Las derivadas se utilizan para encontrar la tasa de cambio de una función con respecto a las variables. Para encontrar la tasa de cambio de función con respecto a una variable se requiere diferenciarla con respecto a esa variable. La tasa de cambio de la función y = f(x) con respecto a x está definida por dy/dx o f'(x). Por ejemplo y = x 2 + x entonces, dy/dx = f'(x) = d(x 2 + x)/dx = 2x + 1.
Cuando dos variables (sea x = f(t) e y = g(t)) varían con respecto a otra variable t, entonces la tasa de cambio se calcula mediante la regla de la string. La tasa de cambio de y con respecto ax es: dy/dx = (dy/dt) × (dt/dx). Por ejemplo, x = t y y = 2t, entonces dy/dx se calcula como: dx/dt = 1 o dt/dx = 1 y dy/dt = 2. Por lo tanto, dy/dx = (dy/dt) × ( dt/dx) = 2 × 1 = 2. Por lo tanto, la tasa de cambio de y con respecto a x se calcula como la tasa de cambio de y con respecto a ty la tasa de cambio de t con respecto a x.
Aplicación de derivados
Las derivadas se utilizan principalmente en matemáticas para encontrar el cambio de valor de cualquier variable frente a otra variable. En la vida real también se ven y discuten los derivados. Por ejemplo, la palabra velocidad se menciona mucho, pero muy pocos saben que la velocidad también es un derivado, la velocidad es el cambio en la distancia respecto al tiempo. Veamos algunas aplicaciones importantes de las derivadas,
- Para encontrar la tasa de cambio de una función con respecto a las variables.
- Para encontrar curvas tangentes y normales.
- Para encontrar el valor máximo y mínimo de una función.
- Para encontrar si una función es creciente o decreciente y el intervalo donde la función es creciente o decreciente.
- Para encontrar la concavidad (si una función es cóncava hacia arriba o hacia abajo) de una función.
- Para calcular la velocidad a partir del desplazamiento y la aceleración a partir de la velocidad (la velocidad es un cambio de desplazamiento con respecto al tiempo y la aceleración es el cambio de velocidad con respecto al tiempo).
- Para encontrar el valor aproximado de ciertas cantidades (por ejemplo, raíz cuadrada, raíz cúbica de un número).
Tangente y Normal
Tangente a una curva en un punto dado es una línea recta que toca la curva en un punto dado (no interseca la curva, solo toca la curva en un punto dado). Mientras que Normal es una línea recta que es perpendicular a la tangente.
Por lo tanto, el producto de la pendiente de la tangente y la normal es -1 . Sea la pendiente indicada de la tangente y la normal m T y m N respectivamente. Después,
metro T × metro norte = -1 .
Si la tangente forma un ángulo Θ con el eje x, entonces la pendiente de la tangente = m T = tan Θ .
Dado que, m T × m N = -1 Entonces, tan Θ × m N = -1 .
Por tanto, la pendiente de la normal es -1/tan Θ o -cot Θ .
Ecuación de Tangente y Normal
La pendiente de la tangente a una curva cuya ecuación es y = f(x) en el punto a es f'(a) (derivada de f(x) en el punto a ). Por lo tanto, la ecuación de la tangente en forma punto-pendiente es
(y – f(a))/(x – a) = f'(a),
y usando la ecuación m T × m N = -1 ,
La ecuación de la normal es:
(y – f(a))/(x – a) = -1/f'(a) .
Problemas de muestra
Pregunta 1: y = x 2 es una ecuación de una curva, encuentre la ecuación de tangente y normal en el punto (1, 1).
Solución:
Primero diferencie y = x 2 , y’ = 2x .
La pendiente de la tangente en el punto (1, 1) es 2 × 1 = 2 y la pendiente de la normal es -1/2.
Por lo tanto, la ecuación de la tangente en el punto (1, 1) es: (y – 1)/(x – 1) = 2 => y = 2x – 1
Y la ecuación de normal en el punto (1, 1) es: (y – 1)/(x – 1) = -1/2 = 2y = -x + 3 .
Pregunta 2: y = x 4 + x 2 es una ecuación de una curva, encuentre la ecuación de tangente y normal en el punto (1, 2)
Solución:
Primero diferencia y = x 4 + x 2 , obtenemos y’ = 4x 3 + 2x .
La pendiente de la tangente en el punto (1, 2) es 4 × (1) 3 + 2 × 1 = 6 y la pendiente de la normal es -1/6 .
Por lo tanto, la ecuación de la tangente en el punto (1, 2) es: (y – 2)/(x – 1) = 6 => y = 6x – 4
Y la ecuación de normal en el punto (1, 2) es: (y – 2)/(x – 1) = -1/6 => 6y = -x + 13 .
Pregunta 3: y = x es una ecuación de una curva, encuentre la ecuación de tangente y normal en el punto (1, 1).
Solución:
Primero diferencia y = x , obtenemos y’ = 1 .
La pendiente de la tangente en el punto (1, 1) es 1 y la pendiente de la normal es -1.
Por lo tanto, la ecuación de la tangente en el punto (1, 1) es: (y – 1)/(x – 1) = 1 => y = x
Y la ecuación de normal en el punto (1, 1) es: (y – 1)/(x – 1) = -1 => 2y = -x + 2.
Pregunta 4: x = t y y = t es una ecuación de curva, encuentre la ecuación de tangente y normal en el punto t = 2.
Solución:
Primero diferencie x = t, obtenemos dx/dt = 1 o dt/dx = 1.
Y diferencie y = t, dy/dt = 1.
Por lo tanto, dy/dx = (dy/dt) × (dt/dx) = 1 × 1 = 1.
La pendiente de la tangente en el punto t = 2 es 1 y la pendiente de la normal es -1.
Por lo tanto, la ecuación de la tangente en el punto t = 2 es: (y – 2)/(x – 2) = 1 => y = x
Y la ecuación de normal en el punto en el punto t = 2 es (y – 2)/(x – 2) = -1 => y = -x + 4.
Pregunta 5: x = t y y = t 2 es una ecuación de curva y encuentra la ecuación de tangente y normal en el punto t = 1.
Solución:
Primero, diferencie x = t, dx/dt = 1 o dt/dx = 1.
Y diferencie y = t 2 , dy/dt = 2t = 2 × 1 = 2.
Por lo tanto, dy/dx = (dy/dt) × (dt/dx) = 2 × 1 = 2.
La pendiente de la tangente en el punto t = 1 es 2 y la pendiente de la normal es -1/2.
Por lo tanto, la ecuación de la tangente en el punto t = 1 es (y – 1)/(x – 1) = 2 => y = 2x – 1.
Y la ecuación de normal en el punto en el punto t = 1 es (y – 1)/(x – 1) = -1/2 => 2y = -x + 3.