Razones trigonométricas de algunos ángulos específicos

La trigonometría tiene que ver con los triángulos o, para ser más precisos, la relación entre los ángulos y los lados de un triángulo (triángulo rectángulo). En este artículo, discutiremos la razón de los lados de un triángulo rectángulo con respecto a su ángulo agudo llamado razones trigonométricas del ángulo y encontraremos las razones trigonométricas de ángulos específicos: 0°, 30°, 45°, 60° y 90°.
Considere el siguiente triángulo,

El lado BA es opuesto al ángulo ∠BCA por lo que llamamos BA el lado opuesto a ∠C y AC es la hipotenusa; el otro lado BC es el lado adyacente a ∠C.

Relaciones trigonométricas del ángulo C

Seno: El seno de ∠C es la razón del lado opuesto a C (BA) a la hipotenusa (AC).

$sin\, C = \frac{BA}{AC}$

Coseno: El coseno de ∠C es la razón del lado adyacente a C (BC) y la hipotenusa (AC).

$cos\, C = \frac{BC}{AC}$

Tangente: La tangente de ∠C es la razón entre el lado opuesto (BA) y el adyacente a C (BC).

$tan\, C = \frac{BA}{BC}$

Cosecante: La cosecante de ∠C es el recíproco del sen C por lo tanto es la razón de la hipotenusa (AC) al lado opuesto a C (BA).

$cosec\, C = \frac{AC}{BA}$

Secante: La secante de ∠C es el recíproco de cos C por lo tanto es la relación de la hipotenusa (AC) al lado adyacente a C (BC).

$sec\, C = \frac{AC}{BC}$

Cotangente: La cotangente de ∠C es el recíproco de tan C que es la razón del lado adyacente a C (BC) al lado opuesto a C (BA).

$cot\, C = \frac{BC}{BA}$

Encontrar razones trigonométricas para ángulos 0°, 30°, 45°, 60°, 90°

Considerando la longitud de la hipotenusa AC = a, BC = by, BA = c.

A. Para ángulos de 0° y 90°

Si el ángulo A = 0°, la longitud del lado opuesto sería cero y la hipotenusa = lado adyacente, y si A = 90°, la hipotenusa = lado opuesto. Entonces, con la ayuda de las fórmulas anteriores para las razones trigonométricas obtenemos:

si A = 0° $\\ sin A = \frac{BC}{AC} = \frac{b}{a} = 0 \\\quad\\ cos A = \frac{AB}{AC} = \frac{c}{a} =1 \\\quad\\ tan A = \frac{BC}{AB} = \frac{b}{a} = 0 \\\quad\\ cosec A = \frac{AC}{BC} = \frac{a}{b} = not\, defined \\\quad\\ sec A = \frac{AC}{AB} = \frac{a}{c}= 1 \\\quad\\ cot A = \frac{AB}{BC} = \frac{a}{b}= not\, defined \\\quad\\$

si A = 90° $\\ sin A = \frac{BC}{AC} = \frac{b}{a} = 1 \\\quad\\ cos A = \frac{BA}{AC} = \frac{c}{a} = 0 \\\quad\\ tan A = \frac{BC}{BA} = \frac{b}{c} = not\, defined \\\quad\\ cosec A = \frac{AC}{BC} = \frac{b}{a}= 1 \\\quad\\ sec A = \frac{AC}{BA} = \frac{a}{c}= not\, defined \\\quad\\ cot A = \frac{BA}{BC} = 0$

Aquí, algunas de las razones trigonométricas resultan como no definidas , ya que en el ángulo particular se divide por 0, que no está definido.

B. Para ángulos de 30° y 60°

Considere un triángulo equilátero ABC. Dado que cada ángulo en un triángulo equilátero es de 60°, por lo tanto,

∠A = ∠B = ∠C = 60°.

