Integración de funciones trigonométricas

Diferenciación , en matemáticas, el proceso de encontrar la derivada, o tasa de cambio, de una función. En contraste con la naturaleza abstracta de la teoría detrás de ella, la técnica práctica de diferenciación puede llevarse a cabo mediante manipulaciones puramente algebraicas, usando tres derivadas básicas, cuatro reglas de operación y un conocimiento de cómo manipular funciones.

por ejemplo: Considere una función, x = y ² . 

Esta función se puede diferenciar como: 

d(y ² ) / dy = 2y 

Sin embargo, una integral indefinida es una función que toma la antiderivada de otra función. Se representa como un símbolo integral (∫), una función y una derivada de la función al final. La integral indefinida es una forma más fácil de simbolizar una antiderivada.

Aprendamos qué es la integración matemáticamente, la integración de una función f(x) viene dada por F(x) y se representa por:

∫f(x)dx = F(x) + C

Aquí RHS de la ecuación significa integral de f(x) con respecto a x, F(x) se denomina antiderivada o primitiva, f(x) se denomina integrando, dx se denomina agente integrador, C se denomina constante de constante de integración o arbitraria yx es la variable de integración.

Lista de algunas integrales indefinidas importantes de funciones trigonométricas

La siguiente es la lista de algunas fórmulas importantes de integrales indefinidas en funciones trigonométricas básicas para recordar:

• ∫ sen x dx = -cos x + C
• ∫ cos x dx = sen x + C
• ∫ seg ² x dx = tan x + C
• ∫ cosec ² x dx = -cot x + C
• ∫ segundo x bronceado x dx = segundo x + C
• ∫ cosec x cot x dx = -cosec x + C
• ∫ tan x dx = ln | segundo x | + C
• ∫ cuna x dx = ln | pecado x | + C
• ∫ seg x dx = ln | segundo x + bronceado x | + C
• ∫ cosec x dx = ln | cosec x – cuna x | + C

donde dx es la derivada de x, Cis la constante de integración e ln representa el logaritmo de la función dentro del módulo (| |).

Generalmente, los problemas de integrales indefinidas basados ​​en funciones trigonométricas se resuelven por el método de sustitución. Entonces, analicemos más sobre el método de integración por sustitución de la siguiente manera:

Integración por Sustitución

En este método de integración por sustitución, cualquier integral dada se transforma en una forma simple de integral al sustituir la variable independiente por otras.

Considere una integral, ∫ 3x ² sin (x ³ ) dx.

Para evaluar la integral dada, sustituyamos cualquier variable por una nueva variable como:

Sea x ³ t para la integral dada.

Después, 

dt = 3x ² dx

Por lo tanto, 

∫ 3x ² sen (x ³ ) dx = ∫ sen (x ³ ) (3x ² dx)

Ahora, sustituya t por x ³ y dt por 3x ² dx en la integral anterior.

∫ 3x ² sen (x ³ ) dx = ∫ sen (t) (dt)

                          = -cos t + C (Ya que, ∫ sen x dx = -cos x + C)

Nuevamente, sustituya x ³  por t en la expresión como:

∫ 3x ² sen (x ³ ) dx = -cos x ³ + C

Por tanto, la Forma General de integración por sustitución es:

∫ f(g(x)).g'(x).dx = f(t).dx                                                                     (donde t = g(x))

Por lo general, el método de integración por sustitución es extremadamente útil cuando hacemos una sustitución de una función cuya derivada también está presente en el integrando. Al hacerlo, la función se simplifica y luego se pueden usar las fórmulas básicas de integración para integrar la función.

En cálculo, el método de integración por sustitución también se conoce como «Regla de la string inversa» o «Método de sustitución en U». Podemos usar este método para encontrar un valor integral cuando se establece en la forma especial. Significa que la integral dada es de la forma:

Ahora, resolvamos algunos problemas básicos basados ​​en los conceptos discutidos anteriormente de la siguiente manera:

Problemas de muestra

Problema 1: Determinar la integral de la siguiente función: f(x) = cos ³ x.

Solución:

Consideremos la integral de la función dada como,

yo = ∫ cos ³ x dx

Se puede reescribir como:

yo = ∫ (cos x) (cos ² x) dx

Usa la identidad trigonométrica: cos ² x = 1 – sen ² x como,

yo = ∫ (cos x) (1 – sen ² x) dx

  = ∫ cos x – cos x sen ² x dx 

  = ∫ cosx dx – ∫ cosx sen ² x dx

  = sen x – ∫ sen ² x cos x dx. (Ya que, ∫ cos x dx = sen x + C) ……(1)

Sea, sen x = t entonces, cos x dx = dt.

