Una secuencia se define como una disposición de números en un orden particular, es decir, una lista ordenada de números. Por ejemplo: 1, 3, 5, 7,… etc.
Hay 2 tipos de secuencias:
Sucesión aritmética: Una sucesión aritmética es aquella en la que la diferencia entre dos términos consecutivos es constante. Esta diferencia se conoce como diferencia común.
Sucesión geométrica: En cambio, la sucesión geométrica es aquella en la que la razón entre dos términos consecutivos es constante. Esta razón se conoce como razón común.
Serie
Una serie se define como la suma de los elementos de una secuencia. Por ejemplo: 1 + 4 + 7 + 10 +… etc.
Una serie es de dos tipos:
Serie finita: Una serie finita es aquella en la que se conoce el número de elementos de la serie.
Series Infinitas: Cuando no se conoce el número de elementos de la serie, es decir, las series con un número infinito de elementos se conocen como series infinitas.
Secuencia geométrica
Una sucesión geométrica es aquella en la que la razón entre dos términos consecutivos es constante. Esta relación se conoce como la relación común denotada por ‘r’, donde r ≠ 0.
Deje que los elementos de la secuencia se denoten por:
un 1 , un 2 , un 3, un 4 , …, un norte
La sucesión dada es una sucesión geométrica si:
a 1 /a 2 = a 2 /a 3 = a 3 /a 4 = … = a n-1 /a n = r (proporción común)
La sucesión dada también se puede escribir como:
a, ar, ar 2 , ar 3 , … , ar n-1
Aquí, r es la razón común y a es el factor de escala
La razón común viene dada por:
r = término sucesivo/término anterior = ar n-1 / ar n-2
¿ Cuál es el término N de una sucesión geométrica?
Para encontrar el n-ésimo término de una Sucesión Geométrica, sabemos que la serie tiene la forma de a, ar, ar 2 , ar 3 , ar 4 ……….
El n -ésimo término se denota con una n. Así, para encontrar el término n-ésimo de una Sucesión Geométrica será:
un n = ar n-1
Derivación de la fórmula
Dado cada término de GP como a 1 , a 2 , a 3 , a 4 , …, a n , expresando todos estos términos según el primer término a 1 , obtenemos
un 1 = un 1
un 2 = un 1 r
un 3 = un 2 r = (un 1 r)r = un 1 r 2
un 4 = un 3 r = (un 1 r 2 )r = un 1 r 3
…
un metro = un 1 r metro−1
…
un norte = un 1 r norte – 1
dónde,
a 1 = el primer término, a 2 = el segundo término, y así sucesivamente
a n : el último término (o el enésimo término) y
a m : cualquier término antes del último término
El término n del último término está dado por:
un norte = l/r n-1
donde l es el último término
¿Cuál es la suma de los primeros n términos de una sucesión geométrica?
La suma de los primeros n términos de una sucesión geométrica viene dada por:
S n = a(1 – r n )/(1 – r), si r < 1
S n = a(r n -1)/(r – 1), si r > 1
Derivación de la fórmula
La suma en progresión geométrica (conocida como serie geométrica) viene dada por
S = un 1 + un 2 + un 3 + … + un norte
S = a 1 + a 1 r + a 1 r 2 + a 1 r 3 + … + a 1 r n−1 ….Ecuación (1)
Multiplica ambos lados de la Ecuación (1) por r (razón común), obtenemos
S × r= a 1 r + a 1 r 2 +a 1 r 3 + a 1 r 4 + … + a 1 r n ….Ecuación (2)
Reste la Ecuación (2) de la Ecuación (1)
S – Sr = un 1 – un 1 r norte
(1 – r)S = un 1 (1 – r norte )
S n = a 1 (1 – r n )/(1 – r), si r<1
Ahora, restando la ecuación (1) de la ecuación (2) dará
Sr – S = un 1 r norte –un 1
(r – 1) S = un 1 (r n -1)
Por eso,
S n = a 1 (r n -1)/(r – 1), si r > 1
Suma de términos infinitos
El número de términos en una progresión geométrica infinita se aproximará al infinito (n = ∞). La suma de la progresión geométrica infinita solo se puede definir en el rango de |r| < 1.
