La fórmula Half-Life se usa para encontrar el tiempo que una sustancia se descompondrá a la mitad de su valor inicial. Esta fórmula se utiliza cuando la velocidad de descomposición de la sustancia en cualquier instante es directamente proporcional a su valor o cantidad actual. A medida que pasa el tiempo, la cantidad de sustancia restante disminuye, por lo tanto, la tasa de descomposición también disminuye en consecuencia. Este tipo de decaimiento se conoce como decaimiento de primer orden.
Fórmula de vida media
La fórmula de vida media se utiliza principalmente para calcular la vida media de las sustancias radiactivas que se desintegran proporcionalmente a la cantidad restante actual. Por lo tanto, se puede definir la vida media de las sustancias radiactivas como el tiempo que tarda la mitad de una sustancia radiactiva en desintegrarse . Es importante saber acerca de la vida media, ya que saber acerca de las vidas medias nos permite determinar cuándo es seguro manipular una muestra de material radiactivo o no.
Fórmula:
t1 / 2 = 0,693 / λ
Dónde,
λ = constante de velocidad del decaimiento
Prueba:
Sea λ la constante de proporcionalidad de cualquier decaimiento. Luego, escribe la siguiente ecuación diferencial:
dN/dt = – λN
Aquí, N es la cantidad/cantidad de la sustancia en cualquier momento t. Por lo tanto,
dN/N = – λ dt
Integrando ambos lados,
∫dN/N = ∫-λ dt
iniciar sesión N | No N = – λ t | o t
log e N – log e N o = – λt
log e (N/N o ) = – λt ⇢ (i)
En la vida media, el valor de N se reduce a la mitad del valor inicial. De este modo,
N = N o / 2
Poniendo este valor en la ecuación anterior,
log e (1/2) = -λt 1/2
λt 1/2 = log e 2
t 1/2 = log e 2 / λ
Como, log e 2 = 0.693,
t1 / 2 = 0,693 / λ
Fórmula generalizada:
norte t = no ( 1/2 ) t/t 1/2
Prueba:
De la ecuación (i),
log e (N/N o ) = – λt
N/N o = e -λt
N = N o e -λt
Como, t 1/2 = log e 2 / λ,
λ = log 2 2 / t 1/2
Sustituyendo este valor,
N = N o e -log e 2 / t 1/2 × t
N = N o (e -log e 2 ) t / t 1/2
N = N o (1/2) t/t 1/2
Problemas de muestra
Pregunta 1: Encuentra el valor de la vida media de una sustancia cuya constante de descomposición es 1.386 seg -1 .
Solución:
Dado, constante de velocidad λ = 1.386
Por lo tanto, el valor de la vida media se da como
t1 / 2 = 0,693 / λ = 0,693 / 1,386 = 1/2
t 1/2 = 0,5 segundos
Pregunta 2: Encuentre el valor de la constante de velocidad, dado que la vida media de una sustancia es de 0,2 segundos.
Solución:
Dada la vida media t 1/2 = 0,2 segundos
Si la constante de velocidad es λ, entonces
t1 / 2 = 0,693 / λ
λ = 0,693 / t 1/2
λ = 0,693 / 0,2 = 3,465 s -1
λ = 3,465 s -1
Pregunta 3: dado que para una reacción de primer orden, la vida media es el doble del valor de la constante de velocidad, encuentre el valor de la constante de velocidad de la reacción.
Solución:
Sea la constante de velocidad λ.
Entonces la vida media t 1/2 = 2λ
Luego, escribe la ecuación de la vida media como:
t1 / 2 = 0,693 / λ
2λ = 0,693 / λ
2λ2 = 0,693
λ2 = 0,3465
λ = √0.3465
λ = 0,5886 s -1
Pregunta 4: Encuentre el valor de la vida media dado que el valor de la constante de velocidad es 0.3465 año -1 .
Solución:
Dado el valor de la constante de velocidad λ = 0,3465 año -1
El valor de la vida media viene dado por:
t1 / 2 = 0,693 / λ
t 1/2 = 0,693 / 0,3465 = 2 años
t 1/2 = 2 años
Pregunta 5: Considere una sustancia radiactiva con una masa de 4 kg y una vida media de 2 años. Encuentre el momento en que la sustancia se reduce a la cuarta parte de su valor actual.
Solución:
Masa inicial dada = 4 kg
Usando la fórmula generalizada, podemos escribir
N = N o (1/2) t/t 1/2
Dónde,
N = 4/4 = 1 kg
No = 4kg
t 1/2 = 2 años
Poniendo los valores,
1 = 4 × (1/2) t/2
2 t/2 = 4 =2 2
t/2 = 2
t = 4 años
Entonces, el tiempo que tarda la sustancia en reducirse a la cuarta parte de su valor inicial es de 4 años .
Pregunta 6: Encuentre la cantidad de sustancia radiactiva decaída en 4 años, dado que la cantidad inicial es de 64 kg, la vida media de la sustancia es de 1 año.
Solución:
Masa inicial dada = 64kgs
La cantidad de sustancia restante viene dada por la fórmula,
N = N o (1/2) t/t 1/2
Dónde,
No = 64kgs
t 1/2 = 1 año
t = 4 años
Poniendo los valores,
N = 64 × (1/2) 4/1 = 64/16 = 4 kg
Por lo tanto, cantidad de sustancia descompuesta = N o – N = 64 – 4 = 60 kg