¿Las rectas paralelas se encuentran en el infinito?

Cuando dibujamos dos líneas paralelas en papel, nunca se encuentran. Si dibujamos dos líneas paralelas en un lienzo muy grande, tan grande como un patio de recreo, incluso entonces no parece que se encuentren, pero es el mismo caso cuando las líneas son tan largas y están lejos de cualquier punto que podamos ver. La discusión de líneas paralelas que se encuentran en el infinito necesita algo de matemáticas y un poco de imaginación detrás, en este artículo lo lograremos, pero primero debemos entender lo que queremos decir con líneas paralelas. Se pueden usar algunas definiciones simples que se dan a continuación para identificar un conjunto de líneas paralelas.

¿Qué son las Líneas Paralelas?

a) Se dice que dos rectas son paralelas si la distancia perpendicular entre ellas permanece constante, sin importar cuánto se extiendan las rectas.

b) Se dice que dos rectas son paralelas si la suma de los ángulos co-interiores entre ellas en la transversal es siempre 180°.

c) Se dice que dos rectas son paralelas si sus pendientes (gradiente) son siempre iguales.

¿Qué es Pendiente?

Es la tangente del ángulo formado por la línea con el eje x cuando el ángulo se mide en sentido antihorario.

Pendiente = tanθ

Pendiente de la línea 1 = Pendiente de la línea 2

Ahora si nos fijamos en los tres conceptos podemos observar lo siguiente:

• Si la distancia perpendicular es siempre constante, entonces las líneas nunca se pueden encontrar sin importar cuánto se extiendan.
• Si la suma de los ángulos co-interiores es siempre 180°, entonces las líneas nunca pueden encontrarse, de lo contrario el ángulo será mayor o menor que 180°.
• Si la pendiente tiene que ser siempre igual, entonces las líneas nunca deben encontrarse.

Estos tres conceptos se estudian tomando las rectas en planos de coordenadas bidimensionales. Si hablamos de planos de coordenadas bidimensionales considerando los tres conceptos anteriores, entonces podemos asumir con seguridad que las líneas nunca se encontrarán en el infinito.

Suposiciones y Observaciones

Intentemos visualizar el concepto de paralelismo e infinito con algo más de profundidad. 

En el diagrama anterior, supongamos que los puntos A y B están en el infinito y nosotros estamos en el punto C. Si observamos las dos líneas a nuestra izquierda y derecha, parecen paralelas. Ahora bien, cuando nos movemos hacia el punto A o B, no importa qué tan lejos vayamos o qué tan lejos estemos, las líneas siempre aparecerán paralelas a nosotros porque nunca podremos llegar a A o B porque nunca podremos llegar al infinito.

Entonces, incluso si asumimos que las líneas pueden intersecarse en el infinito, nunca podemos saberlo con certeza.

Conceptual y esquemáticamente podemos encontrarnos con estas líneas en el infinito en un plano bidimensional, pero nunca lo sabremos.

Alguien puede suponer por un momento que todas las líneas del mundo en las que podemos pensar se originan en un solo punto y ese punto es el infinito. O podemos suponer que cada punto origina infinitas líneas que viajan infinitamente.

Entonces, de acuerdo con la suposición anterior, si vemos dos o más de 2 líneas paralelas frente a nosotros, podemos suponer que se han originado en un solo punto en el infinito desde donde se supone que se originan todas las líneas.

Pero nuevamente, esto es solo una suposición hecha por alguien porque el infinito no es un número que podamos pensar en términos de distancia o un lugar al que podamos llegar. Entonces podemos creer la suposición anterior, pero nunca podemos demostrarlo con seguridad.

Una analogía interesante es la de las vías del tren. Aunque son paralelos, si nos paramos sobre él y miramos mucho más allá, parecen encontrarse. Pero esta es solo nuestra perspectiva, un truco de la mente. Si tratamos de llegar a ese punto donde se juntan las vías, veremos que el punto se aleja más de nosotros y nunca podremos alcanzarlo. Aunque las pistas parecen encontrarse en un punto, no existe tal punto.

Conclusión

Entonces, la respuesta a la pregunta, ¿si las líneas paralelas se encuentran en el infinito? Bueno, la respuesta es tanto sí como no dependiendo de nuestra perspectiva. Podemos decir, sí, se encuentran en el infinito o no, nunca se encuentran ni siquiera en el infinito, pero nunca lo sabremos con certeza simplemente porque no podemos comprender el infinito.