Funciones trigonométricas de suma y diferencia de dos ángulos

La trigonometría es una rama de las matemáticas que se ocupa de los ángulos, las longitudes y las alturas de los triángulos y sus relaciones. Había jugado un papel importante para calcular funciones complejas o grandes distancias que no eran posibles de calcular sin trigonometría. Al resolver problemas de trigonometría, nos encontramos con muchas situaciones en las que tenemos que calcular las soluciones trigonométricas para la suma de ángulos o la diferencia de ángulos. P.ej

Aquí, $\frac{BC}{AB} = \frac{Opposite \hspace{0.1cm}side} {Adjacent\hspace{0.1cm} side}$

Que es una razón trigonométrica tangente, con un ángulo opuesto a BC.

tan(θ+Φ) = $\frac{BC}{AB}$

Si θ = 30° y Φ = 45°. Conocemos los ángulos trigonométricos de 45° y 30°, pero no conocemos el ángulo trigonométrico de (45° + 30° = 75°). Entonces, para simplificar este tipo de problemas. Aprenderemos fórmulas trigonométricas o identidades de suma y diferencia de dos ángulos que facilitarán las cosas.

Antes de continuar, primero veremos los signos de las funciones trigonométricas en los cuatro cuadrantes. Estos signos juegan un papel importante en la trigonometría.

Identidades trigonométricas

Ahora vamos a encontrar las identidades trigonométricas. Como sabemos que

sen(-x) = – sen x

cos(-x) = cos x

Porque solo cos y sec son positivos en el cuarto cuadrante. Entonces, ahora probamos algunos resultados con respecto a la suma y diferencia de ángulos:

Consideremos un círculo unitario (que tiene un radio de 1) con centro en el origen. Sea x el ∠DOA y sea y el ∠AOB. Entonces (x + y) es el ∠DOB. También sea (– y) el ∠DOC.

Por lo tanto, las coordenadas de A, B, C y D son

A = (cos x, sen x)

B = [cos (x + y), sen (x + y)]

C = [cos (– y), sen (– y)]

D = (1, 0).

Como, ∠AOB = ∠COD

Sumando, ∠BOC en ambos lados, obtenemos

∠AOB + ∠BOC = ∠COD + ∠BOC

∠COA = ∠BOD

En △ AOC y △ BOD

OA = OB (radio del círculo)

∠AOC = ∠BOD (Probado anteriormente)

OC = OD (radio del círculo)

△ AOC ≅ △ BOD por congruencia SAS.

Usando la fórmula de la distancia, para

AC ² = [cos x – cos (– y)] ² + [sen x – sin(–y] ²

AC ² = 2 – 2 (cos x cos y – sen x sen y) …………….(i)

Y ahora

De manera similar, usando la fórmula de la distancia, obtenemos

BD ² = [1 – cos (x + y)] ² + [0 – sen (x + y)] ²

BD ² = 2 – 2 cos (x + y) …………….(ii)

Como, △ AOC ≅ △ DBO

AC = BD, entonces AC ² = BD ²

De eq(i) y eq(ii), obtenemos

2 – 2 (cos x cos y – sen x sen y) = 2 – 2 cos (x + y)

Asi que,

cos (x + y) = cos x cos y – sen x sen y

Toma y = -y, obtenemos

cos (x + (-y)) = cos x cos (-y) – sen x sen (-y)

cos (x – y) = cos x cos y + sen x sen y

Ahora, tomando

cos ( $\frac{\pi}{2}$ -(x + y)) = cos (( $\frac{\pi}{2}$ -x) – y) (cos ( $\frac{\pi}{2}$ -θ) = sen θ)

sen (x – y) = sen x cos y – cos x sen y

toma y = -y, obtenemos

sen (x – (-y)) = sen x cos (-y) – cos x sen (-y)

sen (x + y) = sen x cos y + cos x sen y

Las fórmulas derivadas de razones trigonométricas de ángulos compuestos son las siguientes:

sen (A + B) = sen A cos B + cos A sen B   ………………..(1)

sen (A – B) = sen A cos B – cos A sen B   ………………..(2)

cos (A + B) = cos A cos B – sen A sen B .. ………………(3)

cos (A – B) = cos A cos B + sen A sen B   ………………..(4)

