Derivadas de funciones compuestas

Las derivadas son una parte esencial del cálculo. Nos ayudan a calcular la tasa de cambio, máximos, mínimos de las funciones. Las derivadas, por definición, se dan mediante el uso de límites, lo que se denomina la primera forma de la derivada. Ya sabemos cómo calcular las derivadas de funciones estándar, pero a veces necesitamos lidiar con funciones matemáticas complejas que se componen de más de dos funciones. Se vuelve difícil y engorroso calcular la derivada de tales funciones en forma de fuerza bruta. Se hace imprescindible conocer las reglas y métodos que facilitan nuestro cálculo. La regla de la string es una de ellas, que nos permite calcular las derivadas de funciones complejas. Veamos esta regla formalmente.

Funciones compuestas y regla de la string

Digamos que tenemos una función f(x) = (x + 1) ² , para la cual queremos calcular la derivada. Este tipo de funciones se denominan funciones compuestas, lo que significa que están formadas por más de una función. Por lo general, son de la forma g(x) = h(f(x)) o también se pueden escribir como g = hof(x). En nuestro caso, la función dada f(x) = (x + 1) ² se compone de dos funciones,

f(x) = g(h(x)) donde g(x) = x ² y h(x) = x + 1.

Por ejemplo,

f(x) = (x + 1) ²

⇒ f(x) = x2 ⁺ 1 + 2x

Derivando la función con respecto a x,

f'(x) = 2x + 1

Esta función se puede diferenciar a través de la expansión binomial completa, pero en caso de que el valor del exponente binomial aumente cada vez más, se vuelve difícil expandirlo cada vez y luego diferenciarlo. En esos casos, la regla de la string se vuelve esencial.

String de reglas

Sea f una función de valor real que es un compuesto de dos funciones, «u» y «v», es decir, f = vo u. Digamos que t = u(x) y si ambos $\frac{dv}{dt}$ y existen para ambas funciones “u” y “v”. $\frac{dt}{dx}$

$\frac{df}{dx} = \frac{dv}{dt}\frac{dt}{dx}$

La regla de la string se puede extender a cualquier número de funciones compuestas. Por ejemplo,

f = (wou) o v. Si t = v(x) y s = u(t) entonces,

$\frac{df}{dx} = \frac{d(w o u)}{dx}. \frac{dt}{dx} = \frac{dw}{ds}\frac{ds}{dt}\frac{dt}{dx}$

Digamos que tenemos una función f(x) = sin(x ² )

Esta función es una función compuesta formada por dos funciones. Si t = u(x) = x ² y v(t) = sin(t), entonces

f(x) = (vou)(x) = v(u(x)) = v(x ² ) = sen x ² ,

Haciendo t = u(t) = x ² . $\frac{dv}{dt} = cos(t)$ y $\frac{dt}{dx} = 2x$ existir Por lo tanto, por la regla de la string,

$\frac{df}{dx} = \frac{dv}{dt}\frac{dt}{dx} = cos(t).2x$

$\frac{df}{dx} = cos(x^2).2x$

Un método alternativo a la regla de la string (truco corto para encontrar la derivada usando la regla de la string)

La regla de la string también se puede aplicar con un método abreviado. Esto se explica con un ejemplo, digamos que tenemos una función f(x) = (sin(x)) ² . En general, en realidad no usamos el enfoque de composición de funciones para diferenciar las funciones. Identificamos la “función interior” y la “función exterior”. Luego, diferencie la función externa dejando la función interna sola, y continúe así en la jerarquía.

$\frac{df}{dx} = \frac{d}{dx}sin^2x$

⇒ $\frac{df}{dx} = 2sin(x)\frac{d}{dx}sinx$

⇒ $\frac{df}{dx} = 2sin(x)(cos(x))$

⇒ $\frac{df}{dx} = 2sin(x)cos(x)$

Generalmente, este método abreviado se usa para calcular fácilmente las derivadas de diferentes funciones.

Veamos algunos problemas con esta regla,

Problemas de muestra

Problemas de Derivadas de Función Polinomial y función compuesta usando la regla de la string

Pregunta 1: Encuentra la derivada de la función f(x) = (x + 2) ² .

Solución:

Esta función es una función compuesta,

$\frac{df}{dx} = \frac{d}{dx}(x + 1)^2$

⇒ $\frac{df}{dx} = 2(x + 1)\frac{d}{dx}(x + 1)$

⇒ $\frac{df}{dx} = 2(x + 1)$

Pregunta 2: Encuentra la derivada de la función f(x) = (x ⁶ + x ² + 1) ¹⁰

Solución:

$\frac{df}{dx} = \frac{d}{dx}(x^6 + x^2 + 1)^{10}$

⇒ $\frac{df}{dx} = 10(x^6 + x^2 + 1)^9\frac{d}{dx}(x^6 + x^2 + 1)$

⇒ $\frac{df}{dx} = 10(x^6 + x^2 + 1)^9(\frac{d}{dx}x^6 + \frac{d}{dx}x^2)$

⇒ $\frac{df}{dx} = 10(x^6 + x^2 + 1)^9(6x^5 +2x)$

Pregunta 3: Encuentra la derivada de la función f(x) = (x ² + 1) ⁵

Solución:

$\frac{df}{dx} = \frac{d}{dx}(x^2 + 1)^{5}$

⇒ $\frac{df}{dx} = 5(x^2 + 1)^4\frac{d}{dx}( x^2 + 1)$

⇒ $\frac{df}{dx} = 5(x^2 + 1)^4(\frac{d}{dx}( x^2))$

⇒ $\frac{df}{dx} = 5(x^2 + 1)^4(2x)$

⇒ $\frac{df}{dx} = 10x(x^2 + 1)^4$

Problema de Derivadas de funciones Trigonométricas usando la regla de la string

Pregunta 4: Encuentra la derivada de la función f(x) = sin(tanx + 5).

