Enfoque axiomático de la probabilidad

Posted on by Rudeus Greyrat

Al escuchar la palabra probabilidad, surgen conceptos nebulosos relacionados con la incertidumbre o la aleatoriedad. El concepto de probabilidad es difícil de describir formalmente, la intuición más cercana es que nos ayuda a analizar la probabilidad o posibilidades de que ocurra un determinado evento. Este análisis nos ayuda a describir muchos fenómenos que vemos en la vida real. Incluso los procesos o fenómenos que parecen más aleatorios se pueden describir utilizando los modelos de probabilidad y se pueden predecir hasta cierto punto. Es por eso que la probabilidad es la base de los algoritmos de inteligencia artificial que encontramos en la vida real. Antes de describir formalmente las leyes de probabilidad, veamos la terminología básica. 

Eventos y Espacio Muestral

Supongamos un experimento que consiste en lanzar una moneda. Ahora, solo hay dos resultados de un lanzamiento de moneda: cara o cruz. El interés es estudiar y calcular las posibilidades de obtener cruz como resultado de un lanzamiento de moneda. A esto se le llama experimento aleatorio y todos los resultados posibles de este experimento constituyen un espacio muestral. Por ejemplo, supongamos que se lanza una moneda 2 veces. ¿Cuáles son los posibles resultados? 

JU, HH, HT, TT

Todos estos resultados constituyen el espacio muestral. 

Experimento aleatorio: un experimento aleatorio es un experimento en el que los resultados son aleatorios y, por lo tanto, no se pueden predecir con certeza. 

Espacio muestral: El espacio muestral es el conjunto de todos los resultados posibles asociados con un experimento aleatorio. Se denota con el símbolo S.  

Medimos la probabilidad de obtener dos caras en el experimento anterior. Entonces la probabilidad de este resultado se define como, 

PAG = \frac{\text{Number of favourable Outcomes}}{\text{Total number of possible outcomes}}

Para este caso, el resultado favorable es HH y el número total de resultados posibles es cuatro. 

Entonces, probabilidad (obtener dos caras) = \frac{1}{4}

Diferentes enfoques de probabilidad

La fórmula anterior para calcular las probabilidades supone que todos los resultados son igualmente probables. Por ejemplo, en el lanzamiento de una moneda justa. Los resultados cara y cruz son igualmente probables. Así que esto no se puede generalizar a todos los experimentos. Inicialmente, había básicamente dos escuelas de pensamiento en probabilidad: 

  1. Probabilidad clásica
  2. Probabilidad Frecuentista

Probabilidad clásica 

Este enfoque supone que todos los resultados son igualmente probables. Si nuestro evento puede ocurrir en “n” formas de un total de “N” formas. Entonces la probabilidad puede estar dada por, 

P(event) = \frac{n}{N}

Probabilidad Frecuentista  

Este es un enfoque más general para calcular la probabilidad. No asume que todos los resultados son igualmente probables. Cuando los resultados no son igualmente probables, repetimos el experimento muchas veces, digamos M. Luego, observe cuántas veces ocurrió ese evento en particular, digamos m. Luego, calcule la estimación empírica de la probabilidad. Entonces, usa la relación, 

P(event) =\lim_{M \to \infty} \frac{m}{M}

Ambos enfoques no logran generalizar bien y resistir el rigor matemático. 

El enfoque axiomático de la probabilidad asume el enfoque de considerar la probabilidad como una función asociada con cualquier evento.

Enfoque axiomático de la probabilidad 

Realice un experimento aleatorio cuyo espacio muestral sea S y P sea la probabilidad de ocurrencia de cualquier evento aleatorio. Este modelo asume que P debe ser una función de valor real con un rango entre 0 y 1. El dominio de esta función se define como un conjunto potencia de espacio muestral. Si se cumplen todas estas condiciones, entonces, la función debe satisfacer los siguientes axiomas: 

Axioma 1: Para cualquier evento X dado, la probabilidad de ese evento debe ser mayor o igual a 0. Por lo tanto, 

0 ≤ P(X)

Axioma 2: Sabemos que el espacio muestral S del experimento es el conjunto de todos los resultados. Esto significa que la probabilidad de que ocurra cualquier resultado es del 100 por ciento, es decir, P(S) = 1. Intuitivamente, esto significa que cada vez que se realiza este experimento, la probabilidad de obtener algún resultado es del 100 por ciento.

P(S) = 1

Axioma 3: Para los experimentos donde tenemos dos resultados A y B. Si A y B son mutuamente excluyentes, 

PAG(A ∪ B) = PAG(A) + PAG(B) 

Aquí, ∪ significa unión. Esto se puede entender como si dijera: «Si A y B son resultados mutuamente excluyentes, la probabilidad de que ocurra cualquiera de estos eventos es la probabilidad de que ocurra A más la probabilidad de que ocurra B». 

Estos axiomas también se denominan los tres axiomas de Kolmogorov . El tercer axioma también se puede extender a varios resultados dado que todos son mutuamente excluyentes. 

