Cosenos de dirección y razones de dirección

Por lo general, para la geometría tridimensional, nos basamos en el plano cartesiano tridimensional. Los vectores también se pueden usar para describir las líneas y los ángulos que forman con el eje. ¿Cómo deberíamos describir una línea que pasa por el origen y forma un ángulo con diferentes ejes? Los definimos usando razones de coseno de la recta. Al trabajar con geometría tridimensional (utilizada en tantas aplicaciones como el diseño de juegos), se requiere describir el significado de la línea presente en el espacio tridimensional.

Cosenos de dirección y razones de dirección de una línea

Supongamos una línea OA que pasa por el origen y forma ángulos α, β y γ con los ejes x, y y z respectivamente, llamados ángulos de dirección. Los cosenos de estos ángulos cos(α), cos(β) y cos(γ) se denominan cosenos direccionales de la línea dirigida OA. La siguiente figura muestra la línea OA que pasa por el origen y todos los ángulos que forma con los ejes de coordenadas.

Nota: La línea puede extenderse en ambas direcciones y puede haber dos conjuntos de ángulos que forman con los ejes de coordenadas. La recta forma α, β y γ y sus complementos $\pi - \alpha, \pi -\beta$ , y $\pi - \gamma$ con los ejes de coordenadas. Ahora se invertirán los signos de los cosenos direccionales. Entonces, para tener cosenos direccionales únicos, elegimos convertirlo en una línea dirigida.

Digamos que los cosenos direccionales de las rectas son l, m y n.

Relaciones de dirección

Los números que son proporcionales a los cosenos directores de la línea se llaman razones de dirección de la línea. Hemos asumido l, myn como los cosenos direccionales de las rectas. Digamos que a, b y c son las proporciones direccionales de la línea. Después,

l = k × un, metro = k × segundo y norte = k × c

$\frac{l}{a} = \frac{m}{b} = \frac{n}{c} = k$

Donde k es cualquier constante.

Ahora sabemos que,

l ² + metro ² + norte ² = 1

⇒k ² (a ² + b ² + c ² ) = 1

⇒ k = $\pm \frac{1}{a^2 + b^2 + c^2}$

Entonces, ahora los cosenos direccionales de una línea son,

l = $\pm \frac{a}{a^2 + b^2 + c^2}$ , m = $\pm \frac{b}{a^2 + b^2 + c^2}$ y n = $\pm \frac{c}{a^2 + b^2 + c^2}$

Relación entre cosenos direccionales

Supongamos que tenemos una línea BC que tiene cosenos direccionales l, m y n. Dibuja una línea a través del origen que sea paralela a esta línea y tomemos A(x, y, z) un punto en esta línea. Dibujamos una perpendicular desde A al eje x.

Sea OA = r.

$cos(\alpha) = \frac{OA}{OP} = \frac{x}{r}$

Entonces, x = lr y de manera similar, y = mr y z = nr.

x ² + y ² + z ² = r ² (l ² + metro ² + norte ² )

Sabemos que la distancia de (x, y,z) desde el origen es r.

x ² + y ² + z ² = r ²

De este modo,

l ² + metro ² + norte ² = 1

Cosenos directores de las rectas que pasan por dos puntos

Imagina que tenemos dos puntos A(x ₁ ,y ₁ ,z ₁ ) y B(x ₂ , y ₂ , z ₂ ) y una recta los atraviesa. Nuestro objetivo es determinar los cosenos direccionales de la línea que pasa por estos puntos. Sean l, m y n los cosenos direccionales de la línea AB y digamos que los ángulos que forman con los ejes x, y y z respectivamente son α, β y γ.

En la figura anterior, se trazan perpendiculares desde la línea AB al plano XY, y llegan al plano XY en CD. Se debe dibujar otra perpendicular de A a BD que se encuentre con BD y N. Entonces, ahora en el triángulo ANB, ∠ABN es γ.

