Ecuaciones diferenciales separables

Ecuaciones separables es una ecuación en la que dy/dx=f(x, y) se denomina separable siempre que las operaciones algebraicas, generalmente multiplicación, división y factorización, permitan escribirla en una forma separable  dy/dx= F(x)G( y)  para algunas funciones F y G. Las ecuaciones separables y los métodos de solución asociados fueron descubiertos por G. Leibniz en 1691 y formalizados por J. Bernoulli en 1694 . 

La ecuación diferenciable separable es uno de los métodos para resolverla ecuación diferencial de primer orden y primer grado . En este método se utiliza la separación de variables para encontrar la solución general de la ecuación diferencial. Y la ecuación de primer orden, ecuación diferencial de primer grado se puede escribir de esta forma:

Podemos expresar H(x,y) como producto de f(x) g(y ) . Entonces la ecuación de la ecuación diferencial separable es-

Abordar el tratamiento diferencial algebraicamente simplemente separando las x y las y e integrando respectivamente

Identificar ecuaciones separables

Para resolver ecuaciones diferenciales usando el método diferencial separable tenemos que separar la variable. Más concisamente, una ecuación diferencial de primer orden es separable si y solo si se puede escribir como

Si esta factorización no es posible, la ecuación no es separable. 

dónde,

f(x) es una función de x que no contiene y.

g(y) es una función de y que no contiene x.

 Si la factorización es posible, la llevaremos a esta forma para encontrar la solución general de la ecuación diferencial:

g(y) dy = f(x) dx

Nota: Para resolver este tipo de ecuación diferencial tenemos que separar todas las y de un lado y las x del otro lado del signo igual.

Pero este método no es aplicable a todas las ecuaciones.

Ejemplos de muestra

Ejemplo 1: ¿Encontrar que la ecuación diferencial   es variable separable o no?

Solución:

Como puede ver, la siguiente ecuación diferencial se puede expresar en la forma requerida, por lo que se puede resolver mediante separación de variables.

f(x)dx = g(y)dy

Ejemplo 2: ¿Encuentra que la ecuación diferencial dy/dx = f(x).g(y) es variable separable o no?

Solución:

Como puede ver, la siguiente ecuación diferencial se puede expresar en la forma requerida, por lo que se puede resolver mediante separación de variables.

dy/g(y) = f(x)dx

Ejemplo 3: ¿Encuentra que la ecuación diferencial dy/dx = f(x) + g(y) es variable separable o no?

Solución:

Como puede ver, la siguiente ecuación diferencial no se puede expresar en la forma requerida, por lo que no se puede resolver usando la separación de variables.

dy/dx = f(x) + g(y)

Encontrar una solución específica a una ecuación separable 

Así como hemos visto cómo “ identificar la ecuación separable” podemos resolverla fácilmente para encontrar la solución general de la ecuación diferencial.

Siguiendo los siguientes pasos:

1. Trate de factorizar las x y las y en la ecuación diferencial dada.
2. Lleva las x del lado de la igualdad y las y del otro lado.
3. Ahora integre ambos lados con respectivamente a x e y. No olvides “+ C” (la constante de integración).

Problemas de muestra

Ejemplo 1: Encuentra la solución general de la ecuación diferencial dy/dx = (x+1)/(2-y), (y≠2). 

Solución:

Pasos 1- Como puede ver, la siguiente ecuación diferencial se puede expresar en la forma requerida, por lo que se puede resolver mediante separación de variables.

dy/dx = (x+1)/(2-y)

Paso 2- Lleva las x del lado de igual y las y del otro lado.

(2-y) dy = (x+1) dx

Paso 3- Integre ambos lados respectivamente a x e y, C es la constante de integración.

∫(2-y) dy = ∫(x+1) dx 

∫2 dy- ∫y dy = ∫x dx + ∫1 dx

2y − (y ² /2) = (x ² /2) + x + C

2y − (y ² /2) − (x ² /2) − x − C = 0

La solución general de la ecuación diferencial es:

2y − (y ² /2) − (x ² /2) − x − C = 0

Ejemplo 2: Encuentra la solución general de la ecuación diferencial dy/dx = (1+y ² )/(1+x ² ).

Solución:

Ya que 1 + y ² ≠ 0, por lo tanto separando las variables, en el diferencial dado.

Paso 1- Como puede ver, la siguiente ecuación diferencial se puede expresar en la forma requerida, por lo que se puede resolver mediante la separación de variables.

dy/dx = (1+y ² )/(1+x ² )

Paso 2- Lleva las x del lado de igual y las y del otro lado.

dy/(1+y ² ) = dx/(1+x ² )

Paso 3- Integre ambos lados respectivamente a x e y, C es la constante de integración.

∫dy/(1+y ² ) = ∫dx/(1+x ² )

Tan ^-1 y = Tan ^-1 x + C

bronceado ^-1 x – bronceado ^-1 y + C = 0

La solución general de la ecuación diferencial es:

bronceado ^-1 x – bronceado ^-1 y + C = 0

Ejemplo 2: Encuentra la solución general de la ecuación diferencial  dy/dx=-4xy ² .

Solución:

Dado que y ² ≠ 0, por lo tanto, separando las variables, en el diferencial dado.

Paso 1- Como puede ver, la siguiente ecuación diferencial se puede expresar en la forma requerida, por lo que se puede resolver mediante la separación de variables.

dy/dx=-4xy ²

Paso 2- Lleva las x del lado de igual y las y del otro lado.

dy/y ² =-4x dx

Paso 3- Integre ambos lados respectivamente a x e y, C es la constante de integración.

∫dy/y ² =∫-4x dx

-(1/y)=-4(x2 / ² )+C

-(1/y)=-2x+C

-2x+(1/año)+C=0

La solución general de la ecuación diferencial es:

-2x+(1/año)+C=0

 Ecuación separable con solución implícita 

Hasta donde hemos visto como identificar y resolver ecuaciones diferenciales separables y encontrar una solución general de la misma. Ahora veremos cómo resolver la ecuación diferencial separable y encontrar la solución implícita.

Una solución implícita es cuando tienes f(x, y) = g(x, y) lo que significa que y y x se mezclan. y no se expresa en términos de x solamente. Puede tener x e y en ambos lados del signo igual o puede tener y en un lado y x, y en el otro lado. Separación de ecuaciones diferenciales en partes x e y. Pero no podemos llegar a una solución y = f(x). Eso es porque es una solución implícita, también conocida como cualquier solución que no puedas escribir como y = f(x). Implícito es cuando la variable dependiente no se puede separar.

Encontrar la solución implícita es casi lo mismo que encontrar la solución general de la ecuación diferencial separable.  

Siguiendo los pasos-

1. Trate de factorizar las x y las y en la ecuación diferencial dada.
2. Lleva las x del lado de la igualdad y las y del otro lado.
3. Ahora integre ambos lados con respectivamente a x e y. No olvides “+ C” (la constante de integración).
4. Ahora pondremos los valores de x e y en la solución general dada en cuestión y encontraremos el valor de C.
5. Ahora pondremos el valor de C en solución general y obtendremos la solución implícita.

Problema de muestra

Ejemplo 1: Resuelva la siguiente ecuación diferencial dy/dx=6xy ² , y(1)=1/25.

Solución:

Paso 1- Como puede ver, la siguiente ecuación diferencial se puede expresar en la forma requerida, por lo que se puede resolver mediante la separación de variables.

dy/dx=6xy ²

Paso 2- Lleva las x del lado de igual y las y del otro lado.

dy/y ² = 6x dx

Paso 3- Integre ambos lados respectivamente a x e y, C es la constante de integración.

∫dy/y ² = ∫6x dx

∫dy/y ² = 6∫x dx

-(1/y) = 6(x ^​​2 /2)+C

-(1/año) = 3x ² +C

La solución general de la ecuación diferencial es:

-(1/año) = 3x ² +C

Paso 4- Coloque los valores de x e y en la solución general dada en cuestión y encuentre el valor de C.

-25 = 3+C

C = -28

La solución implícita es-

-(1/año) = 3x ² -28

Ejemplo 2: Resuelva la siguiente ecuación diferencial dy/dx=(3x ² +4x-4)/(2y-4), y(1) = 3.

Solución:

Paso 1- Como puede ver, la siguiente ecuación diferencial se puede expresar en la forma requerida, por lo que se puede resolver mediante la separación de variables.

dy/dx = (3x ² +4x-4)/(2y-4)

Paso 2- Lleva las x del lado de igual y las y del otro lado.

(2y-4)dy = (3x ² +4x-4)dx

Paso 3- Integre ambos lados respectivamente a x e y, C es la constante de integración.

∫(2y-4)dy = ∫(3x ² +4x-4)dx

∫2y dy-∫4 dy = ∫3x ² dx+∫4x dx-∫4 dx

y ² -4y = x ³ +2x ² -4x+C

La solución general de la ecuación diferencial es:

y ² -4y =x ³ +2x ² -4x+C

Paso 4- Coloque los valores de x e y en la solución general dada en cuestión y encuentre el valor de C.

3 ² -4*3 = 1 ³ +2*1 ² -4*1+C

C = -2

La solución implícita es-

y ² -4y = x ³ +2x ² -4x-2