Series Especiales – Secuencias y Series | Clase 11 Matemáticas

La serie se puede definir como la suma de todos los números de la secuencia dada. Las sucesiones son tanto finitas como infinitas. De la misma manera, la serie también puede ser finita o infinita. Por ejemplo, considera una sucesión como 1, 3, 5, 7,… Entonces la serie de estos términos será 1 + 3 + 5 + 7 +…. . La serie especial de una forma u otra se llama serie especial. Los siguientes son los tres tipos de series especiales.

1. 1 + 2 + 3 +… + n (suma de los primeros n números naturales)
2. 1 ² + 2 ² + 3 ² +… + n ² (suma de cuadrados de los primeros n números naturales)
3. 1 ³ + 2 ³ + 3 ³ +… + n ³ (suma de cubos de los primeros n números naturales)

En este artículo veremos cómo obtener la fórmula para todas estas series.

Serie especial 1: Suma de los primeros n números naturales

El resultado de esta serie se da a continuación:

1+ 2 + 3 + 4 + …. + norte = norte (n + 1) / 2

Prueba:

Sea S _n = 1 + 2 + 3 + 4 + … + n

Podemos ver que esta es una Progresión Aritmética con el primer término (a) = 1 y diferencia común (d) =1 y hay n término 

Entonces, Suma de n términos = n/2 (2 xa + (n – 1) xd)

Poniendo los valores para esta serie obtendremos 

S norte = _n /2 (2 x 1 + (n – 1) x 1)

S norte = n/2 (2 + norte – 1 ₎

S norte = norte ( _n + 1)/2

Por lo tanto Probado.

Ejemplo 

Pregunta. Encuentre la suma de las siguientes series 3 + 4 + 5 —- + 25?

Solución:

Sea S _n = 3+ 4 + 5 — + 25

Ahora también podemos escribirlo así. 

S _norte + 1 + 2 = 1 + 2 + 3 + 4 —- + 25

Claramente ahora es la suma de los primeros 25 números naturales que podemos escribir así 

S _norte + 1+ 2 = 25 (25 + 1) / 2

S _n = 325 – 1 – 2

S _n = 322 

Serie Especial 2: Suma de cuadrados de los primeros n números naturales

El resultado de esta serie se da a continuación:

1 ² + 2 ² + 3 ² +… + norte ²   = norte (n + 1) (2n + 1)/6

Prueba:

Sea S _n =1 ² + 2 ² + 3 ² +… + n ²   —eq 1

Sabemos que, k ³ – (k – 1) ³ = 3k ² – 3k + 1   — eq 2

Sabemos que, (a – b) ³ = a ³ – b ³ – 3a ² b + 3ab ²

Entonces, k ³ – (k – 1) ³

= k3 ^– k3 ⁺¹ + 3k ² – 3k

= 3k ² – 3k +1

Poniendo k = 1, 2…, n sucesivamente en la ecuación 2, obtenemos

1 ³ – 0 ³ = 3(1) ² – 3(1) + 1

2 ³ – 1 ³ = 3(2) ² – 3(2) + 1

3 ³ – 2 ³ = 3(3) ² – 3(3) + 1

……………………………………

……………………………………

………………………………..

norte ³ – (n – 1) ³ = 3(n) ² – 3(n) + 1

Sumando ambos lados de todas las ecuaciones anteriores, obtenemos

norte ³ – 0 ³ = 3 (1 ² + 2 ² + 3 ² + … + norte ² ) – 3 (1 + 2 + 3 + … + norte) + norte

Podemos escribir esto como:

n ³ = 3 ∑(k ² ) – 3∑(k) +n, donde 1 ≤ k ≤ n   — eq(3)

Lo sabemos,

 ∑(k) (donde 1 ≤ k ≤ n ) = 1 + 2 + 3 + 4 — n = n(n + 1)/2 —eq(4)

y la ecuación 1  también se puede escribir así

S _norte = ∑(k ² ), donde 1 ≤ k ≤ norte   — eq(1)

Ahora, poniendo estos valores en la ecuación 3

norte ³ = 3S norte – 3( _n )(n + 1)/ 2 + norte

norte ³ + 3 (n) (n + 1)/2 – n = 3S _norte

(2n ³ + 3n ² + 3n – 2n)/2 = 3S _n

(2n ³ + 3n ^{2 +} _n )/6 = S norte

n(2n ² + 3n + 1)/6 = S _norte

norte(2n ² + norte + 2n + 1)/6 = S _norte

n(n(2n + 1) + 1(2n + 1))/6 = S _norte

n(n + 1)(2n + 1)/6 = S _norte

S norte = norte ( _n + 1) (2n + 1)/6

Por lo tanto probado.

Ejemplos 

Pregunta 1. ¿Encontrar la suma de los n términos de la serie cuyo n-ésimo término es n ² + n + 1?

Solución: 

Dado que , 

un _norte = norte ² + norte + 1

Por lo tanto, la suma de n términos está dada por

S norte = ∑ak ₍ donde 1 ≤ k ≤ norte ) = ∑ k ² + ∑ k + ∑1   (donde 1 ≤ k ≤ norte)

= n(n + 1) (2n + 1)/6 + n (n + 1)/2 + n

= (n(n + 1) (2n + 1) + 3n(n + 1) + 6n)/6

= ((n ² + n) (2n + 1) + 3n ² + 3n + 6n)/6

= (2n ³ + 2n ^{2 + norte 2} + norte + 3n 2 ⁺ 9n)/6

= (2n ³ + 6n ² + 10n)/6

Pregunta 2. Encuentra la suma de las siguientes series hasta n términos 1 + 1 + 2 + 1 + 2 + 3 + 1 + 2 + 3 + 4 + ——?

