¿Qué es Rombo?

En nuestra vida diaria, nos encontramos con una serie de formas y figuras geométricas. Estos incluyen la construcción de edificios, represas, diseño de interiores, gráficos por computadora, etc. La geometría juega un papel importante en el estudio y la creación de las cosas que nos rodean. Se utiliza ampliamente en diversas ciencias, así como en arquitectura, escultura y arte. Todas las formas como rectángulo, triángulo, círculo, cuadrado, cono, cilindro, etc. pertenecen a la geometría. En otras palabras, la geometría tiene que ver con las formas y sus propiedades. Pero la creación de nuevos objetos solo puede ser posible a través de medidas adecuadas para que dichos objetos se personalicen según las necesidades de las personas que los utilizan. Por ejemplo, un tanque de agua para instalar en la azotea de alguien debe tener un tamaño considerable. Puede ser de forma cilíndrica o cúbica, y su capacidad (volumen) debe ajustarse a las necesidades de las personas que lo utilizan, y también la cantidad de suministro de agua a esa área. Si bien se consideran estos factores, también se debe tener en cuenta el área de superficie que ocuparía el tanque. Esto definitivamente requiere mediciones y cálculos adecuados antes de construir e instalar el tanque. Aquí es cuando el concepto de medición entra en escena.

¿Qué es la medición?

La medición se refiere al cálculo de varias dimensiones de todas las formas 2D y 3D que vemos a nuestro alrededor. No solo eso, sino que la medición también se usa para calcular el área, el perímetro, el área de la superficie lateral, el volumen, etc. de varios objetos que nos rodean. Todos los cálculos relacionados con formas y tamaños geométricos pertenecen a esta rama de las matemáticas. 

Tipos de Formas: 2D y 3D

• Un espacio bidimensional es aquel que tiene solo dos dimensiones, a saber, largo y ancho. Estas formas no tienen altura ni anchura. Su posición elemental se puede determinar con la ayuda de solo dos dimensiones. Siempre determinamos el área o el perímetro de tales formas. La siguiente figura muestra algunas figuras 2D:

• Un espacio tridimensional es aquel que tiene una altura/anchura/profundidad, a diferencia de las formas 2D. En el caso de formas 3D, volumen, superficie lateral, se determina la superficie curva. Estas formas se componen de una serie de formas 2D. La siguiente figura muestra algunas formas 3D:

Terminología básica

• Área: una cantidad que muestra el tamaño/región/forma de un objeto bidimensional. Se puede encontrar multiplicando la longitud de tal forma por su anchura. El área se puede calcular solo para formas bidimensionales. Se mide en unidades cuadradas.
• Perímetro: Es básicamente la distancia alrededor de una forma. La suma de las longitudes de los lados de una figura dada se llama perímetro. En el caso de una elipse/circunferencia, el perímetro se llama circunferencia.
• Volumen: Es una cantidad perteneciente a formas tridimensionales. Representa la forma que ocuparía un espacio/objeto tridimensional. A diferencia del área, se mide en unidades cúbicas.
• Área de superficie lateral: La superficie lateral de un objeto incluye todos los lados del objeto pero excluye su base y su parte superior. Por lo tanto, el área de una forma que incluye todos los lados de dicha forma, pero excluye su base y su parte superior, se denomina área de superficie lateral.
• Área de superficie curva: se define como el área de las superficies curvas de un objeto.
• Área de Superficie Total: Se define como el área total de la superficie ocupada/excluida por un objeto o forma determinada. A diferencia de las áreas de superficie laterales y curvas, tiene en cuenta todos los lados de la forma, ya sea la parte superior/base/curvas, etc.
• Diagonales: Son los segmentos de recta que se forman al unir dos vértices de un cuadrilátero (forma geométrica que se forma al unir 4 puntos).

¿Qué son los cuadriláteros?

