El sistema numérico es un método para representar números en una recta numérica. Los símbolos van del 0 al 9 y se denominan dígitos. Un polinomio es una función de la forma f(x) = a n x n + a n−1 x n−1 + … + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 . El grado de un polinomio es la mayor potencia de x en la expresión. Los polinomios constantes (distintos de cero) son de grado 0, los polinomios lineales (la potencia máxima de x es 1) son de grado 1, los polinomios cuadráticos (la potencia máxima de x es 2) son de grado 2 y así sucesivamente.
raíces o ceros
Si a y b son raíces, entonces la función polinomial con estas raíces es f(x) = (x – a)(x – b), o un múltiplo de esto. Por ejemplo, si una expresión cuadrática tiene las raíces x = 3 y x = -2, entonces la función debe ser f(x) = (x – 3)(x + 2), o un múltiplo constante de esto. Esto se puede aplicar a polinomios de cualquier grado. Por ejemplo, si las raíces de un polinomio son x = 2, x = 3, x = 4, entonces la función debe ser f(x) = (x – 2)(x – 3)(x – 4), o una múltiplo constante de este. Intentemos también pensar en la función f(x) = (x – 1) 2 . Se ve que x – 1 = 0, entonces x = 1. Para esta función, hay una raíz. Esto es lo que se llama una raíz repetida y esta raíz se puede repetir cualquier número de veces. Por ejemplo, f(x) = (x – 2) 3 (x + 4) 4tiene una raíz repetida x = 2, y una raíz repetida x = -4. Se puede decir que la raíz x = 2 tiene una multiplicidad de 3 y que la raíz x = -4 tiene una multiplicidad de 4.
Multiplicidad y Raíces Múltiples
Las raíces múltiples de un polinomio son raíces cuyos factores aparecen más de una vez en la factorización completa del polinomio. Al número de veces que aparece un factor en la factorización completa lo llamamos multiplicidad de la raíz. Los siguientes ejemplos demostrarán cómo se encuentran la multiplicidad y las raíces múltiples.
¿Cuál es el cero múltiple y la multiplicidad de f(x) = x 3 + 2x 2 + x?
Solución:
El objetivo aquí es encontrar el cero múltiple y la multiplicidad de f(x) = x 3 + 2x 2 + x. El número de veces que un factor dado aparece en la forma factorizada de la ecuación de un polinomio se llama multiplicidad. Un cero múltiplo es una raíz con multiplicidad m ≥ 2.
f(x) = x 3 + 2x 2 + x. Se igualará a cero.
x 3 + 2x 2 + x = 0
x(x 2 + 2x + 1) = 0 (extraer x común de la ecuación y la parte restante se convierte en una ecuación cuadrática)
x 2 + 2x + 1 se puede escribir como (x + 1) 2 se puede ver que las raíces o ceros de f(x) son 0, -1. Aquí cero tiene una multiplicidad de 1 ya que ocurre una vez en la forma factorizada. -1 tiene una multiplicidad de 2. Por lo tanto, el cero múltiplo de f(x) = x 3 + 2x 2 + x, es -1 y tiene una multiplicidad de 2.
Problemas similares
Pregunta 1: ¿Cuál es el múltiplo cero y la multiplicidad de y = 3(x + 3) 3 (x + 2) 4 (x – 1) 2 (x – 5).
Solución:
Las raíces de esta función son,
x + 3 = 0 -> x = -3
x + 2 = 0 -> x = -2
x – 1 = 0 -> x = 1
x – 5 = 0 -> x = 5
Los ceros múltiples son -5, -2, 1. La multiplicidad de x = -5 es 3 porque x + 5 se eleva a la potencia 3. De manera similar, x = -2 es 4 y x = 1 es 2.
Pregunta 2: ¿Cuál es el cero múltiplo y la multiplicidad de y = (x + 1) 2 (x + 3) 3
Solución:
Las raíces de esta función son,
x + 1 = 0 -> x = -1
x + 3 = 0 -> x = -3F
Los ceros múltiples son -1, 3. La multiplicidad de x = -1 es 2 porque el término x + 1 se eleva a la potencia 2 y la multiplicidad de x = -3 es 3 porque x + 3 se eleva a la potencia 3