Foco y directriz de una parábola

En matemáticas, una parábola es el lugar geométrico de un punto que se mueve en un plano donde su distancia desde un punto fijo conocido como foco es siempre igual a la distancia desde una línea recta fija conocida como directriz en el mismo plano. O en otras palabras, una parábola es una curva plana que tiene casi forma de U donde cada punto es equidistante de un punto fijo conocido como foco y la línea recta conocida como directriz. La parábola tiene un solo foco y el foco nunca se encuentra en la directriz. Como se muestra en el siguiente diagrama, donde P ₁ M = P ₁ S, P ₂ M = P ₂ S, P ₃ M = P ₃ S y P ₄ M = P ₄ S.

Ecuación de la parábola a partir del foco y la directriz

Ahora aprenderemos a encontrar la ecuación de la parábola a partir del foco y la directriz. Entonces, sea S el foco y la línea ZZ’ la directriz. Dibuja SK perpendicular desde S en la directriz y biseca SK en V. Luego,

VS = VK

La distancia de V desde el foco = Distancia de V desde la directriz

V se encuentra en la parábola, Entonces, SK = 2a.

Entonces, VS = VK = a

Tomemos V como vértice, VK es una recta perpendicular a ZZ’ y paralela al eje x. Entonces, las coordenadas del foco S son (h, k) y la ecuación de la directriz ZZ’ es x = b. PM es perpendicular a la directriz x = b y el punto M será (b, y)

Consideremos un punto P(x, y) sobre la parábola. Ahora, únete a SP y PM.

Como sabemos que P se encuentra en la parábola

Entonces, SP = PM (definición de parábola)

SP ² = PM ²

(x – h) ² + (y – k) ² = (x – b) ² + (y – y) ²

x ² – 2hx + h ² + (yk) ² = x ² – 2bx + b ²

Suma (2hx – b ² ) en ambos lados, obtenemos

x ² – 2hx + h ² + 2hx – b ² + (yk) ² = x ² – 2bx + b ² + 2hx – b ²

2(h – b)x = (yk) ² + h ² – b ²

Divida la ecuación por 2(h – b), obtenemos

x = $\frac{(y-k)^2}{2(h-b)} + \frac{(h-b)(h+b)}{2(h-b)}$

x = $\mathbf{\frac{(y-k)^2}{2(h-b)} + \frac{(h+b)}{2}}$ ………………..(1)

De manera similar, cuando la directriz y = b, obtenemos

y = $\mathbf{\frac{(x-h)^2}{2(k-b)} + \frac{(k+b)}{2}}$ ………………..(2)

Cuando V es el origen, VS como eje x de longitud a. Entonces, las coordenadas de S serán (a, 0), y la directriz ZZ’ es x = -a.

h = a, k = 0 y b = -a

Usando la ecuación (1), obtenemos

x = $\frac{(y-0)^2}{2(a-(-a))} + \frac{(a+(-a))}{2}$

x = $\frac{y^2}{4a}$

y2 ⁼ 4ax

Es la ecuación estándar de la parábola.

Nota: La parábola tiene dos focos reales situados en su eje, uno de los cuales es el foco S y el otro se encuentra en el infinito. La directriz correspondiente también está en el infinito.

Trazado de la parábola y ² = 4ax, a>0

La ecuación dada se puede escribir como y = ± 2 $\sqrt{ax}$ , observamos los siguientes puntos de la ecuación:

Simetría : la ecuación dada establece que por cada valor positivo de x, hay dos valores iguales y opuestos de y.
Región : la ecuación dada establece que para cada valor negativo de x, el valor de y es imaginario, lo que significa que ninguna parte de la curva se encuentra a la izquierda del eje y.
Origen : El origen es el punto por donde pasa la curva y la tangente en el origen es x = 0, es decir, el eje y.
Porción ocupada : Como x⇢∞, y⇢∞. Por lo tanto, la curva se extiende hasta el infinito a la derecha del eje de y.

Algunas otras formas estándar de la parábola con foco y directriz.

