Si tan A = (sen θ – cos θ)/(sen θ + cos θ) entonces demuestre que sen θ + cos θ = ± √2 cos A

La trigonometría es una rama de las matemáticas que se ocupa de las razones trigonométricas que se utilizan para determinar los ángulos y los lados desconocidos de un triángulo. Los ángulos se escalan en radianes o grados. Los ángulos en trigonometría que se ejercitan ampliamente son 0°, 30°, 45°, 60° y 90°.

Razones trigonométricas

Las razones trigonométricas son 6 relaciones trigonométricas básicas que forman los fundamentos de la trigonometría. Estas 6 relaciones trigonométricas son proporciones de todas las combinaciones alcanzables distinguibles en un triángulo rectángulo y los ángulos se representan usando el símbolo matemático θ (theta).

Las seis razones trigonométricas básicas son:

• Seno
• Coseno
• Tangente
• Cosecante
• Secante
• Cotangente

Recíprocos de razones trigonométricas:

• sen θ = 1/coseg θ
• cos θ = 1/seg θ
• tan θ = 1/cuna θ

Identidad trigonométrica

La identidad trigonométrica es una ecuación que contiene razones trigonométricas de un ángulo si es verdadera para todos los valores del ángulo. Estos son utilizables siempre que las funciones trigonométricas estén involucradas en una expresión o ecuación. Todas estas razones trigonométricas se describen utilizando los lados del triángulo rectángulo, similar a un lado contiguo, un lado opuesto y un lado de la hipotenusa.

Algunas de las identidades son:

• tan θ = sen θ/cos θ
• cot θ = cos θ/sen θ
• bronceado θ. cuna θ = 1
• sen ² θ + cos ² θ = 1
• 1 + bronceado ² θ = segundo ² θ
• 1 + cuna ² θ = cosec ² θ

Para probar: sen θ + cos θ = ± √2 cos A, donde tan A = (sen θ – cos θ)/(sen θ + cos θ)

Solución:

Tenemos, tan A = (sen θ – cos θ)/(sen θ + cos θ)……(i)

Como sabemos, 1 + tan ² A = sec ² A……(ii)

Al sustituir el valor de tan A de (i) a (ii)

=> 1 + {(sen θ – cos θ)/(sen θ + cos θ)} ² = seg ² A

=> 1 + (sen θ – cos θ) ² /(sen θ + cos θ) ² = seg ² A

=> {(sen θ + cos θ) ² + (sen θ – cos θ) ² }/(sen θ + cos θ) ²  = seg ² A

=> (sen ² θ + cos ² θ + 2 sen θ cos θ + sen ² θ + cos ² θ – 2 sen θ cos θ)/(sen θ + cos θ) ²  = sec ² A

=> (1 + 1)/(sen θ + cos θ) ²  = seg ² A [ ∵ sen ² θ + cos ² θ = 1 ]

=> 2/(sen θ + cos θ) ²  = seg ² A 

=> 2/seg ² A = (sen θ + cos θ) ²

=>2 cos ² A = (sen θ + cos θ) ²    [ ∵ cos ² A = 1/seg ² A ]

=> (± √2 cos A) ² = (sen θ + cos θ) ²

=> ± √2 cos A = sen θ + cos θ [ejecutando la raíz cuadrada en ambos lados]

∴ sen θ + cos θ = ± √2 cos A, por lo tanto demostrado.

Preguntas similares

Pregunta 1: Si sen θ + cos θ = √2 cos θ (θ ≠ 90°), entonces encuentre el valor de tan θ

Solución: 

Dado sen θ + cos θ = √2 cos θ

=> (sen θ + cos θ)/cos θ = √2 cos θ/cos θ [ dividiendo ambos lados por cos θ ]

=> (sen θ/cos θ) + (cos θ/cos θ) = √2

=> tan θ + 1 = √2

=> tan θ = √2 – 1

Pregunta 2: Si sen θ + cos θ = √2 cos θ, entonces demuestre que cos θ − sen θ = √2 sen θ

Solución: 

Dado: sen θ + cos θ = √2 cos θ

Para probar: cos θ − sen θ = √2 sen θ

Prueba:-

sen θ + cos θ = √2 cos θ

=> sen ² θ + cos ² θ + 2 sen θ cos θ = 2 cos ² θ [ elevar al cuadrado ambos lados ]

=> sen ² θ – cos ² θ + 2 sen θ cos θ = 0

=> – sen ² θ – cos ² θ + 2 sen θ cos θ = – 2 sen ² θ [ restando ambos lados por 2 sen ² θ ]

=> sen ² θ + cos ² θ – 2 sen θ cos θ = 2 sen ² θ

=> (cos θ – sen θ) ² = 2 sen ² θ

=> cos θ − sen θ = √2 sen θ, por lo tanto demostrado.

Pregunta 3: Si xcos θ + y sen θ = p y x sen θ – y cos θ = q, entonces encuentre x ² + y ²

Solución:

p ² = x ² cos ² θ + y ² sen ² θ + 2 xy sen θ cos θ

q ² = x ² sen ² θ + y ² cos ² θ – 2 xy sen θ cos θ

p ² + q ² = x ² cos ² θ + y ² sen ² θ + 2 xy sen θ cos θ + x ² sen ² θ + y ² cos ² θ – 2 xy sen θ cos θ

p ² + q ² = x ² (sen ² θ + cos ² θ) + y ² (sen ² θ + cos ² θ) = x ² + y ²    [ ∵ sen ² θ + cos ² θ = 1 ]

∴ x ² + y ² = pag ² + q ²

Pregunta 4: El valor de 2sen ⁶ θ + 2cos ⁶ θ + 6 sen ² θ cos ² θ es 

Solución:

Tenemos, 2sen ⁶ θ + 2cos ⁶ θ + 6 sen ² θ cos ² θ

= 2( sen ⁶ θ + cos ⁶ θ + 3 sen ² θ cos ² θ (sen ² θ + cos ² θ))

= 2((sen ² θ) ³ + (cos ² θ) ³ + 3 sen ² θ cos ² θ (sen ² θ + cos ² θ))

= 2((sen ² θ + cos ² θ) ³ )

= 2×1 ³

= 2

Pregunta 5: Si sen θ + sen ² θ = 1, entonces el valor de cos ¹² θ + 3 cos ⁸ θ + cos ⁶ θ es

Solución:

Dado, sen θ + sen ² θ = 1

=> sen θ = 1 – sen ² θ

=> sen θ = cos ² θ……(i)

Sea, (sen ² θ + cos ² θ) ³ = 1 ³

=> sen ⁶ θ + cos ⁶ θ + 3 sen ² θ cos ² θ (sen ² θ + cos ² θ) = 1

=> (cos ² θ) ⁶ + cos ⁶ θ + 3 (cos ² θ) ² cos ² θ = 1

=> cos ¹² θ + cos ⁶ θ + 3 cos ⁸ θ = 1

∴ El valor de cos ¹² θ + 3 cos ⁸ θ + cos ⁶ θ es 1.