Derivados como tasa de cambio

Los derivados se consideran una forma matemática de analizar el cambio en cualquier cantidad. Hemos estudiado cómo calcular las derivadas para diferentes tipos de funciones, como funciones trigonométricas, funciones exponenciales, polinomios y funciones implícitas. Las derivadas se pueden calcular a través de dos métodos principalmente: métodos basados en límites o utilizando diferentes fórmulas y reglas, como reglas del producto, regla del cociente o regla de la string. Los derivados tienen diferentes aplicaciones, lo que los hace muy útiles para tratar fenómenos físicos en el mundo real. Veamos algunas de estas aplicaciones.

Tasa de cambio

Las derivadas son los fundamentos básicos que se utilizan en el cálculo diferencial. Se utilizan para mostrar las características de la Función, ya sean crecientes, decrecientes, etc. Imagina que tenemos dos cantidades que varían entre sí. Digamos que estas cantidades se denotan por «x» e «y». Están relacionados entre sí por alguna regla.

y = f(x)

Luego, la derivada de esta función, es $\frac{dy}{dx}$ decir, la tasa de cambio de y con respecto a x, que indica cómo cambia y con respecto a x.

Ejemplo: Encuentra la tasa de cambio del volumen de un cubo cuyos lados aumentan a razón de 2 m/s.

Solución:

Digamos que la longitud del lado del cubo es «a». El volumen del cubo viene dado por, V = a ³ .

$\frac{dV}{da} = \frac{d(a^3)}{da}$

⇒ $\frac{dV}{dt} = 3a^2\frac{da}{dt}$

⇒ $\frac{dV}{dt} = 3a^2(2)$

⇒ $\frac{dV}{dt}$ = 6a ² m ³ /s.

Funciones crecientes y decrecientes

Las derivadas también se utilizan para averiguar si la función es creciente o decreciente o ninguna de ellas. La siguiente figura muestra la función f(x) = x ² .

Observe en la figura que la función es decreciente en el intervalo (-∞, 0) y creciente en el intervalo (0,∞).

En un intervalo I contenido en el dominio de la función de valor real “f”. Entonces, se dice que f es,

Creciente en I, si x ₁ < x ₂ en I ⇒ f(x ₁ ) ≤ f(x ₂ ) para todo x ₁ , x ₂ ∈ I.

Estrictamente creciente en I, si x ₁ < x ₂ en I ⇒ f(x ₁ ) < f(x ₂ ) para todo x ₁ , x ₂ ∈ I.

Decreciente en I, si x ₁ < x ₂ en I ⇒ f(x ₁ ) ≥ f(x ₂ ) para todo x ₁ , x ₂ ∈ I.

Estrictamente decreciente en I, si x ₁ < x ₂ en I ⇒ f(x ₁ ) > f(x ₂ ) para todo x ₁ , x ₂ ∈ I.

Ahora conocemos las definiciones de funciones crecientes y decrecientes. Veamos cómo reconocer una función que es creciente o decreciente en un intervalo.

Digamos que f es continua en [a, b] y diferenciable en el intervalo abierto (a, b). Después,

f es creciente en (a, b) si f'(x) > 0 en el intervalo [a, b].

f es decreciente en (a, b) si f'(x) < 0 en el intervalo dado.

f es constante si f'(x) = 0.

Problemas de muestra

Pregunta 1: Digamos que tenemos un círculo cuyo radio es creciente. Encuentre la tasa de cambio del área con radio cuando r = 4 cm.

Solución:

Digamos que «A» es el área del círculo y «r» es el radio del círculo.

A = ^πr2

Derivando con respecto al radio.

$\frac{dA}{dr} = \frac{d(\pi r^2)}{dr}$

⇒ $\frac{dA}{dr} = 2\pi r$

En r = 4.

$\frac{dA}{dr} = 8\pi$

Pregunta 2: Digamos que tenemos un rectángulo cuyos lados cambian cada segundo. El largo aumenta a razón de 3 m/s mientras que el ancho aumenta a 8 m/s. Calcula la tasa a la que aumenta el área del rectángulo cuando la longitud = 8 m y la anchura = 5 m.

Solución:

Sea x la longitud del rectángulo y y el ancho del rectángulo.

$\frac{dx}{dt} = 3$ Y $\frac{dy}{dt} = 8$

El área del rectángulo está dada por,

A = xy

Diferenciar la ecuación con el tiempo.

$\frac{dA}{dt} = \frac{d(xy)}{dt}$

⇒ $\frac{dA}{dt} = x\frac{dy}{dt} + y\frac{dx}{dt}$

⇒ $\frac{dA}{dt} = x\frac{dy}{dt} + y\frac{dx}{dt}$

⇒ $\frac{dA}{dt} = 8(\frac{dy}{dt}) + 5(\frac{dx}{dt})$

⇒ $\frac{dA}{dt} = 8(8) + 5(3)$

⇒ $\frac{dA}{dt}$ = 64 + 15

Pregunta 3: Para la curva dada, encuentra los puntos donde el valor de la tasa de cambio de y es cero.

y = x ² + x

Solución:

y = x ² + x

$\frac{dy}{dx} = \frac{d(x^2 + x)}{dx}$

⇒ $\frac{dy}{dx} = 2x + 1$

Esta tasa de cambio debe ser cero,

2x + 1 = 0

⇒ x = $\frac{-1}{2}$

Por lo tanto, en x = $\frac{-1}{2}$ la tasa de cambio es cero.

Pregunta 4: Demuestre que la función discutida anteriormente, f(x) = x ² es creciente en el intervalo (0, ∞).

Solución:

Según la definición anterior, una función es creciente en cualquier intervalo si su derivada es mayor que cero en ese intervalo.

f(x) = ^x2

Derivando con respecto a x,

f'(x) = 2x

Para el intervalo dado (0,∞) f'(x) > 0.

Por lo tanto, la función es creciente en el intervalo dado.

Pregunta 5: Encuentra los intervalos donde la función f(x) = x ² + 5x + 6 es creciente o decreciente.

Solución:

Dado f(x) = x ² + 5x + 6

f'(x) = 2x + 5

Necesitamos estudiar el signo de la derivada para encontrar los intervalos donde esta función es creciente o decreciente.

f'(x) < 0

⇒ 2x + 5 < 0

⇒ x < $\frac{-5}{2}$

f'(x) > 0

⇒ 2x + 5 > 0

⇒ x > $\frac{-5}{2}$

Así, la función es creciente en ( $\frac{-5}{2}$ , ∞) y decreciente en (-∞, $\frac{-5}{2}$ ).

Publicación traducida automáticamente

Artículo escrito por anjalishukla1859 y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA

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