Sustituya t por sen x y dt por cos x dx en el segundo término de la integral anterior.

yo = sen x – ∫ t ² dt

  = sen x – t ³ /3 + C

De nuevo, sustituya t por sen x en la expresión.

Por tanto, ∫ cos ³ x dx = sen x – sen ³ x / 3 + C.

Problema 2: Si f(x) = sen ² (x) cos ³ (x) entonces determine ∫ sen ² (x) cos ³ (x) dx.

Solución:

Consideremos la integral de la función dada como,

yo = ∫ sen ² (x) cos ³ (x) dx

Usa la identidad trigonométrica: cos ² x = 1 – sen ² x como,

I = ∫ sen ² x (1 – sen ² x) cos x dx

Sea sen x = t entonces,

 dt = cos x dx

Sustituya estos en la integral anterior como,

yo = ∫ t ² (1 – t ² ) dt

  = ∫ t ² – t ⁴ dt

  = t ³ / 3 – t ⁵ / 5 + C  

Vuelva a sustituir el valor de t en la integral anterior como,

Por tanto, I = sen ³ x / 3 – sen ⁵ x / 5 + C.

Problema 3: Sea f(x) = sen ⁴ (x) y luego encuentre ∫ f(x)dx. es decir, ∫ sen ⁴ (x) dx.

Solución:

Consideremos la integral de la función dada como,

yo = ∫ sen ⁴ (x) dx

o

yo = ∫ (sen ² (x)) ² dx

Usa la identidad trigonométrica: sin ² (x) = (1 – cos (2x)) / 2 como,

yo = ∫ {(1 – cos (2x)) / 2} ² dx

  = (1/4) × ∫ (1+cos ² (2x)- 2 cos 2x) dx

  = (1/4) × ∫ 1 dx + ∫ cos ² (2x) dx – 2 ∫ cos2x dx

  = (1/4) × [ x + ∫ (1 + cos 4x) / 2 dx – 2 ∫ cos2x dx ] 

  = (1/4) × [ 3x / 2 + sen 4x / 8 – sen 2x ] + C

  = 3x / 8 + sen 4x / 32 – sen 2x / 4 + C

Por tanto, ∫ sen ⁴ (x) dx = 3x / 8 + sen 4x / 32 – sen 2x / 4 + C

Problema 4: Encuentra la integración de:

Solución:

Consideremos la integral de la función dada como,

Sea t = tan ^-1 x ……(1)

Ahora, diferencia ambos lados con respecto a x:

dt = 1 / (1+x ² ) dx

Por lo tanto, la integral dada se convierte en:

yo = ∫ mi ^t dt

  = e ^t + C …….(2)

Sustituya el valor de (1) en (2) como:

 

que es la integración requerida para la función dada.

Problema 5: Encuentra la integral de la función f (x) definida como,

f (x) = 2x cos (x ² – 5) dx

Solución:

Consideremos la integral de la función dada como,

yo = ∫ 2x cos (x ² – 5) dx

Sea (x ² – 5) = t ……(1) 

Ahora diferencie ambos lados con respecto a x como,

2x dx = dt 

Sustituyendo estos valores en la integral anterior,

yo = ∫ cos (t) dt

  = sen t + C ……(2)

Sustituya el valor de la ecuación (1) en la ecuación (2) como,

I = sen (x ² – 5) + C

Esta es la integración requerida para la función dada. 

Problema 6: Determinar el valor de la integral indefinida dada, I = ∫ cot (3x +5) dx.

Solución:

La integral dada se puede escribir como,

yo = ∫ cuna (3x +5) dx 

  = ∫ cos (3x +5) / sen (3x +5) dx 

Sea, t = sen(3x + 5) entonces,

dt = 3 porque (3x+5) dx

Por lo tanto, 

porque (3x+5) dx = dt / 3 

Y

yo = ∫ dt / 3 sen t  

  = (1 / 3) en | t | + C

Reemplace t por sen (3x+5) en la expresión anterior.

yo = (1 / 3) en | pecado (3x+5) | + C

Esta es la integración requerida para la función dada.