Al usar estas fórmulas, podemos obtener una forma importante y más utilizada:

(1) Tomar, A = $\mathbf{\frac{\pi}{2}}$

En la ecuación (1) y (3), obtenemos

sen ( $\frac{\pi}{2}$ +B) = cos B

cos ( $\frac{\pi}{2}$ +B) = – sen A

(2) Tome, A = π

En la ecuación (1), (2), (3) y (4) obtenemos

sen (π + B) = – sen B

sen (π – B) = sen B

coseno (π ± B) = – coseno B

(3) Tome, A = 2π

En la ecuación (2) y (4) obtenemos

sen (2π – B) = – sen B

coseno (2π – B) = coseno B

De manera similar para cot A, tan A, sec A y cosec A

(4) $\mathbf{tan(A + B) = \frac{tan A + tan B}{1-tan A tan B}}$

Aquí, A, B y (A + B) no son un múltiplo impar de π/2, por lo tanto, cosA, cosB y cos(A + B) no son cero

tan(A + B) = sen(A + B)/cos(A + B)

De la ecuación (1) y (3), obtenemos

tan(A + B) = sen A cos B + cos A sen B/cos A cos B – sen A sen B

Ahora dividimos el numerador y el denominador por cos A cos B obtenemos

tan(A + B) = $\frac{\frac{sin A cos B}{cosAcosB} + \frac{cos A sin B}{cosAcosB}}{\frac{cos A cos B}{cosAcosB} - \frac{sin A sin B}{cosAcosB}}$

$tan(A + B) = \frac{tan A + tan B}{1-tan A tan B}$

(5) $\mathbf{tan(A - B) = \frac{tan A - tan B}{1+tan A tan B}}$

Como sabemos que

$tan(A + B) = \frac{tan A + tan B}{1-tan A tan B}$

Entonces, al poner B = -B, obtenemos

$tan(A - B) = \frac{tan A - tan B}{1+tan A tan B}$

(6) $\mathbf{cot(A + B) = \frac{cotAcot B-1}{cot A + cot B}}$

Aquí, A, B y (A + B) no son múltiplos de π, por lo tanto, sinA, sinB y sin(A + B) no son cero

cot(A + B) = cos(A + B)/sen(A + B)

De la ecuación (1) y (3), obtenemos

cot(A + B) = cos A cos B – sen A sen B/sen A cos B + cos A sen B

Ahora dividimos el numerador y el denominador por sen A sen B obtenemos

cuna(A + B) = $\frac{\frac{cos A cos B}{sinAsinB} - \frac{sin A sin B}{sinAsinB}}{\frac{sin A cos B}{sinAsinB} + \frac{cos A sin B}{sinAsinB}}$

$cot(A + B) = \frac{cotAcot B-1}{cot A + cot B}$

(7) $\mathbf{cot(A - B) = \frac{cotAcot B+1}{cot A - cot B}}$

Como sabemos que

$cot(A + B) = \frac{cotAcot B-1}{cot A + cot B}$

Entonces, al poner B = -B, obtenemos

$cot(A - B) = \frac{cotAcot B+1}{cot A - cot B}$

Aquí, estableceremos dos conjuntos de fórmulas de transformación: fórmulas de factorización y desfactorización.