$cos(\gamma) = \frac{BN}{AB} = \frac{z_2 - z_1}{AB}$

Del mismo modo,

$cos(\alpha) = \frac{x_2 - x_1}{AB}$ and $cos(\beta) = \frac{y_2 - y_1}{AB}$

Entonces, los cosenos direccionales de la línea que une a AB son,

$\frac{x_2 - x_1}{AB}, \frac{y_2 - y_1}{AB}, \frac{z_2 - z_1}{AB}$

Aquí, AB = $\sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}$

Veamos algunos ejemplos de problemas basados en estos conceptos,

Problemas de muestra

Pregunta 1: encuentre los cosenos direccionales de los ejes x, y y z.

Solución:

El eje x forma un ángulo de 90°, 90° y 0° con los ejes de coordenadas. Sabemos que los cosenos directores son básicamente cosenos del ángulo que forma la línea con diferentes ejes.

l = cos(0°) m = cos(90°) y n = cos(90°)

De este modo,

l = 1, metro = norte = 0

Del mismo modo, para el eje y,

l = 0, m = 1 y n = 0

y para el eje z

l = 0, m = 0 y n = 1.

Pregunta 2: Encuentra los cosenos direccionales para una línea que hace 30°, 60° y 90° con los ejes x, y y z respectivamente.

Solución:

Los cosenos direccionales para la recta dada son,

l = cos(30°) ; m = cos(60°) y n = cos(90°)

⇒ l = $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ; m = $\frac{1}{2}$ y n = 0

Pregunta 3: Digamos que tenemos una línea con relaciones de dirección 4, 2, -4. Calcula los cosenos directores de esta recta.

Solución:

Relaciones de dirección dadas: 4, 2 y -4.

La fórmula para los cosenos direccionales de las relaciones de dirección viene dada por,

l = $\frac{a}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}$ , m = $\frac{b}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}$ y n = $\frac{c}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}$

Aquí, a = 4, b = 2 y c = -4.

l = $\frac{4}{\sqrt{4^2 + 2^2 + (-4)^2}}$ , m = $\frac{2}{\sqrt{4^2 + 2^2 + (-4)^2}}$ y n = $\frac{-4}{\sqrt{4^2 + 2^2 + (-4)^2}}$

l = \frac{4}{\sqrt{36}}

metro = $\frac{2}{\sqrt{36}} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$

norte = $\frac{2}{\sqrt{4^2 + 2^2 + (-4)^2}} = \frac{2}{\sqrt{36}} = \frac{2}{6}$

Pregunta 4: Digamos que tenemos una recta con razones de dirección 0, 1, 0. Calcula los cosenos directores de la recta.

Solución:

Relaciones de dirección dadas: 0, 1 y 0.

La fórmula para los cosenos direccionales de las relaciones de dirección viene dada por,

l = $\frac{a}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}$ , m = $\frac{b}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}$ y n = $\frac{c}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}$

Aquí, a = 0, b = 1 y c = 0.

l = $\frac{0}{\sqrt{0^2 + 1^2 + 0^2}}$ , m = $\frac{1}{\sqrt{0^2 + 1^2 + (0)^2}}$ y n = $\frac{0}{\sqrt{0^2 + 1^2 + 0^2}}$

l = 0

metro = 1

norte = 0

Pregunta 5: Encuentra los cosenos directores de las rectas que pasan por (1, 1, 1) y (3, 3, 3).

Solución:

Digamos que estos puntos son A(1,1,1) y B(3,3,3). Sabemos que para dos puntos cualesquiera de la recta AB, los cosenos directores vienen dados por,

$\frac{x_2 - x_1}{AB}, \frac{y_2 - y_1}{AB}, \frac{z_2 - z_1}{AB}$

Aquí, AB = $\sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}$

Aquí, (x ₁ ,y ₁ ,z ₁ ) = (1,1,1) y (x ₂ ,y ₂ ,z ₂ ) = (3,3,3)

AB = $\sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}$

= $\sqrt{(3-1)^2 + (3 - 1)^2 + (3 -1)^2}$

= $\sqrt{4+ 4 + 4}$

= $\sqrt{12}$

= 2√3

$\frac{3-1}{AB}, \frac{3 - 1}{AB}, \frac{3 - 1}{AB}$

⇒ $\frac{3-1}{2\sqrt{3}}, \frac{3 - 1}{2\sqrt{3}}, \frac{3 - 1}{2\sqrt{3}}$

⇒ $\frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}}$