La fórmula de diferencia porcentual encuentra el cambio de cualquier cantidad en términos de porcentaje. Es el cociente de la diferencia absoluta del valor inicial y final dividida por su media y multiplicada por 100.
Propiedades:
- Calcula el cambio del valor en términos de 100.
- Mide el valor absoluto de la diferencia entre dos cantidades.
- Siempre es una cantidad positiva.
- Es una cantidad adimensional.
Fórmula
Diferencia porcentual = Diferencia absoluta/Promedio × 100
Derivación:
Permite que el valor inicial sea a y el valor final sea b.
Entonces el valor promedio es (a + b) / 2
La diferencia queda como (b – a).
El valor absoluto de esta diferencia = |b – a|
Entonces, la razón de los dos anteriores es |b – a| / ((a + b) / 2) = 2|b – a| / (b + a)
Entonces, la diferencia porcentual es 2|b – a| / (b + a) × 100
Por lo tanto, la fórmula queda como:
Diferencia porcentual = 2|b – a| / (b + a) × 100
Problemas de muestra
Pregunta 1. Encuentra la diferencia porcentual de 20 y 40.
Solución:
El valor promedio es igual a (20 + 40) / 2 = 60/2 = 30
El valor absoluto de la diferencia = |40 – 20| = 20
Así, diferencia porcentual = 20 / 30 × 100 = 66,67 %
Pregunta 2. Si el valor inicial de la velocidad de un automóvil es de 30 km/h y el valor final es de 60 km/h, encuentre el valor de la diferencia porcentual de la velocidad del automóvil.
Solución:
El valor medio de la velocidad = (30 + 60)/2 = 45 km/h
El valor absoluto de la diferencia de velocidades = |60 – 30| = 30 km/h
Así, el valor de la diferencia porcentual = 30/45 × 100 = 66,67%
Pregunta 3. Encuentra el otro valor si un valor es 70 y la diferencia porcentual es 50%.
Solución:
Sea otro valor ‘a’.
Dado el otro valor es 70 y la diferencia porcentual es 50%.
El valor promedio es (a + 70) / 2.
El valor absoluto de la diferencia = |70 – a|
La diferencia porcentual es |70 – a| / (a + 70)/2 = 2|70 – a| / (a + 70) × 100
Así, podemos escribir,
2|70 – a| / (un + 70) × 100 = 50
|70 – un| / (un + 70) = 0,25
Hay dos casos posibles:
Caso 1 : Si a > 70,
Entonces, |70 – a| = un – 70
Entonces, podemos escribir:,
(a – 70) / (a + 70) = 0,25
a – 70 = 0,25a + 70 × 0,25 = 0,25a + 17,5
a-0,25a = 70 + 17,5
0,75a = 87,5
= 116,67
Caso 2 : Si a < 70,
Entonces, |70 – a| = 70 – un
(70 – a) / (a + 70) = 0,25
70 – a = 0,25a + 70 × 0,25 = 0,25a + 17,5
a + 0.25a = 70 – 17.5
1,25a = 52,5
un = 42
Pregunta 4. Si una persona escribió 45 como 54 por error, encuentre el valor de la diferencia porcentual.
Solución:
El valor medio de los dos números = (45 + 54)/2 = 99/2 = 49,5
El valor absoluto de la diferencia de los números = |45 – 54| = 9
Así, el valor de la diferencia porcentual = 9/49,5 × 100 = 18,18 %