Fórmulas de desfactorización

En trigonometría, la desfactorización significa convertir un producto en una suma o diferencia. Las fórmulas de desfactorización son:

(1) 2 sen A cos B = sen (A + B) + sen (A – B)

Prueba:

Como sabemos que

sen (A + B) = sen A cos B + cos A sen B ………………………(1)

sen (A – B) = sen A cos B – cos A sen B ………………………(2)

Sumando las ecuaciones (1) y (2), obtenemos

2 sen A cos B = sen (A + B) + sen (A – B)

(2) 2 cos A sen B = sen (A + B) – sen (A – B)

Prueba:

Como sabemos que

sen (A + B) = sen A cos B + cos A sen B ………………………(1)

sen (A – B) = sen A cos B – cos A sen B ………………………(2)

Restando la ecuación (2) de (1), obtenemos

2 porque A sen B = sen (A + B) – sen (A – B)

(3) 2 cos A cos B = cos (A + B) + cos (A – B)

Prueba:

Como sabemos que

cos (A + B) = cos A cos B – sen A sen B ………………………(1)

cos (A – B) = cos A cos B + sen A sen B ………………………(2)

Sumando las ecuaciones (1) y (2), obtenemos

2 cos A cos B = cos (A + B) + cos (A – B)

(4) 2 sen A sen B = cos (A – B) – cos (A + B)

Prueba:

cos (A + B) = cos A cos B – sen A sen B ………………………(1)

cos (A – B) = cos A cos B + sen A sen B ………………………(2)

Restando la ecuación (3) de (4), obtenemos

2 sen A sen B = cos (A – B) – cos (A + B)

Ejemplo 1. Convierte cada uno de los siguientes productos en la suma o diferencia.

(i) 2 sen 40° cos 30°

(ii) 2 sen 75° sen 15°

(iii) cos 75° cos 15°

Solución:

(i) Dado: A = 40° y B = 30°

Ahora pon todos estos valores en la fórmula,

2 sen A cos B = sen (A + B) + sen (A – B)

Obtenemos

2 sen 40° cos 30° = sen (40 + 30) + sen (40 – 30)

= pecado (70°) + pecado (10°)

(ii) Dado: A = 75° y B = 15°

Ahora pon todos estos valores en la fórmula,

2 sen A sen B = cos (A – B) – cos (A + B)

Obtenemos

2 sen 75° sen 15° = coseno (75-15) – coseno (75+15)

= coseno (60°) – coseno (90°)

(iii) Dado: A = 75° y B = 15°

Ahora pon todos estos valores en la fórmula,

2 cos A cos B = cos (A + B) + cos (A – B)

Obtenemos

cos 75° cos 15° = 1/2(cos (75+15) + cos (75-15))

= 1/2 (cos (90°) + cos (60°))

Ejemplo 2. Resolver para $2cos \frac{\pi}{13}cos \frac{9\pi}{13}+cos \frac{3\pi}{13}+cos \frac{5\pi}{13}$

Solución:

Usando la fórmula

2 cos A cos B = cos (A + B) + cos (A – B)

$2cos \frac{\pi}{13}cos \frac{9\pi}{13} =cos (\frac{9\pi}{13}+\frac{\pi}{13})+cos (\frac{9\pi}{13}-\frac{\pi}{13}) + cos\frac{3\pi}{13}+cos\frac{5\pi}{13}$

= $cos \frac{10\pi}{13}+cos \frac{8\pi}{13} + cos\frac{3\pi}{13}+cos\frac{5\pi}{13}$

= $cos (\pi-\frac{3\pi}{13})+cos (\pi-\frac{5\pi}{13}) + cos\frac{3\pi}{13}+cos\frac{5\pi}{13}$

= $-cos \frac{3\pi}{13}-cos \frac{5\pi}{13} + cos\frac{3\pi}{13}+cos\frac{5\pi}{13}$

Por eso,

$2cos \frac{\pi}{13}cos \frac{9\pi}{13}+cos \frac{3\pi}{13}+cos \frac{5\pi}{13}$ = 0

Fórmulas de factorización

En trigonometría, la factorización significa convertir la suma o la diferencia en el producto. Las fórmulas de factorización son:

(1) sen (C) + sen (D) = 2 sen $(\mathbf{\frac{C+D}{2}})$ cos $(\mathbf{\frac{C-D}{2}})$

Prueba:

Tenemos

2 sen A cos B = sen (A + B) + sen (A – B) ………………………(1)

Así que ahora, estamos tomando

A + B = C y A – B = D

Entonces, A = $\frac{C+D}{2}$ y B = $\frac{C-D}{2}$

Ahora ponga todos estos valores en la ecuación (1), obtenemos

2 sen ( $\frac{C+D}{2}$ ) cos ( $\frac{C-D}{2}$ ) = sen (C) + sen (D)

O

sen (C) + sen (D) = 2 sen ( $\frac{C+D}{2}$ ) cos ( $\frac{C-D}{2}$ )

(2) sen (C) – sen (D) = 2 cos $(\mathbf{\frac{C+D}{2}})$ sen $(\mathbf{\frac{C-D}{2}})$

Prueba:

Tenemos

2 porque A sen B = sen (A + B) – sen (A – B) ………………………(1)

Así que ahora, estamos tomando

A + B = C y A – B = D

Entonces, A = $\frac{C+D}{2}$ y B = $\frac{C-D}{2}$

Ahora ponga todos estos valores en la ecuación (1), obtenemos

2 cos ( $\frac{C+D}{2}$ ) sen ( $\frac{C-D}{2}$ ) = sen (C) – sen (D)

O

sen (C) – sen (D) = 2 cos ( $\frac{C+D}{2}$ ) sen ( $\frac{C-D}{2}$ )

(3) cos (C) + cos (D) = 2 cos $(\mathbf{\frac{C+D}{2}})$ cos $(\mathbf{\frac{C-D}{2}})$

Prueba:

Tenemos

2 cos A cos B = cos (A + B) + cos (A – B) ………………………(1)

Así que ahora, estamos tomando

A + B = C y A – B = D

Entonces, A = $\frac{C+D}{2}$ y B = $\frac{C-D}{2}$

Ahora ponga todos estos valores en la ecuación (1), obtenemos

2 coseno ( $\frac{C+D}{2}$ ) coseno ( $\frac{C-D}{2}$ ) = coseno (C) + coseno (D)

O

coseno (C) + coseno (D) = 2 coseno ( $\frac{C+D}{2}$ ) coseno ( $\frac{C-D}{2}$ )

(4) cos (C) – cos (D) = 2 sen $(\mathbf{\frac{C+D}{2}})$ sen $(\mathbf{\frac{D-C}{2}})$

Prueba:

Tenemos

2 sen A sen B = cos (A – B) – cos (A + B) ………………………(1)

Así que ahora, estamos tomando

A + B = C y A – B = D

Entonces, A = $\frac{C+D}{2}$ y B = $\frac{C-D}{2}$

Ahora ponga todos estos valores en la ecuación (1), obtenemos

2 sen ( $\frac{C+D}{2}$ ) sen ( $\frac{C-D}{2}$ ) = cos (C) – cos (D)

O

cos (C) – cos (D) = 2 sen ( $\frac{C+D}{2}$ ) sen ( $\frac{C-D}{2}$ )

Explique 1. Exprese cada uno de los siguientes como un producto

(i) sen 40° + sen 20°

(ii) sen 60° – sen 20°

(iii) cos 40° + cos 80°

Solución:

(i) Dado: C = 40° y D = 20°

Ahora pon todos estos valores en la fórmula,

sen (C) + sen (D) = 2 sen $(\frac{C+D}{2})$ cos $(\frac{C-D}{2})$

Obtenemos

sen 40° + sen 20° = 2 sen $(\frac{40+20}{2})$ cos $(\frac{40-20}{2})$

= 2 seno $(\frac{60}{2})$ cos $(\frac{20}{2})$

= 2 sen 30° cos 10°

(ii) Dado: C = 60° y D = 20°

Ahora pon todos estos valores en la fórmula,

sen (C) – sen (D) = 2 cos $(\frac{C+D}{2})$ sen $(\frac{C-D}{2})$

Obtenemos

sen 60° – sen 20° = 2 cos $(\frac{60+20}{2})$ sen $(\frac{60-20}{2})$

= 2 $(\frac{80}{2})$ coseno $(\frac{40}{2})$

= 2 cos 40° sen 20°

(iii) Dado: C = 80° y D = 40°

Ahora pon todos estos valores en la fórmula,

cos (C) + cos (D) = 2 cos $(\frac{C+D}{2})$ cos $(\frac{C-D}{2})$

Obtenemos

cos 40° + cos 80° = 2 cos $(\frac{40+80}{2})$ cos $(\frac{80-40}{2})$

= 2 porque $(\frac{120}{2})$ porque $(\frac{40}{2})$

= 2 cos 60° cos 20°

Ejemplo 2. Demostrar que: 1 + cos 2x + cos 4x + cos 6x = 4 cos x cos 2x cos 3x

Solución:

Tomemos LHS

1 + cos 2x + cos 4x + cos 6x

Aquí, cos 0x = 1

Asi que,

(cos 0x + cos 2x) + (cos 4x + cos 6x)

Usando fórmula

cos (C) + cos (D) = 2 cos $(\frac{C+D}{2})$ cos $(\frac{C-D}{2})$

Obtenemos

(2 cos $(\frac{0x+2x}{2})$ cos $(\frac{2x-0x}{2})$ ) + (2 cos $(\frac{4x+6x}{2})$ cos $(\frac{6x-4x}{2})$ )

(2 cos x cos x) + (2 cos 5x cos x)

Tomando 2 cos x común, tenemos

2 cos x (cos x + cos 5x)

Nuevamente usando la fórmula

cos (C) + cos (D) = 2 cos $(\frac{C+D}{2})$ cos $(\frac{C-D}{2})$

Obtenemos

2 cos x (2 cos $(\frac{x+5x}{2})$ cos $(\frac{5x-x}{2})$ )

2 cos x (2 cos 3x cos 2x)

4 cos x cos 2x cos 3x

LHS = RHS

Por lo tanto probado

Razones trigonométricas de múltiples ángulos (2A) en términos del ángulo A

Las razones trigonométricas de un ángulo en un triángulo rectángulo definen la relación entre el ángulo y la longitud de sus lados. sen 2x o cos 2x, etc. también son una de esas fórmulas trigonométricas, también conocida como fórmula de ángulo doble, ya que tiene un ángulo doble.

(1) sen 2A = 2 sen A cos A

Prueba:

Como sabemos que

sen (A + B) = sen A cos B + cos A sen B ………………..(1)

Ahora tomando B = A, en la ecuación (1), obtenemos

sen (A + A) = sen A cos A + cos A sen A

sen 2A = 2 sen A cos A

(2) cos 2A = cos ² A – sen ² A

Prueba:

Como sabemos que

cos (A + B) = cos A cos B – sen A sen B ………………..(1)

Ahora tomando B = A, en la ecuación (1), obtenemos

cos (A + A) = cos A cos A + sen A sen A

cos 2A = cos ² A – sen ² A

(3) cos 2A = 2 cos ² A – 1

Prueba:

Como sabemos que

cos 2A = cos ² A – sen ² A ………………..(1)

También sabemos que

sen ² A + cos ² A = 1

Entonces, sen ² A = 1 – cos ² A

Ahora pon el valor de sen ² A en la ecuación (1), obtenemos

cos 2A = cos ² A – (1 – cos ² A)

cos 2A = cos ² A – 1 + cos ² A

cos 2A = 2 cos ² A – 1

(4) cos 2A = 1 – 2sen ² A

Prueba:

Como sabemos que

cos2A = 2cos2A ^– 1 ………………..(1)