Digamos que el experimento tiene A 1 , A 2 , A 3 y… A n. Todos estos eventos son mutuamente excluyentes. En este caso, los tres axiomas se convierten en: 

Axioma 1: 0 ≤ P(A i ) ≤ 1 para todo i = 1,2,3,… n. 

Axioma 2: P(A 1 ) + P(A 2 ) + P(A 3 ) +…. = 1

Axioma 3: P(A 1 ∪ A 2 ∪ A 3 ….) = P(A 1 ) + P(A 2 ) + P(A 3 ) ….

Veamos algunos problemas de muestra basados ​​en estos conceptos. 

Problemas de muestra

Pregunta 1: Averigüe el espacio muestral «S» para un experimento aleatorio que involucre el lanzamiento de tres monedas. 

Solución. 

Sabemos que lanzar una moneda nos da cara o cruz. Lanzar tres monedas nos dará tresillos de cara o cruz. Entonces, los posibles resultados pueden ser, 

HHH, HHT, HTH, HTT, …. 

Todos estos resultados constituirán el espacio muestral. 

S = {HHH, HHT, HTH, HTT, THH, THT, TTH, TTT}

Pregunta 2: Averigüe la probabilidad de obtener un número 3 cuando se lanza un dado. 

Responder: 

Sabemos que los posibles resultados cuando se lanza un dado son, 

{1, 2, 3, 4, 5 y 6} 

Queremos calcular la probabilidad de obtener un número 3. 

Número de resultados favorables = 1 

Número total de resultados = 6. 

Entonces, la probabilidad de obtener un número 3, P(3) = \frac{\text{Number of favourable Outcomes}}{\text{Total number of possible outcomes}}

P(3) =\frac{1}{6}

Pregunta 3: Digamos que una clase elige a su capitán de clase a través de un sorteo aleatorio. La clase tiene un 30% de estudiantes indios, un 50% de estudiantes estadounidenses y un 20% de estudiantes chinos. Calcula la probabilidad de que el capitán elegido sea indio. 

Responder: 

Definamos un evento A: El capitán elegido es indio. Sabemos que solo hay un 30% de estudiantes indios en clase. 

Medida de resultado favorable = 0,3 

Número total de resultados = 1 

Entonces, P(A) = \frac{\text{Number of favourable Outcomes}}{\text{Total number of possible outcomes}}

PA(A) =\frac{0.3}{1}

P(A) = 0,3 

Entonces, hay un 30% de probabilidad de que un estudiante indio sea elegido capitán de la clase. 

Pregunta 4: Averigüe la probabilidad de obtener un número par cuando se lanza un dado. 

Responder: 

Sabemos que los posibles resultados cuando se lanza un dado son, 

{1, 2, 3, 4, 5 y 6} 

Queremos calcular la probabilidad de obtener un número par. los numeros pares son {2,4,6}

Número de resultados favorables = 3 

Número total de resultados = 6. 

Entonces, la probabilidad de obtener un número par, P(Par) = \frac{\text{Number of favourable Outcomes}}{\text{Total number of possible outcomes}}

P(Par) =\frac{3}{6}

⇒ P(Par) = \frac{1}{2}

Pregunta 5: Digamos que tenemos una urna con 5 bolas rojas y 3 bolas negras. Queremos sacar bolas de esta bolsa. Calcula la probabilidad de sacar una bola roja. 

Responder: 

Definamos el experimento como “Sacar una pelota de la bolsa”. Ahora se requiere calcular la probabilidad de obtener una bola roja. 

Número de resultados favorables = 5 

Número total de resultados = 8. 

Entonces, P(rojo) = \frac{5}{8}

Pregunta 6: Para el experimento anterior, verifique que la probabilidad de obtener una bola roja y la probabilidad de obtener una bola negra sigan los axiomas de probabilidad mencionados anteriormente. 

Responder: 

Definamos dos eventos, 

R = Se recoge la bola roja 

B = Se elige la bola negra 

Calcule la probabilidad de obtener una bola roja en el ejemplo anterior,  

P(R) = \frac{5}{8}

Similarmente, 

P(B) = \frac{3}{8}

Ahora observe que tanto P(R) como P(B) se encuentran entre 0 y 1. Por lo tanto, satisfacen el axioma 1. Verifiquemos el segundo axioma. 

P(R) + P(B) 

⇒P(R) + P(B) = \frac{5}{8} + \frac{3}{8}

⇒ P(R) + P(B) = 1

Por tanto, también se cumple el segundo axioma. 

Sabemos que ambos eventos son mutuamente excluyentes. 

Entonces, P(R ∪ B) = P(Obtener una bola roja o una bola negra) 

⇒ P(R ∪ B) = P(R) + P(B) 

⇒ P(R ∪ B) = \frac{5}{8}  + \frac{3}{8}

⇒ P(R ∪ B) = 1

Por lo tanto, los tres de estos axiomas se cumplen. Así, el experimento anterior sigue los axiomas de la probabilidad. 

Publicación traducida automáticamente

Artículo escrito por anjalishukla1859 y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA

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