∆ABD es un triángulo rectángulo, rectángulo en D con ∠BAD = 30° y ∠ABD = 60°,

Aquí ∆ADB y ∆ADC son similares ya que son partes correspondientes de triángulos congruentes (CPCT) .

$In\, \Delta ABD\;,AB=a\,,BD=\frac{a}{2} \\and\,AB^2=BD^2+AD^2\\ \quad\\\implies AD^2=AB^2-BD^2 \\ \quad\\\implies AD^2=a^2-(\frac{a}{2})^2\\ \quad\\ \implies AD^2=a^2-\frac{a^2}{4} \\ \quad\\ \implies AD^2=\frac{3a^2}{4} \\\quad\\ \implies AD= \frac{\sqrt{3} a}{2}$

Ahora que conocemos los valores de AB, BD y AD, entonces las razones trigonométricas para el ángulo de 30° son,

$sin\ 30=\frac{BD}{AB}= \frac{a/2}{a}=\frac{1}{2} \\ \quad\\cos\ 30=\frac{AD}{AB}=\frac{\sqrt{3}a/2}{a} =\frac{\sqrt{3}}{2} \\ \quad\\tan\ 30=\frac{BD}{AD}=\frac{a/2}{\sqrt{3}a/2}=\frac{1}{\sqrt{3}} \\\quad\\cosec\ 30=\frac{AB}{BD}=\frac{a}{a/2}=2 \\\quad\\sec\ 30=\frac{AB}{AD}=\frac{a}{\sqrt{3}a/2} =\frac{2}{\sqrt{3}} \\\quad\\cot\ 30=\frac{AD}{BD}=\frac{\sqrt{3}a/2}{a/2}= \sqrt{3}$

Para ángulo 60°

$sin\ 60=\frac{AD}{AB}= \frac{\sqrt{3}a/2}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2} \\ \quad\\cos\ 60=\frac{BD}{AB}=\frac{a/2}{a}=\frac{1}{2} \\\quad\\tan\ 60=\frac{AD}{BD}=\frac{\sqrt{3}a/2}{a/2}=\sqrt{3} \\\quad\\cosec\ 60=\frac{AB}{AD}=\frac{a}{\sqrt{3}a/2}=\frac{2}{\sqrt{3}} \\\quad\\sec=\frac{AB}{BD}=\frac{a}{a/2}=2 \\\quad\\cot\ 60=\frac{BD}{AD}=\frac{a/2}{\sqrt{3}a/2}=\frac{1}{\sqrt{3}}$

C. Para ángulo 45°

En un triángulo rectángulo, si un ángulo mide 45°, entonces el otro ángulo también mide 45°, lo que lo convierte en un triángulo rectángulo isósceles.

Si la longitud del lado BC = a entonces la longitud de AB = a y la longitud de AC(hipotenusa) es a√2 usando el Teorema de Pitágoras , entonces

$sin\ A = \frac{BC}{AC} = \frac{a}{a\sqrt2} = \frac{1}{\sqrt2}\\ \quad\\ cos\ A = \frac{AB}{AC} = \frac{a}{a\sqrt2} = \frac{1}{\sqrt2}\\ \quad\\ tan\ A = \frac{BC}{AB} = \frac{a}{a} = 1\\ \quad\\ cosec\ A = \frac{1}{sin\ A}= \sqrt2\\ \quad\\ sec\ A = \frac{1}{cos\ A} = \sqrt2\\ \quad\\ cot\ A = \frac{1}{tan\ A} = 1\\$

Todos los valores

∠A	0°	30°	45°	60°	90°
pecado A	0	1/2	1/√2	√3/2	1
porque A	1	√3/2	1/√2	1/2	0
bronceado A	0	1/√3	1	√3	No definida
cosec A	No definida	2	√2	2/√3	1
segundo A	1	2/√3	√2	2	No definida
cuna A	No definida	√3	1	1/√3	0

Publicación traducida automáticamente

Artículo escrito por somsagar2019 y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA

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