Clase 10 Soluciones RD Sharma – Capítulo 8 Ecuaciones cuadráticas – Ejercicio 8.6 | Serie 1

Pregunta 1. Determinar la naturaleza de las raíces de las siguientes ecuaciones cuadráticas:

(yo) 2x² – 3x + 5 = 0

(ii) 2x² – 6x + 3 = 0

(iii) 3/5 x² – 2/3 x + 1 = 0

(iv) 3x² – 4√3x + 4 = 0

(v) 3x² – 2√6x + 2 = 0

Solución:

(yo) 2x² – 3x + 5 = 0

Aquí a=2, b=-3, c=5

D=b ² -4ac=(-3) ² -4*2*5

=-9-40=-31

D<0

Las raíces no son reales.

(ii) 2x² – 6x + 3 = 0

Aquí a=2, b=-6, c=3

D=b ² -4ac

=(-6) ² -4*2*3=36-24=12

D>0

Las raíces son reales y distintas.

(iii) 3/5 x² – 2/3 x + 1 = 0

Aquí a=3/5, b=-2/3, c=1

Discriminante (D)=b ² -4ac

D<0

Las raíces no son reales.

(iv) 3x² – 4√3x + 4 = 0

Aquí a=3, b=-4√3, c=4

D=b ² -4ac

=(-4√3)2-4*3*4=48-48=0

D=0

Las raíces son reales e iguales.

(v) 3x² – 2√6x + 2 = 0

Aquí a=3, b=– 2√6, c=2

Discriminante (D)=b ² -4ac

=(– 2√6)2-4*3*2=24-24=0

D=0

Las raíces son reales e iguales.

Pregunta 2. Encuentra los valores de k para los cuales las raíces son reales e iguales en cada una de las siguientes ecuaciones:

(i) kx² + 4x + 1 = 0

Solución:

Aquí a=k, b=4, c=1

Discriminante(D)=b2-4ac

=(4) ² -4*k*1

=16-4k

Las raíces son reales e iguales.

D=0

16-4k=0⇒4k=16

k=16/4=4

Por lo tanto k=4

(ii) kx² – 2√5 x + 4 = 0

Solución:

Aquí a=k, b=-2√5, c=4

Discriminante(D)=b ² -4ac

=( – 2√5 )-4*k*4=20-16k

Las raíces son reales e iguales.

D=0

20-16k=0⇒ 16k=20

k=20/16=5/4

Por lo tanto k=5/4

(iii) 3x² – 5x + 2k = 0

Solución:

Aquí a=3, b=-5, c=2k

Discriminante (D)=b ² -4ac

=(-5) ² -4*3*2k

=25-24k

Las raíces son reales e iguales.

D=0

25-24k=0⇒24k=25

k=25/24

(iv) 4x²+ kx + 9 = 0

Solución:

Aquí a=4, b=k, c=9

Discriminante (D)=b ² -4ac

=k ² -4*4*9=k2-144

Las raíces son reales e iguales.

k2 -144= 0⇒k2 ⁼ 144=(±12) ²

(v) 2kx² – 40x + 25 = 0

Solución:

Aquí a=2k, b=-40, c=25

Discriminante(D)=b ² -4ac

=(-40) ² -4*2k*25

=1600-200k

Las raíces son reales e iguales.

D=0

1600-200k=0⇒200k=1600

k=1600/200=8

Por lo tanto k=8

(vi) 9x² – 24x + k = 0

Solución:

Aquí a=9, b=-24, c=k

Discriminante(D)=b ² -4ac

=(-24) ² -4*9*k

=576-36k

Las raíces son reales e iguales.

D=0

576-36k=0

36k=576⇒k=576/36=16

k=16

(vii) 4x² – 3kx +1 = 0

Solución:

Aquí a=4, b=-3k, c=1

Discriminante (D)=b ² -4ac

=(-3k) ² -4*4*1

=9k2-16

Las raíces son reales e iguales.

