Curva de frecuencia acumulada

En estadística, el gráfico juega un papel importante. Con la ayuda de estos gráficos, podemos entender fácilmente los datos. Entonces, en este artículo, aprenderemos cómo representar gráficamente la distribución de frecuencia acumulada.

Frecuencia acumulada

La frecuencia es el número de veces que ocurre el evento en la situación dada y las frecuencias acumuladas son la suma de todas las frecuencias anteriores hasta la frecuencia actual. O en otras palabras, la frecuencia acumulada de una clase es la frecuencia calculada sumando las frecuencias de todas las clases que preceden a la clase dada. Por ejemplo:

Intervalo	Frecuencia
0-10	2
10-20	4
20-30	5

En la tabla anterior, tenemos intervalos y frecuencias, ahora vamos a encontrar la frecuencia acumulada sumando todas las frecuencias anteriores hasta la frecuencia actual.

Intervalo	Frecuencia	Frecuencia acumulada
0-10	2	2
10-20	4	6
20-30	5	11

Entonces, aquí la frecuencia acumulada del intervalo (0-10) es 2 porque esta es la primera frecuencia. De manera similar, la frecuencia acumulada del intervalo (10-20) es 6 porque es la suma de 2 (frecuencia anterior) + 4 (frecuencia actual), y la frecuencia acumulada del intervalo (20-30) es 11 porque es la suma de 2 + 4 (frecuencia anterior) + 5 (frecuencia actual). Este tipo de tabla se conoce como tabla de frecuencias acumuladas.

Curva de frecuencia acumulativa

Consideremos que se nos dé una distribución de frecuencias agrupada. Tome un papel cuadriculado y marque los límites de clase alta a lo largo del eje x y las frecuencias acumuladas correspondientes a lo largo del eje y. Uniendo estos puntos sucesivamente mediante curvas suaves, obtendremos una curva, esta curva se conoce como curva de frecuencia acumulada. O en otras palabras, la representación gráfica de la distribución de frecuencia acumulada se conoce como curva de frecuencia acumulada. También se conoce como ojiva y es la forma más eficiente de representar datos. La curva de frecuencia acumulada es de dos tipos:

(1) Menos que la curva de frecuencia acumulada

Como sabemos, las curvas de frecuencia acumulada se crean utilizando las frecuencias acumuladas, por lo que, en menos de la curva de frecuencia acumulada, las frecuencias de toda la clase o intervalo anterior se suman a la clase o intervalo de frecuencia actual. Puede crear más que una frecuencia acumulada agregando la frecuencia de primera clase a la frecuencia de segunda clase y así sucesivamente. Por ejemplo:

Intervalo	Frecuencia
5-10	2
10-15	4
15-20	5

En la tabla anterior, tenemos intervalos y frecuencias, ahora vamos a encontrar menos que la frecuencia acumulada sumando todas las frecuencias anteriores hasta la frecuencia actual.

Intervalo	Frecuencia	Frecuencia acumulada	Limite superior
5-10	2	2	10
10-15	4	2 + 4 = 6	15
15-20	5	2 + 4 + 5 = 11	20

Cómo dibujar menos que la curva de frecuencia acumulada:

En este caso, usamos el límite superior de las clases para dibujar la curva. Ahora, el proceso paso a paso de trazar una curva de frecuencia menos que acumulada:

1. Tome un papel cuadriculado y marque los límites de clase alta a lo largo del eje x y las frecuencias acumuladas correspondientes a lo largo del eje y.
2. Uniendo estos puntos sucesivamente por segmentos de recta, obtendremos un polígono, conocido como polígono de frecuencia acumulada.
3. Uniendo estos puntos sucesivamente mediante una curva suave, obtendremos una curva, conocida como gráfica de frecuencia acumulada.
4. Tome un punto A (0, N/2) en el eje y y dibuje AP || eje x, cortando la curva anterior en un punto P. Dibujar PM ⊥ al eje x, cortando el eje x en M.
5. Luego, la longitud mediana de OM.

(2) Curva de frecuencia superior a la acumulada

Como sabemos, las curvas de frecuencia acumulada se crean utilizando las frecuencias acumuladas, por lo que, en más de una curva de frecuencia acumulada, las frecuencias de la clase o intervalo subsiguientes se suman a la frecuencia de clase o intervalo actual. Puede crear más de una frecuencia acumulada restando la frecuencia de la segunda clase de la primera clase y así sucesivamente. Por ejemplo:

Intervalo	Frecuencia
5-10	20
10-15	4
15-20	5

En la tabla anterior, tenemos intervalos y frecuencias, ahora vamos a encontrar más que la frecuencia acumulada:

Intervalo	Frecuencia	Frecuencia acumulada	Límite inferior
5-10	20	20	5
10-15	4	20 – 4 = 16	10
15-20	5	16 – 5 = 11	15

Cómo dibujar más que una curva de frecuencia acumulada:

En este caso, usamos el límite inferior de las clases para dibujar la curva. Ahora, el proceso paso a paso de trazar una curva de frecuencia más que acumulada:

1. Tome un papel cuadriculado y marque los límites de clase inferiores a lo largo del eje x y las frecuencias acumuladas correspondientes a lo largo del eje y.
2. Uniendo estos puntos sucesivamente por segmentos de recta, obtendremos un polígono, conocido como polígono de frecuencia acumulada.
3. Uniendo estos puntos sucesivamente mediante una curva suave, obtendremos una curva, conocida como gráfica de frecuencia acumulada.
4. Suponemos que P es el punto de intersección de las curvas menor que y mayor que. Dibuja PM ⊥ en el eje y, cortando el eje x en M.
5. Entonces, mediana = longitud de OM.