Un cuadrilátero es una forma geométrica que se forma uniendo cuatro puntos, tres de los cuales deben ser no colineales, es decir, no deben estar en la misma línea recta. Si ese es el caso, entonces los puntos unidos formarían una línea recta en lugar de una forma. Por tanto, es esencial que un cuadrilátero tenga cuatro aristas y cuatro vértices. Por lo tanto, tal polígono que tiene cuatro lados y cuatro ángulos se llama cuadrilátero. La suma de los ángulos interiores de un cuadrilátero siempre debe ser igual a 360°. Es imperativo tener en cuenta que los cuadriláteros que se discuten aquí son solo formas 2D. No es que un cuadrilátero no pueda ser una forma 3D. En geometría tridimensional, los cuadriláteros no necesitan ser tan simples como lo son en geometría bidimensional. Se pueden plegar a lo largo de una diagonal, por lo que no es necesario que tengan vértices que compartan el mismo plano.

La siguiente figura muestra varias formas de cuadrilátero en geometría bidimensional:

Notamos como todas esas formas tienen 4 lados y vértices. Todos los polígonos anteriores se pueden clasificar como cuadriláteros. Ahora, según sus diferentes propiedades, ya sea en las líneas de longitud de los lados, o en la intersección de las diagonales, etc., los cuadriláteros se dividen en varios tipos. Con base en dicha división, tenemos ciertos tipos/clases de cuadriláteros que se pueden distinguir entre sí para que sus propiedades sean más claras. Esto se discute en la siguiente sección.

Tipos de cuadriláteros

• Cuadrado: Tal cuadrilátero cuyos lados son iguales y los cuatro ángulos miden 90°. Es un rectángulo cuyos lados adyacentes son iguales, lo que implica que los cuatro lados tienen la misma longitud. La siguiente figura muestra un cuadrado ABCD, donde AB = BD = DC = CA. Además, ∠CAB = ∠ABD = ∠BDC = ∠ DCA = 90°.

• Rectángulo: Tal cuadrilátero tiene todos los ángulos que miden 90 grados y cuyos lados paralelos son iguales. Tal rectángulo forma un cuadrado cuando sus lados adyacentes son iguales. La siguiente figura representa un rectángulo ABCD, cuyos ángulos miden 90 grados cada uno y los lados paralelos tienen la misma longitud.

• Paralelogramo: Un cuadrilátero que tiene dos pares de lados paralelos. Estos lados opuestos de un paralelogramo tienen la misma longitud. Las diagonales de un paralelogramo se bisecan entre sí. Como se muestra en la siguiente figura, AC y BD son las dos diagonales que se bisecan entre sí, y los lados paralelos son iguales entre sí.

• Rombo: Un caso tan especial de paralelogramo donde los lados adyacentes tienen la misma longitud y también las diagonales se bisecan entre sí en ángulo recto. En la siguiente figura, podemos ver que AB = BC = CD = DA. Además, las diagonales AC y BD se bisecan en ángulo recto.

• Trapecio: Tal cuadrilátero que tiene al menos un par de lados paralelos se llama trapecio. Como se muestra en la siguiente figura, ABCD es un trapecio, con AB y CD paralelos entre sí.

Habiendo discutido todos estos tipos, es hora de estudiar el rombo en profundidad ahora.

¿Qué es un rombo?

Un rombo es un caso especial de paralelogramo donde los lados adyacentes tienen la misma longitud y también las diagonales se bisecan entre sí en ángulo recto. También podemos afirmar que un rombo es en realidad un cuadrado solo cuando todos sus ángulos miden 90 grados. Dado que en un cuadrado, los cuatro lados son iguales, los ángulos miden 90 grados cada uno y las diagonales también se bisecan en ángulos rectos. En la siguiente figura, podemos ver que AB = BC = CD = DA. Además, las diagonales AC y BD se bisecan en ángulo recto.

Diagonales de un rombo

Todos los rombos tienen dos diagonales, que conectan los pares de vértices opuestos. Un rombo es simétrico en sus dos diagonales. Las diagonales de un rombo son perpendiculares y se bisecan en ángulo recto. 