D=0

9k ² -16=0⇒9k2=16

k2 ⁼ 16/9=

(viii) x² – 2 (5 + 2k) x + 3 (7 + 10k) = 0

Solución:

Aquí a=1, b=-2(5+2k) y c=3(7+10k)

Discriminante (D)=b ² -4ac

[-2(5+2k)] ² -4*1*3(7+10k)

=4(25+4k ² +20k)-12(7+10k)

=100+16k ² +80k-84-120k

16k ² -40k+16

Las raíces son reales e iguales.

D=0

16k ² -40k+16=0

2k ² -5k+2=0

2k ² -4k-k+2=0

2k(k-2)-1(k-2)=0

(k-2)(2k-1)=0

Ya sea k-2=0, luego k=2 o 2k-1=0, luego 2k=1⇒k=1/2

Por lo tanto, k=2, 1/2

(ix) (3k + 1) x² + 2(k + 1) x + k = 0

Solución:

Aquí a=3k+1, b=2(k+1), c=k

Discriminante(D)=b ² -4ac

=[2(k+1)] ² -4*(3k+1)*k

=4(k ² +2k+1)-4k(3k+1)

=4k ² +8k+4-12k2-4k

-8k ² +4k+4

Las raíces son reales e iguales.

D=0

-8k ² +4k+4=0

2k ² -k-1=0 (Dividiendo por -4)

2k ² -2k+k-1= {Por lo tanto -2=-2*1

-1=-2+1}

2k(k-1)+1(k-1)=0

(k-1)(2k+1)=0

Ya sea k-1=0, luego k=1 o 2k+1=0, luego 2k=-1⇒k=-1/2

k=1,-1/2

(x) kx² + kx + 1 = – 4x² – x

Solución:

kx² +4x ² +kx+x+1=0

(k+4)x ² +(k+1)x+1=0

Aquí a=k+4, b=k+1, c=1

Discriminante(D)=b ² -4ac

=(k+1) ² -4*(k+4)*1

=k ² +2k+1-4k-16

=k ² -2k-15

Las raíces son reales e iguales.

D=0

k2-2k – ¹⁵ =0

k ² -5k+3k-15=0 {Por lo tanto -15=-5*3

-2=-5+3}

k(k-5)+3(k-5)=0

(k-5)(k+3)=0

Ya sea k-5=0, entonces k=5

o k+3=0, entonces k=-3

Por lo tanto k=5,-3

(xi) (k + 1) x² + 2 (k + 3) x + (k + 8) = 0

Solución:

Aquí a=k+1, b=2(k+3), c=k+8

Discriminante(D)=b ² -4ac

=[2(k+3)] ² -4(k+1)(k+8)

=4(k ² +6k+9)-4)(k2+9k+8)

=4k ² +24k+36-4k ² -36k-32

=-12k+4

Las raíces son reales e iguales.

D=0

-12k+4=0

12k=4⇒k=4/12=1/3

Por lo tanto k=1/3

(xii) x² – 2kx + 7k – 12 = 0

Solución:

Aquí a=1, b=-2k, c=(7k-12)

Discriminante(D)=b ² -4ac

=(-2k) ² -4*1*(7k-12)

=4k ² -4(7k-12)

=4k ² -28k+48

Las raíces son reales e iguales.

D=0

4k ² -28k+48=0

k ² -7k+12=0 (Dividiendo por 4 )

k2-3k -4k+12=0 {12=-3*(-4 ⁾

-7=-3-4}

k(k-3)-4(k-3)=0

(k-3)(k-4)=0

O bien, k-3=0, entonces k=3

o k-4=0, entonces k=4

Por lo tanto, k=3,4

(xiii) (k + 1) x² – 2 (3k + 1) x + 8k + 1 = 0

Solución:

Aquí a=k+1, b=-2(3k+1), c=8k+1

Discriminante(D)=b ² -4ac

=[-2(3k+1) ² -4*(k+1)(8k+1)]

=4(9k ² +6k+1)-4(8k2+9k+1)

=36k ² +24k+4-32k ² -36-4

=4k ² -12k

Las raíces son reales e iguales.