La forma más simple de la ecuación de la parábola es cuando el vértice está en el origen y el eje de simetría está junto con el eje x o el eje y. Estos tipos de parábolas son:

1. ^y2 = 4ax

Aquí,

Coordenadas del vértice: (0, 0)
Coordenadas de foco: (a, 0)
Ecuación de la directriz: x = -a
Ecuación del eje: y = 0
Longitud del latus rectum: 4a
Distancia focal de un punto P(x, y): a + x

2. x ² = 4 días

Aquí,

Coordenadas del vértice: (0, 0)
Coordenadas de foco: (-a, 0)
Ecuación de la directriz: x = a
Ecuación del eje: y = 0
Longitud del latus rectum: 4a
Distancia focal de un punto P(x, y): a – x

3. y ² = – 4 día

Aquí,

Coordenadas del vértice: (0, 0)
Coordenadas de foco: (0, a)
Ecuación de la directriz: y = -a
Ecuación del eje: x = 0
Longitud del latus rectum: 4a
Distancia focal de un punto P(x, y): a + y

4. x ² = – 4 día

Aquí,

Coordenadas del vértice: (0, 0)
Coordenadas de foco: (0, -a)
Ecuación de la directriz: y = a
Ecuación del eje: x = 0
Longitud del latus rectum: 4a
Distancia focal de un punto P(x, y): a – y

Problemas de muestra

Pregunta 1. Encuentra la ecuación de la parábola cuyo foco es (-4, 2) y la directriz es x + y = 3.

Solución:

Sea P (x, y) cualquier punto de la parábola cuyo foco sea (-4, 2) y la directriz x + y – 3 = 0.

Como ya sabemos que la distancia de un punto P al foco = distancia de un punto P a la directriz

Entonces, √(x + 4) ² + (y – 2) ² = $|\frac{x+y-3}{\sqrt{1^2+1^2}}|$

Al elevar al cuadrado ambos lados obtenemos

(x + 4) ² + (y – 2) ² = $|\frac{x+y-3}{\sqrt{2}}|^2$

² ((x2 + 16 + 8x) + ( ^y2 + 4 – 4y)) = x2 + ^y2⁺ 9 +2xy – 6x – 6y

² (x2 + 20 + 8x + ^y2 – 4y) = x2 + ^y2⁺ 9 +2xy – 6x – 6y

2x ² + 40 + 16x + 2y ² – 8y = x ² + y ² + 9 +2xy – 6x – 6y

x2 + ^y2⁺ 2xy + 10x – 2y + 31 = 0

Pregunta 2. Encuentra la ecuación de la parábola cuyo foco es (-4, 0) y la directriz x + 6 = 0.

Solución:

Sea P (x, y) cualquier punto de la parábola cuyo foco sea (-4, 0) y la directriz x + 6 = 0.

Como ya sabemos que la distancia de un punto P al foco = distancia de un punto P a la directriz

Entonces, √(x + 4) ² + (y ) ² = $|\frac{x+6}{\sqrt{1^2+1^2}}|$

Al elevar al cuadrado ambos lados obtenemos

(x + 4) ² + (y) ² = $|\frac{x+6}{\sqrt{2}}|^2$

2x ² + 32 + 16x + 2y ² = x ² + 36 + 12x

x ² + 2y ² – 4 + 14x = 0

Pregunta 3. Encuentra la ecuación de la parábola con foco (4, 0) y directriz x = – 3.

Solución:

Dado que el foco (4, 0) se encuentra en el eje x, el propio eje x es el eje de la parábola.

Por lo tanto, la ecuación de la parábola es de la forma

y ² = 4ax o y ² = – 4ax.

Como la directriz es x = – 3 y el foco es (4, 0),

la parábola debe ser de la forma y ² = 4ax con a = 4.

Por lo tanto, la ecuación requerida es

y2 = 4(4) ^x

y2 ⁼ 16x

Pregunta 4. Encuentra la ecuación de la parábola con vértice en (0, 0) y foco en (0, 4).

Solución:

Dado que el vértice está en (0, 0) y el foco está en (0, 5), que se encuentra en el eje y, el eje y es el eje de la parábola.

Por lo tanto, la ecuación de la parábola es x ² = 4ay.

Por lo tanto, tenemos x ² = 4(4)y, es decir,

x2 = ^16y