Las ecuaciones de línea recta, también conocidas como ecuaciones «lineales», tienen expresiones variables simples sin exponentes y se representan gráficamente como líneas rectas. Una ecuación de línea recta es aquella que tiene solo dos variables: x e y, en lugar de variables como y 2 o √x. Debido a que contiene información sobre estas dos propiedades, un tipo de ecuación de línea recta se llama forma pendiente-intersección .
La ecuación de una línea recta se da como:
y = mx + c
donde m y c son constantes, tiene una gráfica que es una línea recta.
p.ej:
y = 3x / 2 + 5, y = 2x + 7, etc.
Forma pendiente-intersección de una línea recta
La forma pendiente-intersección de una línea recta es probablemente la forma más utilizada para expresar la ecuación de una línea. La forma pendiente-intersección, es decir, y = mx + c es la ecuación de una línea recta cuya pendiente es my que hace una intersección c en el eje y. Aquí m y c pueden ser dos números reales cualesquiera.
La pendiente (o gradiente) de la línea se define por el valor de m en la ecuación. Puede ser un valor positivo, negativo o cero.
- Las líneas de gradiente positivas se inclinan hacia arriba de izquierda a derecha.
- Las líneas de degradado negativas se inclinan hacia atrás de izquierda a derecha.
- Las líneas horizontales tienen un gradiente cero.
El valor de c se llama la intersección vertical de la línea. Es el valor de y cuando x = 0. Al dibujar una línea, c da la posición donde la línea corta el eje vertical.
por ejemplo: y = 3x + 2, aquí la pendiente de la línea es 3 (es decir, m = 3) y hace una intersección de 2 en el eje y (es decir, c = 2).
Para usar la ecuación pendiente-intersección, todo lo que se necesita hacer es encontrar primero la pendiente de una línea y, en segundo lugar, determinar la intersección con el eje y de una línea.
Ahora, aprendamos a escribir la ecuación pendiente-intersección de una recta, hay tres diferentes de ella que son:
1. Ecuación pendiente-intersección de un gráfico
Las ecuaciones en forma de intersección con la pendiente se forman combinando la pendiente y la intersección con el eje y de una línea para formar la siguiente ecuación: y = mx + c.
Para construir una ecuación pendiente-intersección, se necesitará usar un gráfico para ubicar tanto la pendiente (m) como la intersección y (b). Echemos un vistazo al proceso con la ayuda de ejemplos como:
Ejemplo 1: Encuentra la forma pendiente-intersección de la línea 3x – y + 2 = 0 del gráfico que se muestra a continuación:
Representación gráfica de la ecuación: 3x-y+2 = 0
Solución:
En la figura anterior, la pendiente de la línea es 3, lo que hace una intersección de 2 en el eje y.
Ahora, si no se da la ecuación de una línea, pero se da el gráfico, entonces marque las intersecciones x e y en el gráfico. Por lo tanto, en el gráfico anterior
la intersección x es -2/3 y la intersección y es 2.
X y -2/3 0 0 2 La pendiente de la línea definida como la relación entre el cambio de y y el cambio de x entre dos puntos cualesquiera de la línea, es decir,
Pendiente = Cambio en y / Cambio en x
= (0 – 2) / (-2/3 – 0)
= 3
Por lo tanto, la pendiente de la línea es 3 que tiene una intersección de 2 en el eje y. Entonces, m es 3 y c es 2 y la ecuación de la línea del gráfico es:
y = 3x + 2.
Ejemplo 2: Hallar la ecuación de la recta con pendiente igual a 2 cuya gráfica se muestra a continuación:
Solución:
De la gráfica dada,
La pendiente (m) de la línea es 2 y tiene una intersección con el eje y en (0,3).
Entonces, el valor de c = 3.
Poniendo los valores de m y c, en la ecuación de recta como:
y = mx +c
= (2) x + (3)
= 2x + 3
Por lo tanto, la ecuación de la recta es: y = 2x + 3.
2. Ecuación pendiente-intersección de la pendiente y un punto
Si se da la pendiente de la línea que pasa por un punto (x 1 , y 1 ), entonces la ecuación de la línea se puede dar como:
y – y 1 = m(x – x 1 )
Esta forma de la ecuación de una línea recta también se conoce como forma » punto-pendiente» .
Ejemplo 1: Hallar la ecuación de una recta que pasa por el punto (3,2) con pendiente igual a 3.
Solución:
La gráfica de la recta que pasa por el punto (3,2) con pendiente igual a 3 es:
Dado que,
Pendiente (m) = 3, y (x 1 , y 1 ) = (3, 2)
La forma punto-pendiente es:
y – y 1 = m(x – x 1 )
Ahora poniendo los valores en la ecuación:
y-2 = 3(x-3)
= 3x – 9
y = 3x – 9 + 2
= 3x – 7
Por lo tanto, la ecuación de la recta es: y = 3x – 7.
¿Cómo se puede escribir la forma punto-pendiente como forma pendiente-intersección?
Dado que la forma pendiente-intersección (es decir, y = mx + c) y la forma punto-pendiente son la misma ecuación pero en forma diferente.
El valor de c (llamado intersección y) es donde la línea cruza el eje y.
Así que el punto (x 1 , y 1 ) está realmente en (0, c) y la ecuación se convierte en:
y − y 1 = metro(x − x 1 )
(x 1 , y 1 ) es en realidad (0, c): y − c = m(x − 0)
y – c = mx
y = mx + c
Entonces, si se conoce un punto en la línea y la pendiente de la línea, entonces también se puede escribir la forma pendiente-intersección como forma punto-pendiente.
Ejemplo 2: Una línea que tiene pendiente 4 y que hace su intersección x en (5,0). Encuentra su ecuación.