D=0

4k ² -12k=0

k ² -3k=0 ————–(Dividiendo por 4)

k(k-3)=0

Ya sea k=0

o k-3=0, entonces k=3

k=3,0

(xiv) 5x² – 4x + 2 + k (4x² – 2x – 1) = 0

Solución:

5x ² -4x+2+4kx2-2kx-k=0

(5+4k)x ² -(4+2k)x+(2-k)=0

Aquí a=5+4k, b=-(4+2k), c=2-k

Discriminante (D)=b ² -4ac

=[-(4+2k)] ² -4*(5+4k)(2-k)

=16+4k ² +16k-4(10-5k+8k-4k ² )

=16+4k ² +16k-40+20k-32k+16k ²

=20k ² +4k-24

Las raíces son reales e iguales.

D=0

20k ² +4k-24=0

5k ² +k-6=0 —–(Dividiendo por 4)

5k ² +6k-5k-6=0

k(5k+6)-1(5k+6)=0

(5k+6)(k-1)=0

5k+6=0, luego 5k=-6⇒k=-6/5

o k-1=0, entonces k=1

k=1,

(xv) (4 – k) x² + (2k + 4) x (8k + 1) = 0

Solución:

Aquí a=4-k, b=2k+4, c=8k+1

Discriminante (D)=b ² -4ac

=(2k+4) ² -4*(4-k)(8k+1)

=4k ² +16k+16-4(32k+4-8k ² -k)

=4k ² +16k+16-128k-16+32k ² +4k

=36k ² -108k

Las raíces son reales e iguales.

36k ² -108k=0

k2-3k ⁼ 0⇒k(k-3)=0

Ya sea k=0

o k-3=0, entonces k=3

Por lo tanto k=0,3

(xvi) (2k + 1) x² + 2 (k + 3) x (k + 5) = 0

Solución:

Aquí a=2k+1, b=2(k+3), c=k+5

Discriminante (D)=b ² -4ac

=[2(k+3)] ² -4(2k+1)(k+5)

=4(k ² +6k+9)-4(2k ² +10k+k+5)

=4k ² +24k+36-8k ² -40k-4k-20

=-4k ² -20k+16

Las raíces son reales e iguales D=0

-4k ² -20k+16=0

k ² +5k-4=0 ———-(Dividiendo por -4)

Aquí a=1, b=5, c=-4

Discriminante (D)=b ² -4ac

=(5) ² -4*1*(-4)=25+16=41

(xvii) 4x² – 2 (k + 1) x + (k + 4) = 0

Solución:

Aquí a=4, b=-2(k+1), c=k+4

Discriminante (D)=b ² -4ac

=[-2(k+1)] ² -4*4*(k+4)

=4(k ² +2k+1)-16(k+4)

=4k ² +8k+4-16k-64

=4k ² -8k-12

Las raíces son reales e iguales.

D=0

4k ² -8k-60=0

k ² -2k-15=0 ————-(Dividiendo por 4)

k ² -5k+3k-15=0

k(k-5)+3(k-5)=0

(k-5)(k+3)=0

Ya sea k-5=0, entonces k=5

o k+3=0, entonces k=-3

k=5,-3

(xviii) 4x² (k + 1) x + (k + 1) = 0

Solución:

Aquí a=4, b=-2(k+1), c=k+1

Discriminante (D)=b ² -4ac

=[-2(k+1)] ² -4*4*(k+1)

=4(k ² +2k+1)-16(k+1)

=4k ² +8k+4-16k-16

=4k ² -8k-12

k ² -2k-3=0 ————(Dividiendo por 4)

k2-3k2 ⁺ k – ³ =0

k(k-3)+(k-3)=0

(k-3)(k+1)=0

O bien (k-3)=0, entonces k=3

o (k+1)=0, entonces k=-1

k=-1,3

Pregunta 3. A continuación, determine el conjunto de valores de k para los cuales la ecuación cuadrática dada tiene raíces reales:

(yo) 2x² + 3x + k = 0

Solución:

Aquí a=2, b=3, c=k

Discriminante (D)=b ² -4ac

=(3) ² -4*2*k

=9-8k

Las raíces son reales

D≥0

9-8k≥0⇒9≥8k⇒8k≤9

k≤9/8

(ii) 2x² + x + k = 0

Solución:

Aquí a=2, b=1, c=k

Discriminante (D)=b ² -4ac

=(1) ² -4*2*k

=1-8k

Las raíces son reales

D≥0

1-8k≥0⇒1≥8k

8k≤1

k≤1/8

(iii) 2x² – 5x – k = 0

Solución:

Discriminante (D)=b ² -4ac

=(-5) ² -4*2*(-k)

=25+8k

Las raíces son reales

D≥0

25+8k≥0

8k≥-25⇒≥-25/8

k≥-25/8

(iv) kx² + 6x + 1 = 0

Solución:

Discriminante (D)=b ² -4ac

=(6) ² -4*k*1

=36-4k

Las raíces son reales

D≥0⇒36-4k≥0

36≥4k⇒4k≤36

k≤36/4⇒k≤9

k≤9

(v) 3x² + 2x + k = 0

Solución:

Aquí a=3, b=2, c=k

Discriminante (D)=b ² -4ac

=(2)2-4*3*k=4-12k

Las raíces son reales

D≥0⇒4-12k≥0

4≥12k⇒12k≤0

4≥12k⇒12k≤4

k≤ ⇒k≤1/3

Pregunta 4. Encuentra los valores de k para los cuales las siguientes ecuaciones tienen raíces reales e iguales:

(i) x²- 2(k + 1) x + k² = 0

Solución:

Aquí a=1, b=2(k+1), c=k ²

Discriminante (D)=b ² -4ac

=[2(k+1)] ² -4*1*k ²

=4(k ² +2k+1)-4k ²

=4k ² +8k+4-k ²

=8k+4

Las raíces son reales e iguales.

D=0

8k+4=0⇒8k=-4

k=-4/8=-1/2, por lo tanto k=-1/2

(ii) k²x² – 2 (2k – 1) x + 4 = 0

Solución:

Aquí, a=k2, b=-2(2k-1), c=4

Discriminante (D)=b ² -4ac

=[-2(2k-1)] ² -4*k ² *4

=4(4k ² -4k+1)-16k ²

= 16k2 -16k ⁺ 4-16k2 ⁼ -16k+4

Las raíces son reales e iguales.

D=0

-16k+4=0⇒-16k=-4

k=4/16=1/4

k=1/4

(iii) (k + 1) x² – 2(k – 1) x + 1 = 0

Solución:

Aquí, a=k+1, b=-2(k-1) y c=1

Discriminante (D)=b ² -4ac

=[-2(k-1)] ² -4(k+1)*1

=4(k ² -2k+1)-4(k+1)

=4k ² -8k+4-4k-4=4k ² -12k

Las raíces son reales e iguales.

D=0

4k2-12k=0

k2-3k=0 ————-(Dividiendo por 4)

Ya sea k=0

o k-3=0, entonces k=3

k=0,3

(iv) x² + k(2x + k – 1) + 2 = 0

Solución:

Aquí, a=1, b=2k, c=(k ² -k+2)

Discriminante (D)=b ² -4ac

=(2k) ² -4*1*(k ² -k+2)

=4k ² -4k ² +4k-8

=4k-8

Las raíces son reales e iguales.

D=0

4k-8=0⇒k=2

Por lo tanto, k=2

Pregunta 5. Encuentra los valores de k para los cuales las siguientes ecuaciones tienen raíces reales

(yo) 2x² + kx + 3 = 0

Solución:

Aquí a = 2, b = k, c = 3

Las raíces son reales e iguales.

