¿Cómo racionalizar números irracionales?

El sistema numérico no es más que la representación de diferentes tipos de números en la recta numérica (por ejemplo, números enteros, números enteros, números racionales, números irracionales, números naturales). Entendamos más brevemente, supongamos que uno tiene una recta numérica de -∞ a ∞ y tiene que juntar 0, 5, -6, 582, -633, etc. De la recta numérica, primero, verifique qué tipo de números son estos (como se sabe, uno ha recopilado números enteros de la recta numérica), y así se pueden suponer más tipos diferentes de números de la recta numérica para diferentes propósitos.

Números racionales e irracionales

Los números racionales son aquellos números que se pueden escribir en forma de p/q, es decir numerador dividido por denominador, y se puede decir que el número se puede representar en infracción. aquí p y q son números enteros y q no puede ser cero (q ≠ 0). Ejemplo: 2/4, 10/30, -25/1, etc. Todo número entero es un número racional pero no todo número racional es un número entero.

Los números irracionales son aquellos números que no se pueden representar en forma de p/q, donde p y q son números enteros y q no puede ser cero (q ≠ 0). Ejemplo: √2, √3, (3 + √7) .

¿Cómo racionalizar números irracionales?

¿Cuál es la necesidad de racionalizar los números irracionales? Representar números racionales en la recta numérica es fácil, pero si uno quiere representar números irracionales en la recta numérica, se vuelve mucho más difícil de representar. Entonces, para obtener una solución fácil para este problema, es necesario racionalizar el número irracional, e incluso en estudios posteriores de temas avanzados como integración, diferenciación, este tipo de subtemas ayuda mucho a resolverlos.

Para racionalizar números irracionales, supongamos que hay un número irracional 1/√2,

• Para la racionalización de 1/√2, es necesario eliminar la raíz del denominador.
• Para quitar la raíz del denominador, multipliquemos y dividamos con √2 a este número irracional que es 1/√2 × √2 /√2.
• Después de resolver esta expresión usando algunas propiedades de las raíces como √a × √a = a, se convierte en (1 × √2)/(√2 × √2 ) = √2/2.

√2/2 = 1.41/2 ahora uno puede representar fácilmente este punto en una recta numérica.

Tomemos otro problema complejo 3/(√5 + √3). El problema dado se puede resolver o se puede racionalizar usando alguna operación similar,

• Para la racionalización de este tipo de expresión, multiplique el denominador con signo opuesto tanto en el numerador como en el denominador.
• (3/(√5 + √3)) × ((√5 – √3)/(√5 – √3))
• Usa la propiedad (a + b) × (a – b) = a ² – b ²
• (3/(√5 + √3)) × (√5 – √3)/(√5 – √3) = ((3 × √5) – (3 × √3))/(√5) ² – (√3) ² 
• ((3 × √5) – (3 × √3)) / (√5) ² – (√3) ²  = (3√5 – 3√3)/5 – 3
• (3√5 – 3√3)/5 – 3 = 3(√5 – √3)/2

Entonces, de esta manera, un número irracional se puede racionalizar multiplicando y dividiendo el denominador en la pregunta dada.

Problemas de muestra

Pregunta 1: Resuelve, (2√3 + √2)/(1 + √2).

Solución:  

Multiplicar y dividir por el denominador con una pregunta (hacer el signo opuesto al denominador) significa (2√3 + √2)/(1 + 2) × (1 – √2)/(1 – √2)

= ((2√3 + √2) – 2√6 – 4)/1 – 2

= -((2√3 + √2) – 2√6 – 4)

= (2√3 – √2) + 2√6 + 4.

Pregunta 2: Resuelve, √5/(√6 – √3).

Solución:

√5/(√6 – √3) × (√6 + √3)/(√6 + √3)

(√5 × (√6 + √3))/6 – 3

(√30 + √15)/ 3

Pregunta 3: Resuelve, (1 + √17)/√39.

Solución:

= ((1 + √17)/√39) × √39/√39

= (√39 × (1 + √17))/√39 × √39

= (√39 + √663)/39.