S = a(1 – r n )/(1 – r)
S = (a – ar n )/(1 – r)
S = a/(1 – r) – ar n /(1 – r)
Para n -> ∞, la cantidad (ar n ) / (1 – r) → 0 para |r| < 1,
De este modo,
S ∞ = a/(1-r), donde |r| < 1
Problema 1: Encuentra la Razón Común y el Factor de Escala de la Sucesión: 4, 12, 36, 108, 324, …
Solución:
La secuencia proporcionada es 4, 12, 36, 108, 324, …
Razón común = 12/4 = 3
Factor de escala = 4
Problema 2: Encuentra la Razón Común y el Factor de Escala de la Sucesión: 5, -5, 5, -5, 5, -5, …
Solución:
Secuencia dada, 5, -5, 5, -5, 5, -5, …
Razón común = -5/5 = -1
Factor de escala = 5
Problema 3: Encuentra el n-ésimo término y la suma de n términos de la secuencia: 1, 2, 4, 8, 16, 32
Solución:
Secuencia dada, 1, 2, 4, 8, 16, 32
Razón común r = 2/1 = 2
Factor de escala = 1
6to término en la secuencia = ar n-1 = 1.2 6-1 = 32
Forma del tercer término último = l/r n-1 = l/2 3-1 = 32/4 = 8
Suma de los 3 primeros términos = a(r n -1)/(r – 1) = 1(2 3 -1)/(2-1) = 7
Propiedades de la progresión geométrica
- un 2 k = un k-1 * un k+1
- un 1 * un n = un 2 * un n-1 =…= un k * un n-k+1
- Si multiplicamos o dividimos una cantidad distinta de cero a cada término del GP, entonces la
secuencia resultante también está en GP con la misma diferencia común. - El recíproco de todos los términos en GP también forman un GP.
- Si todos los términos de un GP están elevados a la misma potencia, entonces la nueva serie también está en GP.
- Si y 2 = xz, entonces los tres términos distintos de cero x, y y z están en GP.
Fórmula explícita
Una fórmula explícita es la que define términos de una sucesión en relación con el término número. El enésimo término de una sucesión geométrica viene dado por la fórmula explícita:
un norte = un 1 * r n-1
Problema: Dada una sucesión geométrica con 1 = 3 y 4 = 24, encuentre un 5
Solución:
La sucesión se puede escribir en términos del término inicial y la razón común r.
Escribe el cuarto término de la sucesión en términos de a 1 y r. Sustituye 24 por 4. Resuelve para la razón común.
un norte = un 1 * r n-1
un 4 = 3r 3
24 = 3r 3
8 = r 3
r = 2
Encuentra el segundo término multiplicando el primer término por la razón común.
a 5 = a 1 * r n-1
= 3 * 2 5-1
= 3 * 16 = 48
Fórmula recursiva
Una fórmula recursiva define los términos de una secuencia en relación con el valor anterior. A diferencia de una fórmula explícita, que lo define en relación con el término número.
Como ejemplo simple, veamos la secuencia: 1, 2, 4, 8, 16, 32
El patrón es multiplicar 2 repetidamente. Entonces la fórmula recursiva es
término(n) = término(n – 1) * 2
Aviso, para encontrar cualquier término debes conocer el anterior. Cada término es el producto de la razón común y el término anterior.
término(n) = término(n – 1) * r
Problema: Escribe una fórmula recursiva para la siguiente secuencia geométrica: 8, 12, 18, 27, …
Solución:
El primer término se da como 6. La razón común se puede encontrar dividiendo el segundo término por el primer término.
r = 12/8 = 1,5
Sustituye la razón común en la fórmula recursiva para secuencias geométricas y define un 1
término(n) = término(n – 1) * r
= término(n -1) * 1.5 para n>=2
un 1 = 6
Formas de secuencias geométricas para Conversiones
Forma explícita: a n = k * r n-1
Forma recursiva: a 1 = k , a n = a n-1 * r
Problema 1: Dada la fórmula recursiva para f(n):
f(1) = 6
f(n) = f(n-1) * (-6.5)
Encuentre una fórmula explícita para f(n)
Solución:
De la fórmula recursiva, podemos decir que el primer término de la secuencia es 6 y la razón común es -6.5
Fórmula explícita: f(n) = 6 * (-6.5) n-1
Problema 2: Dada la fórmula explícita para f(n):
f(n) = 6 * (-6.5) n-1
Encuentre la fórmula recursiva para f(n).
Solución:
De la fórmula explícita, podemos decir que el primer término de la secuencia es 6 y la razón común es -6.5
Fórmula recursiva: f(1) = 6
f(n) = f(n-1) * (-6.5)