También sabemos que

sen ² A + cos ² A = 1

Entonces, cos ² A = 1 – sen ² A

Ahora pon el valor de sen ² A en la ecuación (1), obtenemos

cos 2A = 2(1 – sen ² A) – 1

cos 2A = 2 – 2sen ² A) – 1

cos 2A = 1 – 2sen ² A

(5) cos 2A = $\mathbf{\frac{1-tan^2A}{1+tan^2A}}$

Prueba:

Como sabemos que

cos 2A = cos ² A – sen ² A

Entonces, ahora dividiendo, por sen ² A + cos ² A = 1, obtenemos

cos 2A = $\frac{cos^2 A - sin^2 A}{sin^2 A + cos^2 A}$

Nuevamente dividiendo el numerador y el denominador por cos ² A, obtenemos

cos 2A = $\frac{\frac{cos^2 A - sin^2 A}{cos^2A}}{\frac{sin^2 A + cos^2 A}{cos^2A}}$

cos 2A = $\frac{1-tan^2A}{1+tan^2A}$

(6) sen 2A = $\mathbf{\frac{2tanA}{1+tan^2A}}$

Prueba:

Como sabemos que

sen (A + B) = sen A cos B + cos A sen B ………………..(1)

Ahora tomando B = A, en la ecuación (1), obtenemos

sen (A + A) = sen A cos A + cos A sen A

sen 2A = 2 sen A cos A

Como también sabemos que sen ² A + cos ² A = 1

Entonces, ahora dividiendo, por sen ² A + cos ² A = 1, obtenemos

sen 2A = $\frac{2 sin A cos A}{cos^2A + sin^2A}$

Ahora, al dividir el numerador y el denominador por cos ² A, obtenemos

sen 2A = $\frac{2 tanA}{1+tan^2A}$

(7) tan 2A = $\mathbf{\frac{2 tanA}{1-tan^2A}}$

Prueba:

Como sabemos que

$tan(A + B) = \frac{tan A + tan B}{1-tan A tan B}$ ………………..(1)

Ahora tomando B = A, en la ecuación (1), obtenemos

tan(A + A) = $\frac{tan A + tan A}{1-tan A tan A}$

bronceado 2A = $\frac{2tan A}{1-tan^2 A}$

Ejemplo: probar que

(i) $\mathbf{\frac{sin 2\theta}{1+cos 2\theta}}$ = tan θ

(ii) $\mathbf{\frac{sin 2\theta}{1-cos 2\theta}}$ = cuna θ

(iii) cos 4x = 1 – 8 sen ² x cos ² x

Solución:

(i) sen 2θ = 2 sen θ cos θ ………..(de la identidad 1)

y, 1 + cos 2θ = 2 cos ² θ ………..(de la identidad 3)

$\frac{sin 2\theta}{1+cos 2\theta} = \frac{2 sin \theta cos \theta}{2cos^2\theta}$

= $\frac{sin \theta }{cos\theta}$

= bronceado θ

Por lo tanto probado

(ii) sen 2θ = 2 sen θ cos θ ………..(de la identidad 1)

y, 1 – cos 2θ = 2sen ² θ ………..(de la identidad 4)

$\frac{sin 2\theta}{1-cos 2\theta} = \frac{2 sin \theta cos \theta}{2sin^2\theta}$

= $\frac{cos \theta }{sin\theta}$

= cuna θ

Por lo tanto probado

(iii) cos 4x = cos 2(2x)

= 1 – 2sen ² (2x) (usando 16)

= 1 – 2(sen(2x)) ²

= 1 – 2(2 sen x cos x) ² (usando la identidad 1)

= 1 – 2(4 sen ² x cos ² x)

cos 4x = 1 – 8 sen ² x cos ² x

Por lo tanto probado

Razones trigonométricas de múltiples ángulos (3A) en términos del ángulo A

Las razones trigonométricas de un ángulo en un triángulo rectángulo definen la relación entre el ángulo y la longitud de sus lados. sen 3x o cos 3x, etc. también son una de esas fórmulas trigonométricas, también conocida como fórmula de ángulo triple, ya que tiene un ángulo triple.

