¿Cómo usar el Teorema de DeMoivre para simplificar [2(cos π/3 + i sin π/3)]5?

Los números complejos son los números de la forma a + ib, tales que a y b son números reales y i (iota) es el componente imaginario y representa √(-1), comúnmente representado en su forma rectangular o estándar. Por ejemplo, 10 + 5i es un número complejo donde 10 es la parte real y 5i es la parte imaginaria.

Forma polar de un número complejo

Aquí, las coordenadas polares de las partes real e imaginaria se escriben para representar un número complejo. El ángulo en el que la recta numérica se inclina con respecto al eje real, es decir, el eje x, está representado por θ. La longitud representada por la línea se llama módulo y se representa con el alfabeto r. La siguiente figura muestra a y b como los componentes real e imaginario respectivamente y OP = r es el módulo.

Claramente, el teorema de Pitágoras se puede aplicar para el cálculo de la longitud r. Los argumentos se pueden calcular usando razones trigonométricas. Así, para un número complejo de la forma z = p + iq, su forma polar se escribe como sigue:

r = Módulo[cos(argumento) + isen(argumento)]

O, z = r[cosθ + isinθ]

Aquí, r = $\sqrt{p^2+q^2}$ y θ = tan ^-1 {q/p}.

Teorema de DeMoivre

Básicamente, una forma polar es solo otra forma de representar un número complejo dado en caso de que su índice sea 1. En caso de que el exponente de un número complejo dado exceda 1, debe evaluarse/expandirse, aquí es cuando el teorema de DeMoivre entra en juego. imagen. Para expandir un número complejo según su exponente dado, primero debe convertirse a su forma polar, que usa su módulo y argumento como sus constituyentes. Luego se aplica el teorema de DeMoivre, que establece lo siguiente,

Fórmula

Para todos los valores reales de, digamos, un número x,

(cos x + isinx) ⁿ = cos(nx) + isin(nx),

Donde n puede asumir cualquier valor racional.

¿Cómo usar el Teorema de DeMoivre para simplificar [2(cos π/3 + i sin π/3)] ⁵ ?

Solución:

Según el teorema de DeMoivre: (cosθ + sinθ) ⁿ = cos(nθ) + isin(nθ).

$[2(cos(\frac{\pi}{3})+ i\ sin(\frac{\pi}{3})]^5$

= $2^5[cos(\frac{5\pi}{3})+i\ sin(\frac{5\pi}{3})]$

= $2^5(\frac{1}{2}-i\frac{\sqrt{3}}{2})$

= 32(1 – i√3)/2

= 16 (1 – i√3)

Por lo tanto, [2(cos pi/3 + i sen pi/3)] ⁵ = 16 – 16√3i.

Problemas similares

Pregunta 1: Expande [√2(cos pi/4+i sen pi/4] ¹⁰ .

Solución:

Según el teorema de DeMoivre: (cosθ + sinθ) ⁿ = cos(nθ) + i sin(nθ).

$[\sqrt{2}(cos(\frac{π}{4})+ i sin(\frac{π}{4})]^{10} = (\sqrt2)^{10}[cos(\frac{10π}{4})+i\ sin(\frac{10π}{4})]\\ =(\sqrt2)^{10}[cos(\frac{5π}{2})+i\ sin(\frac{5π}{2})]\\ =(\sqrt2)^{10}[cos(2\pi+\frac{π}{2})+i\ sin(2\pi+\frac{π}{2})]\\ =(\sqrt2)^{10}[cos(\frac{π}{2})+i\ sin(\frac{π}{2})]\\$

= 32(0 + yo)

= 32i

Por tanto, [√2(cos pi/4 + i sen pi/4)] ¹⁰ = 32i.

Pregunta 2: Expande [√2(cos π/4 +i sin π/4)] ⁵ .

Solución:

Según el teorema de DeMoivre: (cosθ + sinθ) ⁿ = cos(nθ) + i sin(nθ).

