Ecuaciones diferenciales homogéneas

En matemáticas, una ecuación diferencial es una ecuación que relaciona una o más funciones y sus derivadas. En este artículo, vamos a discutir las ecuaciones homogéneas, pero antes de saltar al tema, entendamos primero la función homogénea. 

Función Homogénea

Una función f(x, y) en xey se dice que es una función homogénea del grado de cada término es p. Por ejemplo: f(x, y) = (x ² + y ² – xy) es una función homogénea de grado 2 donde p = 2. De manera similar, g(x, y) = (x ³ – 3xy ² + 3x ² y + y ³ ) es una función homogénea de grado 3 donde p = 3. En general, una función homogénea ƒ(x, y) de grado n se expresa como:

ƒ(x, y) = x ^norte ƒ(y/x)

Ecuación diferencial homogénea

Una ecuación de la forma dy/dx = f(x, y)/g(x, y), donde tanto f(x, y) como g(x, y) son funciones homogéneas de grado n en palabras simples ambas funciones son del mismo grado, se llama ecuación diferencial homogénea. Por ejemplo: dy/dx = (x ² – y ² )/xy es una ecuación diferencial homogénea. 

Resolver una ecuación diferencial homogénea

Sea dy/dx = f(x, y)/g(x, y) una ecuación diferencial homogénea. Ahora poniendo y = vx y dy/dx = (v + x dv/dx) en la ecuación dada, obtenemos

v + x dy/dx = F(v)

=> ∫dv/{F(v) – v} = ∫dx/x

=> ∫dv/{F(v) – v} = log|x| + C

Ahora, reemplace v por (y/x) para obtener la solución requerida. Veamos algunos ejemplos.

Ejemplo 1: Resolver dy/dx = y ² – x ² /2xy?

Solución:

Claramente, dado que cada una de las funciones (y ² – x ² ) y 2xy es una función homogénea de grado 2, la ecuación dada es homogénea.

Poniendo y = vx y dy/dx = v + x dy/dx, la ecuación dada se convierte en

v + x dv/dx = (v ² x ² – x ² )/2vx ²

=> v + x dv/dx = v ² – 1/2v [después de dividir (v ² x ² /2vx ² – x ² /2vx ² )]

=> x dv/dx = ((v ² – 1/2v) – v)

=> x dv/dx = -(1 + v ² )/2v

=> 2v/(1 + v ² )dv = -1/x dx

=> ∫2v/(1 + v ² )dv = -∫1/x dx [Integrando ambos lados]

=> registro | 1 + v ² | = -registro | x | + registro C

=> registro | 1 + v ² | + registro | x | = registro C

=> registro | x(1 + v2 ⁾ | = registro C

=> x(1 + v ² ) = ±C

=> x(1 + v ² ) = C ₁

=> x(1 + y ² /x ² ) = C ₁   [Poner el valor original de v = y/x]

=> (x ² + y ² ) = xC ₁ , que es la solución requerida  

Ejemplo 2: Resolver (x√(x ² + y ² ) – y ² )dx + xy dy = 0?

Solución:

La ecuación dada se puede escribir como 

dy/dx = y ² – x√(x ² + y ² )/xy, que es claramente homogéneo 

Poniendo y = vx y dy/dx = v + x dv/dx, obtenemos

v + x dv/dx = {v ² x ² – x√(x ² + v ² y ² )}/vx ²  

=> x dv/dx = [{v ² – √(1 + v ² )}/v – v]

=> x dv/dx = -√(1 + v ² )/v

=> ∫v/√(1 + v ² )dv = -∫dx/xc [Integrando ambos lados]

=> √(1 + v ² ) = -log | x | + C

=> √(x ² + y ² ) + x registro | x | = Cx, que es la solución requerida después de poner el valor de v = y/x.

Ejemplo 3: Resolver x dy/dx – y = √(x ² + y ² )?

Solución:

La ecuación dada se puede escribir como dy/dx = {y + √(x ² + y ² )}/x , que es claramente homogénea.

Poniendo y = vx y dy/dx = v + x dv/dx, obtenemos

v + x dv/dx = {vx + √(x ² + v ² x ² )}/x 

=> v + x dv/dx = v + √(1+v ² ) [Después de dividir {vx + √(x ² + v ² x ² )}/x]

=> x dv/dx = √(1 + v ² ) [v en ambos lados se cancela]

=> dv/√(1+v ² ) = 1/x dx [después de reordenar]

=> ∫dv/√(1+v ² ) = ∫1/x dx [integrando ambos lados]

=> registro | v | + √(1 + v ² ) | = registro | x | + registro C

=> registro | {v + √(1 + v2 ) ^} /x | = registro | C |

=> {v + √(1 + v ² )}/x = ±C

=> v + √(1 + v ² ) = C ₁ x, donde C ₁ = ±C

=> y + √(x ² + y ² ) = C ₁ x ² , que es la solución requerida después de poner el valor de v = y/x

Ejemplo 4: Resolver (x cos(y/x))(y dx + x dy) = y sin(y/x)(x dy – y dx)?

Solución:

La ecuación dada se puede escribir como

(x cos(y/x) + y sen(y/x))y – (y sen(y/x) – x cos(y/x)) x . dy/dx = 0

=> dy/dx = {x cos(y/x) + y sen(y/x)}y / {y sen(y/x) – x cos(y/x)}x

=> dy/dx = {cos(y/x) + (y/x)sen(y/x)}(y/x) / {(y/x)sen(y/x) – cos(y/x) )} [Dividiendo numerador y denominador por x ² ], que es claramente homogéneo, siendo una función de (y/x).

Poniendo y = vx y dy/dx = (v + x dv/dx) en él, obtenemos

v + x dv/dx = v(cos v + sen v)/(v sen v – cos v)

=> x dv/dx = [v(cos v + sen v)/(v sen v – cos v) -v]

=> x dv/dx = 2v cos v/(v sen v – cos v)

=>∫{(v sin v – cos v)/2vcos v}dv = ∫x dx [Integrando ambos lados]

=> ∫tan v dv – ∫ dv/v = ∫ 2/x dx

=> -registro | porque v | – registro | v | + registro C = 2 registro | x |

=> registro | porque v | + registro | v | + 2log | x | = registro | C |

=> registro | x ² v cos v | = registro | C |

=> | x ² v cos v | = C [Después de cancelar el registro en ambos lados]

=> x ² v cos v = ± C

=> x ² v cos v = C ₁ [aquí tomamos ±C = C ₁ ]

=> xy cos(y/x) = C _1, que es la solución requerida después de poner el valor real de v = y/x