Solución: 

Si observamos con atención la serie podemos escribirla así 

S _norte =(1) + (1 + 2) + (1 + 2 + 3) + (1 + 2 + 3 + 4) + ——

Podemos decir que tenemos que encontrar la suma de la suma de los primeros n números naturales.

Entonces podemos escribir S _n =   Σ((i(i + 1))/2), donde 1 ≤ i ≤ n

= (1/2)Σ (yo(yo + 1))

= (1/2)Σ (yo ² + yo)

= (1/2)(Σ yo ² + Σ yo)

Sabemos que Σ i ² = n (n + 1) (2n + 1) / 6 y  

Σ yo = norte (n + 1) / 2.

Sustituyendo el valor, obtenemos,

Suma = (1/2)((n(n + 1)(2n + 1) / 6) + (n(n + 1) / 2))  

        = n(n+1)/2 [(2n+1)/6+1/2]

        = n(n + 1)(n + 2) / 6

Serie Especial 3: Suma de cubos de los primeros n números naturales

El resultado de esta serie se da a continuación:

1 ³ + 2 ³ + 3 ³ + … + norte ³  = (n (n + 1)/2) ²

Prueba:

Sea S _n = 1 ³ + 2 ³ + 3 ³ +… + n ³   —eq 1

Sabemos que, (k + 1) ⁴ – (k) ⁴ = 4k ³ + 6k ² + 4k + 1               — eq 2

Sabemos que, (a+b) ⁴ = (a ² +b ² +2ab) ²

= un ⁴ + segundo ⁴ + 6a ^{2 segundo 2} + 4a ³ segundo + 4ab ³

Entonces, (k + 1) ⁴ – (k) ⁴

= k ⁴ + 1 + 6k ² + 4k ³ + 4k- k ⁴ 

= 4k ³ +6k ² + 4k +1

Poniendo k = 1, 2…, n sucesivamente en la ecuación 2 , obtenemos

(1 + 1) ⁴ – 1 ⁴ = 4(1) ³ + 6(1) ² + 4(1) + 1

(2 + 1) ⁴ – 2 ⁴ = 4(2) ³ + 6(2) ² + 4(2) + 1

……………………………………

……………………………………

………………………………..

(n + 1) ⁴ – (n) ⁴ = 4(n) ³ + 6n ² + 4n + 1

Sumando ambos lados de todas las ecuaciones anteriores, obtenemos

(n + 1) ⁴ – 1 ⁴ = 4 (1 ³ + 2 ³ + 3 ³ + … + n ³ ) + 6(1 ² + 2 ² + 3 ² + 4 ² + 5 ² ) + 4 (1 + 2 + 3 + … + n) + n

Podemos escribir esto como:

(n + 1) ⁴ – 1 ⁴ = 4 ∑ (k ³ ) + 6∑(k ² ) + 4∑(k) + n donde 1 ≤ k ≤ n   — eq(3 )

Lo sabemos ,

∑(k) (donde 1 ≤ k ≤ n ) = 1 + 2 + 3 + 4 — n = n (n + 1)/2   —eq(4)

∑(k ² ) (donde 1 ≤ k ≤ n ) = 1 ² + 2 ² + 3 ² + 4 ² — n ² = n (n + 1) (2n + 1)/6   —eq(5)

y la ecuación 1  también se puede escribir así

S _norte = ∑(k ³ ) , donde 1 ≤ k ≤ norte — eq(1)

Ahora, poniendo estos valores en la ecuación 3

(n + 1) ⁴ -1 ⁴ = 4S _n + 6(n) (n + 1) (2n + 1)/6 + 4 (n) (n + 1)/2 + n

^{norte 4}  + 6n ² + 4n ³ + 4n – ( n )(2n ² + 3n + 1) – 2(n)(n + 1) – n = 4S _norte

n ⁴ + 6n ² + 4n ³ + 4n – 2n ³ – 3n ² – n – 2n ² – 2n – n = 4S _n

norte ⁴ + norte ² + 2n ³ = 4S _norte 

^{norte 2} (n 2 ⁺ 1 + 2n) = 4S _norte

^{norte 2} ( n + 1) ² = 4S _norte

S _norte = (n(n + 1)/2) ²

Por lo tanto probado.

Ejemplo 

Pregunta. ¿ Encuentra el valor de la siguiente fracción (1 ³ + 2 ³ + 3 ³ —- + 9 ³ ) / (1 + 2 + 3 —- + 9)?

Solución: 

Suma del primer n número natural: n(n + 1)/2

Suma del cubo del primer n número natural: (n(n + 1)/2) ²

Entonces, (1 ³ + 2 ³ + 3 ³ —-+ n ³ ) / (1+ 2+ 3 —- +n)

= ((n(n+1)/2) ² ) / (n(n+1)/2)

= n(n + 1)/2

Ahora, como podemos ver que el valor de n es 9 en la pregunta,

= 9 (9 + 1) / 2

= 9×5

= 45