(1) sen 3A = 3 sen A – 4 sen ³ A

Prueba:

Tomemos LHS

sen 3A = sen (2A + A)

Usando la identidad

sen (A + B) = sen A cos B + cos A sen B

Obtenemos

sen 3A = sen 2A cos A + cos 2A sen A

= 2sen A cos A cos A + (1 – 2sen ² A)sen A

= 2sen A(1 – sen ² A) + sen A – 2sen ³ A

= 2 sen A – 2 sen ³ A + sen A – 2 sen ³ A

sen 3A = 3 sen A – 4 sen ³ A

(2) cos 3A = 4 cos ³ A – 3 cos A

Prueba:

Tomemos LHS

sen 3A = sen (2A + A)

Usando la identidad

cos (A + B) = cos A cos B – sen A sen B

Obtenemos

cos 3A = cos 2A cos A – sen 2A sen A

= (2 cos ² A – 1) cos A – 2 sen A cos A sen A

= (2cos ² A – 1)cos A – 2cos A(1 – cos ² A)

= 2 cos ³ A – cos A – 2 cos A + 2 cos ³ A)

cos 3A = 4 cos ³ A – 3 cos A

(3) bronceado 3A = $\mathbf{\frac{3tan A-tan^3A}{1-3tan^2A}}$

Prueba:

Tomemos LHS

bronceado 3A = bronceado(2A + A)

Usando la identidad

$tan(A + B) = \frac{tan A + tan B}{1-tan A tan B}$

Obtenemos

bronceado 3A = $\frac{tan 2A + tan A}{1-tan 2A tan A}$

= $\frac{\frac{tan 2A}{1-tan^2A} + tan A}{1-\frac{tan 2A tan A}{1-tan^2A}}$

= $\frac{2tan A + tan A-tan^3A}{1-tan^2A-2 tan^2 A}$

= $\frac{3tan A-tan^3A}{1-3tan^2A}$

Ejemplo 1. Resuelve 2sin3xsenx.

Solución:

Tenemos 2sen3xsenx

También escribimos como y = y1. y2 ….(1)

Aquí, y1 = 2sen3x

y2 = senx

Entonces resolvamos y1 = 2sin3x

Usando la identidad

sen 3A = 3 sen A – 4 sen ³ A

Obtenemos

y1 = 2(sen x – 4 sen ³ x)

= 2 sen x – 8 sen ³ x

Ahora pon estos valores en la ecuación (1), obtenemos

y = (2sen x – 8 sen ³ x)(senx)

= 2 sen ² x – 8 sen ⁴ x

Ejemplo 2. Resuelve 2tan3xtanx.

Solución:

Tenemos 2tan3xtanx

También escribimos como y = y1. y2 ….(1)

Aquí, y1 = 2tan3x

y2 = tanx

Entonces resolvamos y1 = 2tan3x

Usando la identidad

bronceado 3A = $\frac{3tan A-tan^3A}{1-3tan^2A}$

Obtenemos

y1 = 2( $\frac{3tan x-tan^3x}{1-3tan^2x}$ )

= $\frac{6tan x-2tan^3x}{1-3tan^2x}$

Ahora pon estos valores en la ecuación (1), obtenemos

y = ( $\frac{6tan x-2tan^3x}{1-3tan^2x}$ )(tanx)

= $\frac{6tan^2 x-2tan^4x}{1-3tan^2x}$

Publicación traducida automáticamente

Artículo escrito por _shinchancode y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA

Identidades trigonométricas

Fórmulas de desfactorización

Fórmulas de factorización

Razones trigonométricas de múltiples ángulos (2A) en términos del ángulo A

Razones trigonométricas de múltiples ángulos (3A) en términos del ángulo A

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