Propiedades de un rombo

• Todos los lados de un rombo son iguales. De hecho, es solo un paralelogramo con lados adyacentes iguales.
• Un rombo tiene lados opuestos que son paralelos entre sí.
• Los ángulos opuestos de un rombo son iguales entre sí.
• En el caso de que todos los ángulos de un rombo sean iguales, se le llama cuadrado.
• Las diagonales de un rombo siempre se bisecan en un ángulo de 90 grados.
• No solo las diagonales se bisecan entre sí, sino que también bisecan los ángulos de un rombo.
• Las dos diagonales de un rombo lo dividen en cuatro triángulos rectángulos congruentes.
• Dos ángulos adyacentes de un rombo suman 180 grados.
• No puede haber un círculo circunscrito alrededor de un rombo.
• Es imposible tener un círculo de inscripción dentro de un rombo.
• Al unir los puntos medios de los cuatro lados, se puede formar un rectángulo. Tal rectángulo tendría la mitad de la longitud y el ancho de la longitud de las diagonales. Como tal, el área de este rectángulo sería la mitad del área del rombo. Esto se ilustra en la siguiente figura:

• El área de un rombo es igual a la mitad del producto de las longitudes de ambas diagonales. Por lo tanto, si p y q denotan las longitudes de las diagonales de un rombo, su área = 1/2 × p × q.
• El perímetro de un rombo se define como la suma de todos sus lados. Como todos los lados de un rombo tienen la misma longitud, se puede decir que el perímetro de un rombo es cuatro veces la longitud de un lado. Así, si h denota la longitud de un lado del rombo, su perímetro = 4h.

Preguntas conceptuales

Pregunta 1. Suponga que el cuadrilátero MNOP es un rombo. Si la diagonal MO = 29 y la diagonal NP = 14, ¿cuál es el área del rombo MNOP?

Solución:

Sabemos, Área de un rombo = (d ₁ )(d ₂ )/2

Sustituyendo las longitudes de las diagonales en la fórmula anterior, tenemos:

A = (29)(14)/2 = 406/2 = 203

Por lo tanto, el área del rombo MNOP es de 203 unidades cuadradas. 

Pregunta 2. Suponga que el cuadrilátero ABCD es un rombo. El perímetro de ABCD es 40 y la longitud de una de sus diagonales es 12. ¿Cuál es el área de ABCD? 

Solución:

Como el perímetro del rombo es 40 y, por definición, los 4 lados de un rombo tienen la misma longitud, sabemos que la longitud de cada lado es 10. Podemos encontrar la longitud de la otra diagonal si reconocemos que las dos diagonales combinado con un borde lateral forman un triángulo rectángulo. La longitud de la hipotenusa es 10, y cada cateto del triángulo es igual a la mitad de cada diagonal. Por lo tanto, podemos establecer una ecuación que involucre el teorema de Pitágoras de la siguiente manera:

10 ² = x ² + 6 ² , donde x es igual a la mitad de la longitud de la diagonal desconocida.

Por lo tanto, podemos resolver para x de la siguiente manera:

x2 = 10 ² − 6 ^{2 =} 100 − 36 = 64

x es por lo tanto igual a 8, y nuestra otra diagonal es 16. Ahora podemos usar ambas diagonales para resolver el área del rombo:

A = (16)(12)/ 2 = 192/ 2 = 96.

Por lo tanto, el área del rombo ABCD es igual a 96 unidades cuadradas.

Pregunta 3. Encuentra el área de un rombo con longitudes diagonales de (2x+2) y (4x+4) unidades.

Solución:

Sabemos, Área de un rombo = (d ₁ )(d ₂ )/2

Sustituyendo las longitudes de las diagonales en la fórmula anterior, tenemos:

un = 

= 

= (4x ² + 8x + 4) en ²

Pregunta 4. Encuentra el área de un rombo si sus longitudes diagonales son   cm y   cm.

Solución:

Sabemos, Área de un rombo = (d1)(d2)/2

Sustituyendo las longitudes de las diagonales en la fórmula anterior, tenemos:

un = 

=   cm ²