$[\sqrt{2}cos(\frac{π}{4})+i\ sin(\frac{π}{4})]^5 = (\sqrt{2})^{5}[cos(\frac{5\pi}{4})+i\ sin(\frac{5\pi}{4})]\\ =(\sqrt{2})^{5}[cos(\pi+\frac{\pi}{4})+i\ sin(\pi+\frac{\pi}{4})]\\ =(\sqrt{2})^{5}[-cos(\frac{\pi}{4})-i\ sin(\frac{\pi}{4})]\\ = (\sqrt{2})^{5}[-\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{1}{\sqrt{2}}i]$

= -4 – 4i

Por lo tanto, [√2(cos π/4 +i sen π/4)] ⁵ = -4 – 4i.

Pregunta 3. Ampliar $[2\sqrt{2}cos(\frac{\pi}{4})+i\ sin(\frac{\pi}{4})]^6$ .

Solución:

Según el teorema de DeMoivre: (cosθ + sinθ) ⁿ = cos(nθ) + i sin(nθ).

$[2\sqrt{2}cos(\frac{\pi}{4})+i\ sin(\frac{\pi}{4})]^6 = (2\sqrt{2})^{6}[cos(\frac{6\pi}{4})+i\ sin(\frac{6\pi}{4})]\\ =(2\sqrt{2})^{6}[cos(\frac{3\pi}{2})+i\ sin(\frac{3\pi}{2})]\\ =(2\sqrt{2})^{6}[cos(\pi+\frac{\pi}{2})+i\ sin(\pi+\frac{\pi}{2})]\\ =(2\sqrt{2})^{6}[cos(\frac{\pi}{2})-i\ sin(\frac{\pi}{2})]\\ =(2\sqrt{2})^{6}[0-i]$

= 512 (-yo)

= -512i

Por lo tanto, $[2\sqrt{2}cos(\frac{\pi}{4})+i\ sin(\frac{\pi}{4})]^6$ = -512i.

Pregunta 4. Ampliar $[\sqrt{2}cos(\frac{\pi}{4})+i\ sin(\frac{\pi}{4})]^{18}$

Solución:

Según el teorema de DeMoivre: (cosθ + sinθ) ⁿ = cos(nθ) + i sin(nθ).

$[\sqrt{2}cos(\frac{\pi}{4})+i\ sin(\frac{\pi}{4})]^{18} = (\sqrt{2})^{18}[cos(\frac{18\pi}{4})+i\ sin(\frac{18\pi}{4})]\\ =(\sqrt{2})^{18}[cos(\frac{9\pi}{2})+i\ sin(\frac{9\pi}{2})]\\ =(\sqrt{2})^{18}[cos(4\pi+\frac{\pi}{2})+i\ sin(4\pi+\frac{\pi}{2})]\\ =(\sqrt{2})^{18}[cos(\frac{\pi}{2})+i\ sin(\frac{\pi}{2})]\\ =(\sqrt{2})^{18}[0+i]$

= 512i

Por lo tanto, $[\sqrt{2}cos(\frac{\pi}{4})+i\ sin(\frac{\pi}{4})]^{18}$ = 512i.

Pregunta 5. Ampliar $[2\sqrt{3}cos(\frac{\pi}{4})+i\ sin(\frac{\pi}{4})]^{31}$ .

Solución:

Según el teorema de DeMoivre: (cosθ + sinθ) ⁿ = cos(nθ) + i sin(nθ).

$[2\sqrt{3}cos(\frac{\pi}{4})+i\ sin(\frac{\pi}{4})]^{31} = (2\sqrt{3})^{31}[cos(\frac{31\pi}{4})+i\ sin(\frac{31\pi}{4})]\\ =(2\sqrt{3})^{31}[cos(8\pi-\frac{\pi}{4})+i\ sin(8\pi-\frac{\pi}{4})]\\ =(2\sqrt{3})^{31}[cos(\frac{\pi}{4})-i\ sin(\frac{\pi}{4})]\\ =(2\sqrt{3})^{31}[\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{1}{\sqrt{2}}i]$ .

Publicación traducida automáticamente

Artículo escrito por parmaramolaksingh1955 y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA

Forma polar de un número complejo

Teorema de DeMoivre

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