La geometría es una parte importante de las matemáticas que se ocupa de diferentes formas y figuras. Los triángulos son una parte importante de la geometría y el teorema del punto medio apunta hacia los puntos medios del triángulo.
¿Qué es el teorema del punto medio?
Este teorema establece que “ El segmento de línea que une los puntos medios de dos lados de un triángulo es paralelo al tercer lado del triángulo y es la mitad de él”
Prueba del teorema del punto medio
Un triángulo ABC en el que D es el punto medio de AB y E es el punto medio de AC.
Para probar: DE ∥ BC y DE = 1/2(BC)
Construcción
Extienda el segmento de línea que une los puntos D y E a F de manera que DE = EF y únase a CF.
Prueba
En ∆AED y ∆CEF
DE = EF (construcción)
∠1 = ∠2 (ángulos verticalmente opuestos)
AE = CE (E es el punto medio)
△AED ≅ △CEF según criterios SAS
Por lo tanto,
∠3 =∠4 (cpct)
Pero estos son ángulos interiores alternos.
Entonces, AB ∥ CF
DA = CF(cpct)
Pero AD = DB (D es el punto medio)
Por lo tanto, BD = CF
En BCFD
BD∥ CF (como AB ∥ CF)
BD = FC
BCFD es un paralelogramo ya que un par de lados opuestos son paralelos e iguales.
Por lo tanto,
DF∥ BC (lados opuestos del paralelogramo)
DF = BC (lados opuestos del paralelogramo)
Como DF∥ BC, DE∥ BC y DF = BC
Pero DE = EF
Entonces, DF = 2(DE)
2(DE) = BC
DE = 1/2 (BC)
Por lo tanto, se demostró que la línea que une los puntos medios de dos lados del triángulo es paralela al tercer lado y es la mitad de él.
¿Cuál es el inverso del teorema del punto medio?
La línea trazada a través del punto medio de un lado de un triángulo paralelo a la base de un triángulo biseca el tercer lado del triángulo.
Prueba del teorema
En el triángulo PQR, S es el punto medio de PQ y ST ∥ QR
Demostrar: T es el punto medio de PR.
Construcción
Dibuje una línea a través de R paralela a PQ y extienda ST a U.
Prueba
ST∥ QR(dado)
Entonces, SU∥ QR
PQ∥ RU (construcción)
Por lo tanto, SURQ es un paralelogramo.
SQ = RU (lados opuestos del paralelogramo)
Pero SQ = PS (S es el punto medio de PQ)
Por lo tanto, RU = PS
En △PST y △RUT
∠1 =∠2(ángulos verticalmente opuestos)
∠3 =∠4(ángulos alternos)
PS = RU (probado arriba)
△PST ≅ △RUT por criterio AAS
Por lo tanto, PT = RT
T es el punto medio de PR.
Ejemplos de problemas sobre el teorema del punto medio
Problema 1: l, m y n son tres rectas paralelas. p y q son dos transversales que intersecan líneas paralelas en A, B, C, D, E y F, como se muestra en la figura. Si AB:BC = 1:1, encuentre la razón de DE : EF.
Dado: AB:BC=1:1
Para encontrar: DE:EF
Construcción: Une AF de modo que interseque la línea m en G.
En △ACF
AB = BC (proporción 1:1)
BG∥ CF(como m∥n)
Por lo tanto, por el contrario del teorema del punto medio G es el punto medio de AF(AG = GF)
Ahora, en △AFD
AG = GF (probado arriba)
GE∥ AD(como l∥m)
Por lo tanto, por el contrario del teorema del punto medio E es el punto medio de DF(FE = DE)
Entonces, DE:EF = 1:1 (ya que son iguales)
Problema 2: En la figura que se muestra a continuación, L, M y N son los puntos medios de los lados PQ, QR y PR respectivamente del triángulo PQR.
Si PQ = 8cm, QR = 9cm y PR = 6cm. Encuentra el perímetro del triángulo formado al unir L, M y N.
Solución: Como L y N son puntos medios
Por el teorema del punto medio
LN ∥ QR y LN = 1/2 * (QR)
LN = 1/2 × 9 = 4,5 cm
Del mismo modo, LM = 1/2 * (PR) = 1/2×(6) = 3 cm
Del mismo modo, MN = 1/2 * (PQ) = 1/2 × (8) = 4 cm
Por lo tanto, el perímetro de △LMN es LM + MN + LN
= 3 + 4 + 4,5
= 11,5 cm
El perímetro es de 11,5 cm.
Resultado: El perímetro del triángulo formado al unir los puntos medios de los lados del triángulo es la mitad del triángulo.
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Artículo escrito por kashika1145 y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA