La integración es un método para encontrar una función f(x) cuya derivada Df(x) sea igual a la función dada. Por eso también se le conoce como antiderivada. La integral generalmente se calcula para encontrar la función que proporciona información sobre el área, el desplazamiento, el volumen, que aparece debido a la recopilación de pequeños datos que no se pueden medir individualmente. Aquí podemos definir el método de integración por sustitución o Integración de la forma f(p)p'(x).
- Método de integración por sustitución
- Integración de la forma f(p)p'(x)
Método de Integración por Sustitución
El método de integración por sustitución se puede utilizar siempre que la función dada f(x), y se multiplique por la derivada de la función dada f(x)’, es decir, de esta forma ∫g( f(x) f(x)’ ) dx. Cuando la función que se va a integrar no está en una forma estándar, a veces se puede transformar a una forma integrable mediante una sustitución adecuada. la integral
∫ f {g (x)} g’ (x) dx se puede convertir en
∫f (θ) dθ sustituyendo g (x) por θ, de modo que si
∫f (θ) dθ = F(θ) + c, Entonces
∫f{g (x)} g’ (x) dx = F{g(x)} + c
Esta es una consecuencia directa de la regla de la string, ya que
d/dx [F {g(x)} + c] = d/dθ [F(θ) + c] . dθ/dx = f {g(x)} g'(x)
No existe una fórmula definida para la sustitución. La observación aguda de la forma del integrando ayudará a elegir la función por la cual se hará la sustitución. Sin embargo, uno debe estar seguro de que la derivada de la función así elegida debe estar presente junto con dx como en el caso anterior. Ocasionalmente puede ser necesario el mero ajuste de una constante. Cualquier símbolo para la variable a saber. s, t, u, v, w, x, y, z pueden elegirse para sustitución distinta de la variable de la integral dada. Sin embargo, una vez finalizada la integración, se debe volver a colocar la variable original.
Ejemplos
Ejemplo 1: Integrar ∫ 2x.cos (x 2 ) dx
Solución:
Sea, yo = ∫ 2x. cos (x 2 ) dx …………. (i)
Sustituyendo x 2 = t ………… (ii)
por derivar la ecuación anterior
2x dx = dt ………… (iii)
ponemos la ecuación (ii) y (iii) en la ecuación (i), obtenemos
= ∫ cos t dt
Integrando la ecuación anterior, obtenemos
= sen t + c
Ponga el valor de t en la ecuación anterior
= sen (x 2 ) + c
Por lo tanto, I = sen (x 2 ) + c
Ejemplo 2: Integrar ∫ sen (x 3 ) . 3x 2 dx
Solución:
Sea, I = ∫ sen (x 3 ). 3x 2dx …………. (i)
Sustituyendo x 3 = t ………… (ii)
por derivar la ecuación anterior
3x 2 dx = dt ………… (iii)
ponemos la ecuación (ii) y (iii) en la ecuación (i), obtenemos
= ∫ sen t dt
Integrando la ecuación anterior, obtenemos
= – cos t + c
Ponga el valor de t en la ecuación anterior
= – porque (x 3 ) + c
Por lo tanto, I = – cos (x 3 ) + c
Ejemplo 3: Integrar ∫ 2x cos(x 2 − 5) dx
Solución:
Sea, I = ∫ 2x cos(x 2 − 5) dx ……… (i)
Poner, x 2 – 5 = t ……… (ii)
diferencie la ecuación anterior
2x dx = dt ……… (iii)
ponemos la ecuación (ii) y (iii) en la ecuación (i), obtenemos
= ∫ cos (t) dt
Integrar el equ anterior entonces, obtenemos
= sen t + c
Ponga el valor de t en arriba equ
= sen (x 2 – 5) + c
Por lo tanto, I = sen (x 2 – 5) + c
Ejemplo 4: Integrar ∫x/(x 2 + 1) dx
Solución:
Sea, yo = ∫ x / (x 2 +1) dx
reordenamos la ecuación anterior
= (1/2) ∫ 2x / (x 2 +1) dx (i)
poner , x 2 + 1 = t (ii)
2x dx = dt (iii)
ponemos la ecuación (ii) y (iii) en la ecuación (i), obtenemos
= (1/2) ∫ 1/t dt
Integrar el equ anterior entonces, obtenemos
= (1/2) log t + c
Ahora, pon el valor de t en la ecuación anterior.
= (1/2) registro (x 2 +1) + c
Por lo tanto, I = (1/2) log (x 2 + 1) + c
Ejemplo 5: Integra ∫ (2x + 3) (x 2 + 3x) 2 dx
Solución:
Sea, yo = ∫ (2x + 3) (x 2 + 3x) 2 dx (i)
Sustituye x 2 + 3x = t (ii)
diferenciar la ecuación anterior
2x + 3 dx = dt (iii)
ponemos la ecuación (ii) y (iii) en la ecuación (i), obtenemos
= ∫ t 2 dt
Integrar el equ anterior entonces, obtenemos
= t 3 /3 + c
Ahora, pon el valor de t en la ecuación anterior.
= (x 2 + 3x) 3 / 3 + c
Por tanto, yo = (x 2 + 3x) 3 /3 + c
Integración de la forma f(p)p'(x)
f (pag). p'(x) donde p es una función de x
yo = ∫ f(p). p'(x) dx
Sea p(x) = t
p'(x) dx = dt
yo = ∫f(t) dt
Ejemplos
Ejemplo 1: ∫cos(x 2 ) 2x dx
Solución:
∫cos(x 2 ) 2x dx
Aquí, f = cos, g(x) = x 2 , g'(x) = 2x
Así que pon,
x 2 = t ….. (1)
diferencie el equ anterior x
2x dx = dt ….. (2)
entonces la ecuación es,
∫coste dt ….. (3)
de integrar la equ (3)
sen t + c …… (4)
luego ponga el valor t en la ecuación (4)
La respuesta final es = sen(x 2 ) + c
Ejemplo 2: Integra ∫ cos (x 3 ) . 3x 2 dx
Solución:
Sea, I = ∫ cos (x 3 ). 3x 2 dx (yo)
Aquí, f = cos, g(x) = x 3 , g'(x) = 3x 2
Sustituyendo x 3 = t (ii)
por derivar la ecuación anterior
3x 2 dx = dt (iii)
ponemos la ecuación (ii) y (iii) en la ecuación (i), obtenemos
= ∫ cos t dt
Integrando la ecuación anterior, obtenemos
= sen t + c
Ponga el valor de t en la ecuación anterior
= sen (x 3 ) + c
Por lo tanto, I = sen (x 3 ) + c
Ejemplo 3: Integrar ∫ 2x sin(x 2 − 5) dx
Solución:
Sea, yo = ∫ 2x cos(x 2 − 5) dx (i)
Aquí, f= cos, g(x) = x 2 – 5, g'(x) = 2x
Poner, x 2 – 5 = t (ii)
diferencie la ecuación anterior
2x dx = dt (iii)
Ponga la ecuación (ii) y (iii) en la ecuación (i), obtenemos
= ∫ cos (t) dt
Integrar el equ anterior entonces, obtenemos
= – sen t + c
Ponga el valor de t en arriba equ
= – sen (x 2 – 5) + c
Por lo tanto, I = – sen (x 2 – 5) + c