Solución:

f(x) = sen(tanx + 5)

⇒ $\frac{d}{dx}f(x) = \frac{d}{dx} sin(tan(x) + 5)$

⇒ $\frac{d}{dx}f(x) = cos(tan(x) + 5)\frac{d}{dx}(tan(x) + 5)$

⇒ $\frac{d}{dx}f(x) = cos(tan(x) + 5)\frac{d}{dx}(tan(x))$

⇒ $\frac{d}{dx}f(x) = cos(tan(x) + 5)sec^2(x)$

Problema sobre derivadas de funciones de potencia usando la regla de la string

Pregunta 5: Encuentra la derivada de la función, f(x) = e ^{(2x + 5)} .

Solución:

f(x) = e ^{(2x + 5)}

$\frac{df}{dx} = \frac{d}{dx}(e^{(2x +5)})$

⇒ $\frac{df}{dx} = \frac{d}{dx}(e^{(2x +5)})$

⇒ $\frac{df}{dx} = e^{(2x +5)}\frac{d}{dx}(2x + 5)$

⇒ $\frac{df}{dx} = e^{(2x +5)}2$

⇒ $\frac{df}{dx} = 2e^{(2x +5)}$

Problema de Derivadas de la función Módulo usando la regla de la string

Pregunta 6: Encuentra la derivada de la función, f(x) = | x + 1 |.

Solución:

Digamos f(x) = |x + 1|.

Sabemos que las funciones de módulo tales |x| representan √x ² . Entonces, cada función de módulo se puede transformar así para encontrar la derivada.

f(x) = $\sqrt{(x+1)^2}$

$\frac{d}{dx}f(x) = \frac{d}{dx}\sqrt{(x + 1)^2}$

⇒ $\frac{d}{dx}f(x) = \frac{1}{2}\frac{1}{\sqrt{(x + 1)^2}}\frac{d}{dx}(x + 1)^2$

⇒ $\frac{d}{dx}f(x) = \frac{x + 1}{\sqrt{(x + 1)^2}}$

⇒ $\frac{d}{dx}f(x) = \frac{x + 1}{\sqrt{(x + 1)^2}}$

⇒ $\frac{d}{dx}f(x) = \frac{x + 1}{|x + 1|}$

⇒ $\frac{d}{dx}f(x) = \frac{x + 1}{|x + 1|}$

Cuando x > -1 |x + 1| = x + 1, por lo tanto $\frac{d}{dx}f(x) = \frac{x + 1}{x + 1} = 1$

Cuando x < -1 |x + 1| = -(x + 1), por lo tanto $\frac{d}{dx}f(x) = \frac{x + 1}{-(x + 1)} = -1$

Cuando x = -1, la derivada no está definida.

Pregunta 7: Encuentra la derivada de la función, f(x) = | 2x – 1 |.

Solución:

Digamos f(x) = |2x – 1|.

f(x) = $\sqrt{(2x-1)^2}$

$\frac{d}{dx}f(x) = \frac{d}{dx}\sqrt{(2x - 1)^2}$

⇒ $\frac{d}{dx}f(x) = \frac{1}{2}\frac{1}{\sqrt{(2x - 1)^2}}\frac{d}{dx}(2x - 1)^2$

⇒ $\frac{d}{dx}f(x) = \frac{1}{2}\frac{1}{\sqrt{(2x - 1)^2}}2(2x - 1)\frac{d}{dx}(2x-1)$

⇒ $\frac{d}{dx}f(x) = \frac{1}{2}\frac{1}{\sqrt{(2x - 1)^2}}2(2x - 1).2$

⇒ $\frac{d}{dx}f(x) = 2\frac{1}{\sqrt{(2x - 1)^2}}(2x - 1)$

⇒ $\frac{d}{dx}f(x) = 2\frac{1}{\sqrt{(2x - 1)^2}}(2x - 1)$

Cuando x > $\frac{1}{2}$ |2x – 1| = 2x – 1, por lo tanto $\frac{d}{dx}f(x) = 2\frac{1}{\sqrt{(2x - 1)^2}}(2x - 1) = 2$

Cuando x < $\frac{1}{2}$ |2x – 1| = -(2x – 1), por lo tanto $\frac{d}{dx}f(x) = 2\frac{1}{\sqrt{(2x - 1)^2}}(2x - 1)= -2$

Cuando x = $\frac{1}{2}$ , la derivada no está definida.