¿Cómo encontrar la media de datos agrupados por método directo?

En palabras simples, las estadísticas implican el proceso de recopilar, clasificar, examinar, interpretar y luego presentar los datos de una manera comprensible para que uno pueda formarse una opinión sobre ellos y tomar las medidas necesarias, si es necesario. Ejemplos:

• Un profesor recogiendo las notas de los alumnos, organizándolas de forma ascendente o descendente, y calculando las notas medias de la clase, o encontrando el número de alumnos que reprobaron, informándoles para que empiecen a trabajar duro.
• Los funcionarios del gobierno recopilan datos para el censo y los comparan con registros anteriores para ver si el crecimiento de la población está bajo control o no.
• Analizar el número de seguidores de una determinada religión de un país.

Herramientas Estadísticas

Las herramientas de estadística más populares son las siguientes:

• Media aritmética: también conocida como promedio, la media aritmética para un conjunto dado de datos se calcula sumando los números de los datos y dividiendo la suma así obtenida por el número de observaciones.
• Mediana: el valor que separa los valores superior e inferior de un conjunto dado de datos estadísticos se denomina mediana.
• Moda: el valor que ocurre con mayor frecuencia en una serie dada de datos estadísticos se denomina moda.
• Desviación estándar: Un valor que indica hasta qué punto ciertos valores de una serie estadística tienden a variar o dispersarse de su media o mediana se denomina desviación estándar.
• Rango: dicho valor representa la diferencia entre los valores más alto y más bajo de una serie.
• Correlación: una herramienta estadística que ayuda a estudiar la relación entre dos variables se llama correlación.

Datos agrupados

Los datos que se expresan en forma de intervalos de clase y no como una unidad individual se denominan datos agrupados. Como sugiere el nombre, las observaciones se agrupan para formar intervalos, a los que luego se les asignan frecuencias correspondientes al número de veces que todas las unidades que pertenecen a ese intervalo en particular aparecen en el conjunto de datos dado. Dichos intervalos hacen que sea muy fácil analizar el conjunto de datos disponibles y ayudan a interpretar y comunicar de manera efectiva y rápida.

Ejemplo:

Un profesor asignado con la tarea de corregir los trabajos de 60 estudiantes (de 100 puntos) puede dividir el conjunto de datos en 10 grupos, como los estudiantes que han obtenido entre 0 y 10 se pondrían en un intervalo de clase de 0-10, aquellos que obtuvieron entre 0 y 10. 10 y 20 se colocarían en un intervalo de 10 a 20, y así sucesivamente hasta que el último grupo (intervalo) sea 90 a 100. Tal división se muestra a continuación:

Marcas anotadas	Numero de estudiantes
0 – 10	5
10 – 20	10
20 -30	3
30 – 40	10
40 – 50	4
50 – 60	7
60 – 70	9
70 – 80	6
80 – 90	4
90 – 100	2

Alternativamente, el maestro podría haber hecho 5 intervalos de clase eligiendo un tamaño de clase de 20, que se muestra a continuación:

Marcas anotadas	Numero de estudiantes
0 – 20	15
20 – 40	13
40 – 60	11
60 – 80	15
80 – 100	6

Este método de agrupar datos hace que sea mucho más fácil calcular las medidas de tendencia central, especialmente cuando el conjunto de datos es grande, como en el caso anterior. Sería un proceso tedioso anotar las calificaciones obtenidas por los 60 estudiantes, ordenarlas en orden ascendente para calcular la mediana, o enumerarlas, sumarlas y dividirlas por 60 para calcular la media aritmética. En otras palabras, la agrupación hace que el conjunto de datos se reduzca un poco para que el proceso de cálculo se pueda simplificar y los resultados se calculen de manera efectiva, ya que existe la posibilidad de error en el caso de manejar un conjunto de datos desagrupado tan grande.

Media aritmética para datos agrupados

Se requieren los siguientes pasos para calcular la media aritmética de datos agrupados:

• Calcule los puntos medios de los intervalos de clase en el conjunto de datos dado. Los puntos medios o marcas de clase, denotados por ‘m’, se calculan sumando los límites de clase inferior y superior y dividiendo dicha suma por 2. En otras palabras, se necesita encontrar el promedio de los límites de clase superior e inferior. de una clase en particular para obtener los puntos medios.

Ejemplo:

Intervalos de clase	Marcas de Clase/ Puntos Medios
0 – 10	= 05
10 – 20	= 15
20 – 30	= 25
30 – 40	= 35
40 – 50	= 45

• Multiplique las frecuencias de los intervalos de clase dados, denotados por ‘f’ con sus respectivas marcas de clase, denotados por ‘m’. Después de multiplicar todas las f con las respectivas m, sume todos estos resultados para representarlo como Σfm.
• Sume todas las frecuencias y denótelas con Σf.
• Divide la suma de frecuencias (Σf) con la suma del producto de puntos medios y frecuencias (Σfm).
• El número así obtenido es la media aritmética del conjunto de datos dado.

Por lo tanto, la media aritmética para un conjunto de datos dado donde las marcas de clase son m y las frecuencias son f, a través del método directo se calcula utilizando la siguiente fórmula:

Ejemplos de preguntas

Pregunta 1. Calcula la media aritmética del siguiente conjunto de datos utilizando el método directo:

Marcas	Numero de estudiantes
0 – 10	5
10 – 20	12
20 – 30	14
30 – 40	10
40 – 50	9

Solución:

Para el cálculo de la media, necesitamos calcular los intervalos de clase de los intervalos de clase dados. Esto se hace de la siguiente manera:

Marcas	Número de Estudiantes(f)	Puntos medios (m)	FM
0 – 10	5	5	25
10 – 20	12	15	180
20 – 30	14	25	350
30 – 40	10	35	350
40 – 50	9	45	405
	Σf = 50		Σfm = 1310

Media = X̄ =   =   = 26.2

Por lo tanto, la media del conjunto de datos dado es 26,2

Pregunta 2. Calcula la media aritmética del siguiente conjunto de datos utilizando el método directo:

Intervalos de clase	Frecuencia
0 – 2	2
2 – 4	4
4 – 6	6
6 – 8	8
8 – 10	10

Solución:

Para el cálculo de la media, necesitamos calcular los intervalos de clase de los intervalos de clase dados. Esto se hace de la siguiente manera:

Intervalos de clase	Frecuencia (f)	Puntos medios (m)	FM
0 – 2	2	1	2
2 – 4	4	3	12
4 – 6	6	5	30
6 – 8	8	7	56
8 – 10	10	9	90
	Σf = 30		Σfm = 190

Media = X̄ =   =   = 6.33

Por lo tanto, la media del conjunto de datos dado es 6.33

Pregunta 3. Calcula la media aritmética del siguiente conjunto de datos utilizando el método directo:

Intervalos de clase	Frecuencia
10 – 20	5
20 – 30	3
30 – 40	4
40 – 50	7
50 – 60	2
60 – 70	6
70 – 80	13

Solución:

Para el cálculo de la media, necesitamos calcular los intervalos de clase de los intervalos de clase dados. Esto se hace de la siguiente manera:

Intervalos de clase	Frecuencia (f)	Puntos medios (m)	FM
10 – 20	5	15	75
20 – 30	3	25	75
30 – 40	4	35	140
40 – 50	7	45	315
50 – 60	2	55	110
60 – 70	6	sesenta y cinco	390
70 – 80	13	75	975
	Σf = 40		Σfm = 2080

Media = X̄ =   =   = 52

Por lo tanto, la media del conjunto de datos dado es 52.

Pregunta 4. Calcula la media aritmética del siguiente conjunto de datos utilizando el método directo:

Intervalos de clase	Frecuencia
100 – 120	4
120 – 140	6
140 – 160	10
160 – 180	8
180 – 200	5

Solución:

Para el cálculo de la media, necesitamos calcular los intervalos de clase de los intervalos de clase dados. Esto se hace de la siguiente manera:

Intervalos de clase	Frecuencia (f)	Puntos medios (m)	FM
100 – 120	4	110	440
120 – 140	6	130	780
140 – 160	10	150	1500
160 – 180	8	170	1360
180 – 200	5	190	950
	Σf = 33		Σfm = 5030

Media = X̄ =   =   = 152.42

Por lo tanto, la media del conjunto de datos dado es 152,42