Problema de muestra

Pregunta 1. A continuación se muestra la distribución por edades de los estudiantes del grupo. Ahora, dibuje la curva de frecuencia acumulada de menos de tipo y encuentre el valor de la mediana.

Edad en años)	Frecuencia
4-5	36
5-6	42
6-7	52
7-8	60
8-9	68
9-10	84
10-11	96
11-12	82
12-13	66
13-14	48
14-15	50
15-16	dieciséis

Solución:

Para la tabla dada, tenemos que preparar más de la serie como se muestra a continuación:

Edad en años)	cf
Menos de 5	36
menos de 6	78
menos de 7	130
menos de 8	190
menos de 9	258
Menos de 10	342
menos de 11	438
menos de 12	520
menos de 13	586
menos de 14	634
menos de 15	684
menos de 16	700

En un papel cuadriculado, toma la escala 

A lo largo del eje x: 5 div pequeños. = 1. 

A lo largo del eje y: 1 div pequeño. = 10. 

Y traza todos los puntos A(5, 36), B(6, 78), C(7, 130), D(8, 190), E(9, 258), F(10, 342), G( 11, 438),

H(12, 520), I(13, 586), J(14, 634), K(15, 684) y L(16, 700). 

Uniendo estos puntos sucesivamente a mano alzada, obtendremos la curva de frecuencia acumulada o una ojiva. 

Aquí, N = 700 ⇒ N/2 = 350

Tome un punto P(0, 350) en el eje y y dibuje PQ|| eje x, encontrándose con la curva en Q. Dibuje QM 1 eje x, intersecando el eje x en M. Entonces, OM = 10 unidades. 

Por lo tanto, mediana = 10.

Pregunta 2. Para la distribución de frecuencia dada, dibuje un gráfico de frecuencia acumulada de más de un tipo y encuentre el valor de la mediana.

Intervalo de clases	0-10	10-20	20-30	30-40	40-50	50-60	60-70
Frecuencia	5	15	20	23	17	11	9

Solución:

Para la tabla dada, tenemos que preparar más de la serie como se muestra a continuación:

más de 60	9
Mas de 50	20
más de 40	37
Mas de 30	60
Más de 20	80
Mas de 10	95
Más de 5	100

Escala: A lo largo del eje x, 10 div pequeños. = 5. 

A lo largo del eje y, 1 pequeña div. = 1. 

Traza todos los puntos A(5, 100), B(10, 95), C(20, 80), D(30, 60), E(40, 37), F(50, 20) y G(60, 9). 

Una AB, BC, CD, DE, EF y FG a mano alzada y obtendremos la curva requerida, como se muestra en la siguiente figura.

Aquí, N = 100

⇒ N/2 = 50

De P(0, 50) dibujar PQ || eje x, encontrándose con la curva en Q. Dibuje QM ⊥ OZ, encontrándose con el eje x en M. Claramente, OM = 35 unidades

 Por lo tanto, mediana = 35.

Pregunta 3. La siguiente tabla da el rendimiento de producción de arroz de 100 fincas de un pueblo:

Producción (kg/ha)	40-45	45-50	50-55	55-60	60-65	65-70
Número de fincas	4	6	dieciséis	20	30	24

Dibuje un gráfico de frecuencia acumulada de más de un tipo.

Solución:

Para la tabla dada, tenemos que preparar más de la serie como se muestra a continuación:

más de 65	24
más de 60	54
más de 55	74
Mas de 50	90
más de 45	96
más de 40	100

Escala: A lo largo del eje x, 1 pequeña div. = 1

A lo largo del eje y, 1 pequeño div. = 1

En un papel cuadriculado, trace todos los puntos A(40, 100), B(45, 96), C(50, 90), D(55, 74), E(60, 54) y F(65, 24) . 

Únete a AB, BC, CD, DE y EF con mano libre, y obtendremos un More Than Ogive.

Pregunta 4. Durante el chequeo médico de 35 estudiantes de una universidad se registraron sus pesos de la siguiente manera:

Peso (en kg)	38-40	40-42	42-44	44-46	46-48	48-50	50-52
Nº de Estudiantes	3	2	4	5	14	4	3

Dibuja una ojiva de tipo menor que y mayor que a partir de los datos dados. Por lo tanto, encuentre el peso medio de la gráfica.

Solución:

(i) Menos de Serie:

Para la tabla dada, tenemos que preparar la serie menor que como se muestra a continuación:

Peso (en kg)	Numero de estudiantes
menos de 40	3
menos de 42	5
menos de 44	9
menos de 46	14
menos de 48	28
Menos de 50	32
menos de 52	35

Escala: A lo largo del eje x, 5 div pequeños. = 1 kg. 

A lo largo del eje y, 10 div. pequeños = 5 kg. 

Trace todos los puntos A(40, 3), B(42, 5), C(44, 9), D(46, 14), E(48, 28), F(50, 32) y G(52, 35). 

Únase a AB, BC, CD, DE, EF y FG con una mano libre para obtener la curva ‘Less Than Series’.

(ii) Más de Serie:

Para la tabla dada, tenemos que preparar más de la serie como se muestra a continuación:

Peso (en kg)	Numero de estudiantes
más de 38	35
más de 40	32
más de 42	30
más de 44	26
más de 46	21
más de 48	7
Mas de 50	3

Ahora traza los puntos en el mismo gráfico: P(38,35), Q(40, 32), R(42, 30), S(44, 26), T(46, 21), U(48, 7) y V(50,3)

y únase a PQ, QR, RS, ST, TU y UV con manos libres para obtener ‘More Than Series’.

Las dos curvas se intersecan en el punto L. Dibuja LM ⊥ OX.

Por lo tanto, peso medio = OM = 46,5 kg.