La trigonometría es una disciplina de las matemáticas que estudia las relaciones entre las longitudes de los lados y los ángulos de un triángulo rectángulo. Las funciones trigonométricas, también conocidas como funciones goniométricas, funciones angulares o funciones circulares, son funciones que establecen la relación entre un ángulo y la razón de dos de los lados de un triángulo rectángulo. Las seis funciones trigonométricas principales son seno, coseno, tangente, cotangente, secante y cosecante. Los ángulos trigonométricos son los ángulos definidos por las proporciones de las funciones trigonométricas. Los ángulos trigonométricos representan funciones trigonométricas. El valor del ángulo puede estar entre 0 y 360°.
Triángulo rectángulo
Como se indica en la figura anterior en un triángulo rectángulo:
- Hipotenusa: El lado opuesto al ángulo recto es la hipotenusa, es el lado más largo en un triángulo rectángulo y opuesto al ángulo de 90°.
- Base: El lado sobre el que se encuentra el ángulo C se conoce como base.
- Perpendicular: Es el lado opuesto al ángulo C en consideración.
Funciones trigonométricas
La trigonometría tiene 6 funciones trigonométricas básicas, son seno, coseno, tangente, cosecante, secante y cotangente. Ahora veamos las funciones trigonométricas. Las seis funciones trigonométricas son las siguientes,
- seno: la relación entre la perpendicular y la hipotenusa se define como seno y se representa como sen θ
- coseno: la relación entre la base y la hipotenusa se define como coseno y se representa como cos θ
- tangente: la relación entre el seno y el coseno de un ángulo se define como una tangente. Así, la definición de tangente resulta ser la relación entre la perpendicular y la base y se representa como tan θ.
- cosecante: Es el recíproco de sen θ y se representa como cosec θ.
- secante: Es el recíproco de cos θ y se representa como sec θ.
- cotangente: Es el recíproco de tan θ y se representa como cot θ.
De acuerdo con la imagen de arriba, las razones trigonométricas son
sen θ = Perpendicular/Hipotenusa = AB/AC
coseno θ = Base/Hipotenusa = BC/AC
tangente θ = Perpendicular/Base = AB/BC
cosecante θ = Hipotenusa/Perpendicular = AC/AB
secante θ = hipotenusa/base = AC/BC
cotangente θ = Base/Perpendicular = BC/AB
Identidades recíprocas
sen θ = 1/ cosec θ O cosec θ = 1/ sen θ
cos θ = 1/ seg θ O seg θ = 1 / cos θ
cuna θ = 1 / bronceado θ O bronceado θ = 1 / cuna θ
cot θ = Cos θ / sen θ O tan θ = sen θ / cos θ
tan θ.cot θ = 1
Identidades trigonométricas de ángulos complementarios y suplementarios
Ángulos Complementarios: Par de ángulos cuya suma es igual a 90°. Las identidades de los ángulos complementarios son:
sen (90° – θ) = cos θ
cos (90° – θ) = sen θ
bronceado (90° – θ) = cuna θ
cuna (90° – θ) = tan θ
segundo (90° – θ) = cosegundo θ
cosec (90° – θ) = sec θ
Ángulos Suplementarios: Par de ángulos cuya suma es igual a 180°. Las identidades de los ángulos suplementarios son:
sen (180° – θ) = sen θ
coseno (180° – θ) = – coseno θ
bronceado (180° – θ) = – bronceado θ
cuna (180° – θ) = – cuna θ
segundo (180° – θ) = – segundo θ
cosec (180° – θ) = – cosec θ
Fórmulas de coseno usando la identidad pitagórica
Una de las identidades trigonométricas entre seno y coseno. Representa sen 2 x + cos 2 x = 1
sen 2 x + cos 2 x = 1
Ahora restando sen 2 x de ambos lados,
cos 2 x = 1 – sen 2 x
ahora cuadrar ambos lados
cos x = ± √(1 – sen 2 x)
Fórmulas de coseno con fórmulas de suma/diferencia
Hay fórmulas de suma/diferencia para cada función trigonométrica que tratan con la suma de ángulos (x + y) y la diferencia de ángulos (x – y).
Las fórmulas de la función coseno con fórmulas de diferencia de suma son,
cos(x + y) = cos (x) cos(y) – sen (x) sen (y)
cos (x – y) = cos (x) cos (y) + sen (x) sen (y)
Fórmulas del coseno usando la ley de los cosenos
Esta ley se usa para encontrar los lados/ángulos que faltan en un triángulo que no tiene un ángulo recto. Suponga un triángulo ABC en el que AB = c, BC = a y CA = b.
Las fórmulas del coseno son,
cos A = (b 2 + c 2 – a 2 )/(2bc)
cos B = (c 2 + a 2 – b 2 )/(2ac)
porque C = (a 2 + b 2 – c 2 )/(2ab)
Fórmula de doble ángulo del coseno
En trigonometría al tratar con 2 veces el ángulo. Hay varios tipos de fórmulas de doble ángulo de coseno y, a partir de eso, usamos una de las siguientes mientras resolvemos el problema según la información disponible.
cos 2x = cos 2 (x) – sen 2 (x)
cos 2x = 2 cos 2 (x) − 1
cos 2x = 1 – 2 sen 2 (x)
cos 2x = [(1 – tan 2 x)/(1 + tan 2 x)]
Fórmula del triple ángulo del coseno
cos 3x = 4cos 3x – 3cosx
Problemas de muestra
Problema 1: Si sen a = 3/5 y a está en el primer cuadrante, encuentra el valor de cos a.
Solución:
Usando una de las fórmulas del coseno,
cos a = ± √(1 – sen 2 a)
Como a está en el primer cuadrante, cos a es positivo. De este modo,
cos a = √(1 – sen 2 a)
Sustituye el seno a = 3/5 aquí,
porque a = √(1 – (3/5) 2 )
porque a = √(1 – 9/25)
porque a =√ (16/25)
porque a = 4/5
Problema 2: Si sen (90 – A) = 2/3, encuentra el valor de cos A.
Solución:
Usando una de las fórmulas del coseno,
cos A = sen (90 – A)
dado que sen (90 – A) = 2/3. Por eso,
porque A = 2/3
El valor del cos A es 1/2.
Problema 3: En un triángulo ABC, AB = c, BC = a y CA = b. Además, a = 50 unidades, b = 60 unidades y c = 30 unidades. Encuentre cos A.
Solución:
Al usar la fórmula del coseno de la ley de los cosenos,
cos A = (b 2 + c 2 – a 2 ) / (2bc)
= (60 2 + 30 2 – 50 2 ) / (2 · 60 · 30)
= (3600 + 900 – 2500) / 3600
= 2000 / 3600
porque A = 5/9.
Problema 4: Si cos A = 4/5, cos B = 12/13, encuentra el valor de cos (A+B)?
Solución:
Aquí dado cos A = 4/5, cos B = 12/13
ya que A y B se encuentran en el 4º cuadrante y en el 4º cuadrante Sin A y Sin B serán negativos.
por lo tanto,
Sin A = – √(1 – cos 2 A)
= √{1 – (4/5) 2 }
= – √(1 – 16/25)
= -3/5
Seno B = – √(1 – cos 2 B)
= – √{1 – (12/13) 2 }
= -5/13
ahora
Según las fórmulas
cos(A + B) = cos (A) cos(B) – sen (A) sen (B)
= 4/5 × 12/13 – (-3/5)(-5/13)
= 48/65 – 15/65
= 33/65
Problema 5: Demostrar que cos4x = 1- 8sen 2 xcos 2 x.
Solución:
Dado que
IZQ = cos4x
= cos2(2x)
= cos 2x {cos 2x = 1 – 2 sen 2 (x)}
= 1 – 2 sen 2 2(x)
= 1 – 2 (sen2x) 2
= 1 – 2(2senx cosx) 2
= 1 – 8 sen 2 x cos 2 x
= lado derecho
Por lo tanto probado
Publicación traducida automáticamente
Artículo escrito por ManasChhabra2 y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA