Encuentre el valor de cot(90° –θ) cosec(90° –θ) sinθ tanθ tan(90° –θ)

Trigonometría se deriva de palabras latinas, ‘trigonon’ que significa triángulo y ‘metron’ que significa medida, que simplemente significa medición de triángulos. Pero, ¿qué se entiende por medir triángulos? Como se sabe que un triángulo tiene 3 lados y 3 ángulos. La trigonometría estudia la relación entre estos 3 lados y 3 ángulos.  

La trigonometría tiene aplicaciones en una amplia variedad de campos como la astronomía, la arquitectura, el sistema de navegación por satélite, la agrimensura, etc. La trigonometría se encuentra en varios fenómenos naturales como los movimientos periódicos, los movimientos armónicos simples, la mecánica cuántica, la óptica y la acústica, etc. La trigonometría se puede aplicado a cualquier tipo de triángulo pero para el alcance de este artículo, nos limitaremos al triángulo rectángulo. Veamos los fundamentos de la trigonometría.  

razones trigonométricas

Considere un triángulo rectángulo ABC que se muestra a continuación. Consideremos por un momento ∠C. Antes de entender las razones trigonométricas, uno tiene que entender 3 términos asociados con el ángulo que hemos considerado (aquí, es ∠C).

• Perpendicular El lado opuesto al ángulo en consideración se llama perpendicular. En nuestro diagrama, la perpendicular a ∠C es AB.
• Hipotenusa El lado opuesto al ángulo recto se llama hipotenusa. En el diagrama anterior, la hipotenusa es AC.
• Base El lado adyacente al ángulo en consideración se llama base. En el diagrama anterior, para ∠C, la base en BC.

Ahora que se entiende el significado de la perpendicular, la hipotenusa y la base, avancemos más. Como hay tres lados en ∆ABC, toma dos lados cualesquiera para formar una razón. Aplicando permutaciones para tres lados, calcula que forman seis proporciones. Cada una de estas seis proporciones recibe un nombre especial.

1. seno de ∠C = sen C = Perpendicular/Hipotenusa = AB/AC
2. cosecante de ∠C = cosec C = hipotenusa/perpendicular = AC/AB
3. coseno de ∠C = cos C = Base/Hipotenusa = BC/AC
4. secante de ∠C = sec C = Hipotenusa/Base = AC/BC
5. tangente de ∠C = tan C = Perpendicular/Base = AB/BC
6. cotangente de ∠C = cot C = Base/Perpendicular = BC/AB

Relacion reciproca

Como hemos visto anteriormente, sen C = AB/AC y cosec C = AC/AB. Aquí, observe que sen y cosec son recíprocos entre sí. Por lo tanto, las siguientes son las relaciones recíprocas entre las razones trigonométricas, Para todo ángulo θ,

• senθ = 1/cosegθ y cosecθ = 1/senθ
• cosθ = 1/segθ y secθ = 1/cosθ
• tanθ = 1/cotθ y cotθ = 1/tanθ

Además, fórmulas para tanθ y cotθ.

• tanθ = senθ/cosθ
• cotθ = cosθ/sinθ

Identidades trigonométricas

Las seis razones trigonométricas están conectadas entre sí por tres identidades trigonométricas que son las siguientes:

• sen ² θ + cos ² θ = 1
• segundo ² θ – bronceado ² θ = 1
• cosec ² θ – cot ² θ = 1

Ángulos complementarios y razones

Volvamos a aprender ángulos complementarios. Se dice que dos ángulos son complementarios si su suma es 90°. Considere que ∆QPR se da a continuación, en ángulo recto en Q. De manera similar, se dice que dos ángulos son suplementarios si su suma es 180°.

Al aplicar la propiedad de la suma de ángulos, ∠P + ∠Q + ∠R = 180°

∠P + 90° + ∠R = 180°

∠P + ∠R = 90°

Entonces, la suma de ∠P y ∠Q es 90°. Esto es cierto para cualquier triángulo rectángulo en el sentido de que dos ángulos además del ángulo recto siempre son complementarios. Recuerde este punto, ya que será útil en futuras discusiones. Ahora considere sen P = RQ/RP y cos R = RQ/RP. Observe aquí que sen P = cos R. De manera similar, considere tan P = RQ/QP y cot R = RQ/QP. Aquí, vea que tan P = cot R.

Recuerda que ∠P y ∠R son ángulos complementarios y el seno de uno es igual al coseno del otro. Por lo tanto, concluyó que el seno y el coseno son complementarios entre sí, es decir, son razones complementarias. De manera similar, tan y cot son razones complementarias y cosecante y secante son razones complementarias. Entonces, se obtienen los siguientes resultados, si θ y (90° – θ) son dos ángulos complementarios entonces,

• sin(90° – θ) = cos θ
• cosec(90° – θ) = sec θ
• tan(90° – θ) = cuna θ
• cos(90° – θ) = sen θ
• sec(90° – θ) = cosec θ
• cuna(90° – θ) = tan θ

Ahora veamos algunos ejemplos de problemas relacionados con las fórmulas aprendidas anteriormente.

Encuentra el valor de cot(90° – θ) cosec(90° – θ) sinθ tanθ tan(90° – θ)

Fórmulas que se utilizarán para resolver esta pregunta.

1. cuna(90° – θ) = tan θ
2. cosec(90° – θ) = sec θ
3. tan(90° – θ) = cuna θ
4. cuna θ × bronceado θ = 1
5. tan θ = senθ/cosθ
6. segundo θ = 1/cos θ

Solución:

Considere la pregunta cot(90 – θ) cosec(90 – θ) sin θ tan θ tan(90 – θ). Usando las fórmulas anteriores 1, 2 y 3, convierta la expresión de la siguiente manera: tan θ sec θ sin θ tan θ cot θ.

• Ahora usando la fórmula 4, modificando los dos últimos términos del primer paso, tan θ sec θ sin θ × 1.
• Utilizando la fórmula 5, la expresión se convierte en: senθ/cosθ × sec θ × sen θ.
• Aplicando la fórmula 6, la expresión se convierte en: senθ/cosθ × 1/cosθ × sen θ

El siguiente paso es simplificar: (sinθ × sinθ) / (cosθ × cosθ) = sin ² θ / cos ² θ

Ahora, senθ/cosθ = tan θ (fórmula 5),

Por lo tanto, sen ² θ / cos ² θ = tan ² θ 

Entonces, el valor final de cot(90 – θ) cosec(90 – θ) sin θ tan θ tan(90 – θ) es tan ² θ.

Problemas similares

Pregunta 1: Encuentra el valor de (tan(90 ° – θ) cosecθ cos(90 ° – θ)) / (sec(90 ° – θ) sin(90 ° – θ) cosθ)

Solución:

Considere el problema (tan(90° – θ) cosecθ cos(90° – θ)) / (sec(90° – θ) sin(90° – θ) cosθ)

Al usar las fórmulas, 

• tan( 90° – θ) = cuna θ,
• cos( 90° – θ) = sen θ,
• sec( 90° – θ) = cosecθ, y
• sen( 90° – θ) = cos θ

Obtenemos (cotθ cosecθ sinθ) / (cosecθ cosθ cosθ)

Al seguir resolviendo, (cotθ sinθ) / (cos ² θ)

Ahora usando la fórmula cotθ = cosθ/sinθ,

= (cosθ sinθ)/(senθ cos ² θ)

Finalmente, 1/cosθ que es igual a secθ por relación recíproca.

Entonces, (tan(90° – θ) cosecθ cos(90° – θ)) / (sec(90° – θ) sin(90° – θ) cosθ) = secθ

Pregunta 2: Evalúa lo siguiente: tan(90 ° – θ) secθ – cot(90 ° – θ) cosθ / cos ² (90 ° – θ)

Solución:

Sobre el uso de las fórmulas 

• tan(90° – θ) = cotθ,
• cot(90° – θ) = tanθ y
• cos ² (90° – θ) = sen ² θ,

El problema se modifica a cotθ.secθ – tanθ(cosθ / sin ² θ)

Usando las fórmulas,

• cotθ = cosθ/sinθ,
• secθ = 1/cosθ y
• tanθ = senθ/cosθ

= (cosθ/senθ)(1/cosθ) – (senθ / cosθ).cosθ/(sen ² θ)

Al resolver más, 1/sinθ – 1/sinθ = 0

Entonces, tan(90° – θ)secθ – cot(90° – θ)cosθ/cos ² (90° – θ) = 0