Solución:
Dado que,
La pendiente (m) = 4, y (x 1 , y 1 ) = (5, 0)
La forma punto-pendiente es:
y – y 1 = m(x – x 1 )
Ahora poniendo los valores en la ecuación:
y-0 = 4(x-5)
= 4x – 5
y = 4x – 5
Por lo tanto, la ecuación de la recta es: y = 4x – 5.
3. Ecuación pendiente-intersección de dos puntos
Ejemplo 1: Consideremos una línea que pasa por los puntos (1, 3) y (3,7) como se muestra en el gráfico.
Determina la forma pendiente-intersección de la línea.
Solución:
De acuerdo con la forma de dos puntos de una línea recta, la pendiente de la línea se puede dar como:
m = (y 2 – y 1 ) / (x 2 – x 1 )
Sustituye los valores dados en la expresión anterior:
m = (7 – 3) / (3 – 1)
= 4/2
= 2
Ahora, sustituya el valor de m en la forma pendiente-intersección:
y = 2x + c
Ahora, la recta y = 2x + c pasa por los puntos (1,3) y (3,7).
Sustituye una de las coordenadas en la ecuación:
y = 2x + c
3 = 2(1) + c
3 – 2 = c
c = 1
Por lo tanto, la ecuación de la recta es y = 2x + 1.
Ejemplo 2: Escribe la ecuación de la recta que pasa por (4,7) y (6,13).
Solución:
Usa la fórmula para encontrar la pendiente entre los dos puntos.
Pendiente, (m) = (13 – 7) / (6 – 4)
= 6/2
= 3
Sustituye m por 3 en la ecuación y = mx + c.
⇒ y = 3x + c
Sustituye una de las coordenadas en la ecuación anterior:
7 = 3(4) + c
c = -12 + 7
= -5
Por lo tanto, la forma pendiente-intersección se da como: y = 3x – 5
4. Construir ecuaciones lineales a partir del contexto
Ahora, aprendamos cómo construir ecuaciones lineales a partir de los problemas verbales.
Ejemplo 1: El suministro de agua local tiene una fuga, pierde 4 galones de agua cada segundo. Después de 15 segundos, el nivel del agua es de 1024 galones. Escribe una ecuación que represente esta situación.
Solución:
El problema anterior se puede representar en forma de pendiente-intersección, es decir, y = mx + c, donde el eje y indica el nivel del agua y el eje x indica el tiempo en segundos.
Ahora, el nivel del agua está cambiando a 4 galones por segundo.
Y desde,
Pendiente = Cambio en y / Cambio en x
Por lo tanto,
Pendiente = 4 galones / 1 segundo
= 4
Pero aquí el suministro de agua tiene una fuga y está perdiendo 4 galones por segundo, lo que significa que la pendiente está disminuyendo, por lo que la pendiente de la línea será ‘-4’
Ahora, después de 15 segundos, se encontró que el nivel del agua era de 1024 galones.
Entonces, al poner estos valores en y = mx + c, obtenemos:
1024 galones = (-4 galones/seg) × (15 seg) + c
1024 = -60 + c
c = 1084 galones.
Ahora, poniendo los valores de m y c para obtener la ecuación generalizada de la recta:
y = (-4) x + 1084
y = -4x + 1084
Por lo tanto, el problema anterior se puede representar en una ecuación lineal como: y = -4x + 1084
Ejemplo 2: Ram estaba escalando una montaña. Comenzó su caminata a una altura de 800 metros y ascendió a un ritmo constante. Después de 5 horas, alcanzó una altura de 1300 metros.
Solución:
Sea y la elevación de Ram (en m) después de x horas. Construya una ecuación lineal para la relación entre la elevación y el número de horas.
Ram comenzó su caminata a 800 m, lo que significa que (0, 800) fue su punto de partida. Mirando de cerca este punto, la intersección y del gráfico entre la elevación (eje y) y un número de horas (eje x).
Entonces, el valor de c será 800. Ahora, está ascendiendo a una velocidad constante y llega a 1300 m después de 5 horas, es decir, está en (1200, 5).
Ahora, usando la fórmula de dos puntos para encontrar la pendiente de la línea:
m = y 2 – y 1 / x 2 – x 1
= (1300 – 800) / (5 – 0)
= 500 / 5
= 100
Sustituye m por 100 y c por 800 en la ecuación de la forma pendiente-intersección:
y = 100x + 800.
Conclusión
Para encontrar la forma pendiente-intersección de la línea, se necesita encontrar:
- La pendiente de la recta y
- El intercepto en y de la recta
- Ahora, si se da un gráfico de una línea cuya pendiente es ‘1’ y la intersección en y en (0,5), simplemente sustituya m = 1 y c = 5 en la forma pendiente-intersección.
⇒ y = x + 5
- Suponga que se requiere encontrar la ecuación de una línea que pasa por (3, 2) y tiene pendiente = 3, use la forma punto-pendiente [es decir, y – y 1 = m(x – x 1 )] para encontrar la ecuación de la línea. Sustituye los valores dados: y – 2 = 3 (x – 3)
⇒ y = 3x – 7
- Si una línea pasa por dos puntos, usa la forma de dos puntos para encontrar la ecuación de la línea.
ej: si una recta pasa por los puntos (1,3) y (2,5) la pendiente de la recta puede estar dada por:
⇒ metro = (5-3) / (2-1)
= 2
Poniendo el valor de m y uno de la coordenada en y = mx + c obtenemos:
y = mx + c
3 = (2)1 + c
c = 1
Entonces, la ecuación de la línea será y = 2x + 1.
Publicación traducida automáticamente
Artículo escrito por vanshajpahwa07 y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA