) 2 = (85) 2
y2 + 7056 = 7225
y2 = 169
y = 13
Publicación traducida automáticamente
Artículo escrito por lastbitcoder y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA