Se lanzan dos dados simultáneamente, ¿cuál es la probabilidad de obtener el mismo número en ambos dados?

Probabilidad significa Posibilidad. Establece la probabilidad de que ocurra un evento. La probabilidad de un evento puede existir solo entre 0 y 1 donde 0 indica que el evento no va a suceder, es decir, Imposibilidad y 1 indica que va a suceder con seguridad, es decir, Certeza. 

Cuanto mayor o menor sea la probabilidad de un evento, más probable es que el evento ocurra o no, respectivamente. Por ejemplo: una moneda imparcial se lanza una vez. Entonces, el número total de resultados puede ser solo 2, es decir, «cara» o «cruz». La probabilidad de ambos resultados es igual, es decir, 50% o 1/2.

Entonces, la probabilidad de un evento es Resultados favorables/Número total de resultados. Se denota con el paréntesis, es decir, P (Evento).

P(Evento) = N(Resultados Favorables) / N (Resultados Totales)

Nota: si la probabilidad de que ocurra un evento A es 1/3, entonces la probabilidad de que no ocurra un evento A es 1-P(A), es decir, 1- (1/3) = 2/3

¿Qué es el espacio muestral?

Todos los resultados posibles de un evento se denominan espacios muestrales.

Ejemplos-

• Un dado de seis caras se lanza una vez. Entonces, los resultados totales pueden ser 6 y 
  el espacio muestral será [1, 2, 3, 4, 5, 6]
• Se lanza una moneda imparcial, por lo tanto, los resultados totales pueden ser 2 y 
  el espacio muestral será [cara, cruz]
• Si se lanzan dos dados juntos, los resultados totales serán 36 y 
  el espacio muestral será 
  [ (1, 1) (1, 2) (1, 3) (1, 4) (1, 5) (1, 6)  
     (2 , 1) (2, 2) (2, 3) (2, 4) (2, 5) (2, 6)  
     (3, 1) (3, 2) (3, 3) (3, 4) (3 , 5) (3, 6)   
     (4, 1) (4, 2) (4, 3) (4, 4) (4, 5) (4, 6)   
     (5, 1) (5, 2) (5 , 3) (5, 4) (5, 5) (5, 6)  
     (6, 1) (6, 2) (6, 3) (6, 4) (6, 5) (6, 6) ]

Tipos de eventos

Eventos Independientes: Si dos eventos (A y B) son independientes entonces su probabilidad será P(A y B) = P (A ∩ B) = P(A).P(B) es decir, P(A) * P(B) )

Ejemplo: si se lanzan dos monedas, entonces la posibilidad de que ambas salgan cruz es 1/2 * 1/2 = 1/4

Eventos mutuamente excluyentes:

• Si el evento A y el evento B no pueden ocurrir simultáneamente, se denominan eventos mutuamente excluyentes.
• Si dos eventos son mutuamente excluyentes, entonces la probabilidad de que ambos ocurran se denota como P (A ∩ B) y 
  P (A y B) = P (A ∩ B) = 0
• Si dos eventos son mutuamente excluyentes, entonces la probabilidad de que ocurra cualquiera se denota como P (A ∪ B) 
  P (A o B) = P (A ∪ B) 
                 = P (A) + P (B) − P (A ∩ B)    
                 = PAG (A) + PAG (B) − 0      
                 = PAG (A) + PAG (B)

Ejemplo: La posibilidad de sacar un 2 o un 3 en un dado de seis caras es P (2 o 3) = P (2) + P (3) = 1/6 + 1/6 = 1/3

Eventos no mutuamente excluyentes: si los eventos no son mutuamente excluyentes, entonces

PAG (A o B) = PAG (A ∪ B) = PAG (A) + PAG (B) − PAG (A y B)

¿Qué es la probabilidad condicional?

Para la probabilidad de algún evento A, se da la ocurrencia de algún otro evento B. Se escribe como P (A ∣ B)

PAG (A ∣ B) = PAG (A ∩ B) / PAG (B)

Ejemplo- En una bolsa de 3 bolas negras y 2 bolas amarillas (5 bolas en total), la probabilidad de sacar una bola negra es 3/5, y de sacar una segunda bola, la probabilidad de que sea una bola negra o una bola amarilla depende de la bola sacada previamente. Ya que, si se sacara una bola negra, entonces la probabilidad de volver a sacar una bola negra sería de 1/4, ya que solo habrían quedado 2 bolas negras y 2 amarillas, si previamente se sacara una bola amarilla, la probabilidad de sacar una bola negra será 3/4.

Cuando se lanzan dos dados, ¿cuál es la probabilidad de obtener el mismo número en ambos dados?

Solución:

Cuando se lanzan dos dados juntos, los resultados totales son 36 y el espacio muestral es 
[ (1, 1) (1, 2) (1, 3) (1, 4) (1, 5) (1, 6) 
   (2, 1 ) (2, 2) (2, 3) (2, 4) (2, 5) (2, 6) 
   (3, 1) (3, 2) (3, 3) (3, 4) (3, 5 ) (3, 6) 
   (4, 1) (4, 2) (4, 3) (4, 4) (4, 5) (4, 6)
   (5, 1) (5, 2) (5, 3 ) (5, 4) (5, 5) (5, 6)
   (6, 1) (6, 2) (6, 3) (6, 4) (6, 5) (6, 6) ]

Entonces, los pares con el mismo número son (1, 1) (2, 2) (3, 3) (4, 4) (5, 5) (6, 6) es decir, un total de 6 pares

Resultados totales = 36
Resultados favorables = 6

Probabilidad de obtener el mismo número = Resultados favorables / Resultados totales
                                                               = 6 / 36 = 1/6

Entonces, P(N, N) = 1/6.

Preguntas similares

Pregunta 1: ¿Cuál es la probabilidad de obtener 1 número impar y 1 par en dos dados?

Solución:

Cuando se lanzan dos dados juntos, los resultados totales son 36 y el espacio muestral es 
[ (1, 1) (1, 2) (1, 3) (1, 4) (1, 5) (1, 6) 
   (2, 1 ) (2, 2) (2, 3) (2, 4) (2, 5) (2, 6)
   (3, 1) (3, 2) (3, 3) (3, 4) (3, 5 ) (3, 6) 
   (4, 1) (4, 2) (4, 3) (4, 4) (4, 5) (4, 6)  
   (5, 1) (5, 2) (5, 3 ) (5, 4) (5, 5) (5, 6)  
   (6, 1) (6, 2) (6, 3) (6, 4) (6, 5) (6, 6) ]

Entonces, los pares con 1 impar y 1 par son (1,2) (1,4) (1,6) (2,1) (2,3) (2,5) (3,2) (3,4) (3,6) (4,1) (4,3) (4,6) (5,2) (5,4) (5,6) (6,1) (6,3) (6,5) es decir, un total de 18 pares

Resultados totales = 36
Resultados favorables = 18

Probabilidad de obtener un par con 1 número impar y 1 par = Resultados favorables / Resultados totales = 18/36 = 1/2

Entonces, P(O, E) o P(E, O) = 1/2.

Pregunta 2: ¿Cuál es la probabilidad de obtener un múltiplo de 3 en un solo dado?

Solución:

Cuando se lanzan dos dados juntos, los resultados totales son 36 y el espacio muestral es

[1, 2, 3, 4, 5, 6]

Resultados totales = 6
Resultados favorables = 3, 6, es decir, solo 2

Probabilidad de obtener un múltiplo de 3 = Resultados favorables / Resultados totales = 2/36 = 1/18

Entonces, P(múltiplo de 3) = 1/18.

Pregunta 3: ¿Cuál es la probabilidad de obtener un par impar en el primer dado y par en el segundo dado?

Solución:

Cuando se lanzan dos dados juntos, los resultados totales son 36 y el espacio muestral es 
[ (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6)
   (2,1 ) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6)
   (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5 ) (3,6) 
   (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6)  
   (5,1) (5,2) (5,3 ) (5,4) (5,5) (5,6) 
   (6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6) ]

Entonces, los pares impares en el primer dado y pares en el segundo dado son (1,2) (1,4) (1,6) (3,2) (3,4) (3,6) (5,2) (5 ,4) (5,6) es decir, un total de 9 pares

Resultados totales = 36
Resultados favorables = 9

Probabilidad de obtener un par con impar en el primer dado e incluso en el segundo dado 
                                   = resultados favorables / resultados totales                                                       
                                   = 9/36 = 1/4

Entonces, P(O, E) = 1/4.