D=0

k2 -24 ⁼ 0⇒k2 ⁼ 24

k=±√24=±√4*6=±2√6

(ii) kx (x – 2) + 6 = 0

Solución:

kx ² -2kx+6=0

aquí, a=k, b=-2k, c=6

Discriminante (D)=b ² -4ac=(-2k) ² -4*k*6=4k ² -24k

Las raíces son reales e iguales.

D=0

4k ² -24k=0⇒4k(k-6)=0

k(k-6)=0

Ya sea k = 0 o

k-6=0, entonces k=6

k=0,6

(iii) x² – 4kx + k = 0

Solución:

Aquí, comparando con ax ² +kx+c=0

a=1, b=-4k, c=k

Discriminante (D)=b ² -4ac=(-4k)2-4*1*k=16k2-4k

Las raíces son reales e iguales.

D=0

16k ² -4k=0⇒4k(4k-1)=0

k(4k-1)=0

Ya sea k=0

o 4k-1=0⇒4k=1

k=1/4, por lo tanto k=0,1/4

(iv) kx(x – 2√5) + 10 = 0

Solución:

Aquí a=k, b=-2√5k, c=10

D=b ² -4ac

=(-2√5k) ² -4(k)(10)=20k ^​​2 -40k

Las raíces son iguales D=0

20k ² -40k=0

k-2=0 ———(Dividiendo por 20k)

k=2

(v) kx (x – 3) + 9 = 0

Solución:

Aquí, a=k, b=-3k, c=9

D=b ² -4ac

=(-3k) ² -4(k)9

=9k ² -36k

Para que las raíces sean reales

D=0

9k ² -36k=0

9k(k-4)=0

k-4=0⇒k=4

k=4

(vi) 4x² + kx + 3 = 0

Solución:

Aquí, a=4, b=k, c=3

D=b ² -4ac

=k2-4(4)(3)

=k2-48

Para que las raíces sean reales

D=0

k2-48=0

k2=48

k=±√48=±

k=±

Pregunta 6. Encuentra los valores de k para los cuales la ecuación cuadrática dada tiene raíces reales y distintas:

(i) kx² + 2x + 1 = 0

Solución:

Aquí, a=k, b=2, c=1

D=b ² -4ac

=(2) ² -4*k*1

=4-4k

Las raíces son reales y distintas.

D>0⇒4-4k>0

1-k>0⇒1>k

⇒k<1

Por lo tanto, k<1

(ii) kx² + 6x + 1 = 0

Solución:

Aquí, a=k, b=6, c=1

D=b ² -4ac

=(6)2-4*k*1

=36-4k

Las raíces son reales y distintas.

D>0⇒36-4k>0

9-k>0⇒9>k

⇒k<9

Por lo tanto, k<9

Pregunta 7. Para qué valor de k, (4 – k) x² + (2k + 4) x + (8k + 1) = 0, es un cuadrado perfecto.

Solución:

(4 – k) x² + (2k + 4) x + (8k + 1) = 0

Aquí, a = 4 – k, b = 2k + 4, c = 8k + 1

=(2k+4) ² -4*(4-k)(8k+1)

=4k ² +16k+16-4(32k+4-8k ² -k)

=4k ² +16k+16-4(-8k ² +31k+4)

=4k ² +16k+16+32k ² -124k-16

=36k ² -108k

Por lo tanto, la ecuación cuadrática dada es un cuadrado perfecto

Las raíces son reales e iguales.

D=0⇒36k ² -108k=0

Ya sea k=0

o k-3=0⇒k=3

k=0,3

Pregunta 8. Encuentra el valor mínimo positivo de k para el cual la ecuación x² + kx + 4 = 0 tiene raíces reales.

Solución:

x² + kx + 4 = 0

Aquí, a=1, b=k, c=4

Por lo tanto, Discriminante(D)=b ² -4ac

=(k) ² =4*1*4

= k ² -16

tiene raíces reales

D≥0⇒k ² -16≥0

⇒k2≥16⇒(k) ² ≥(±4) ²

k≥4 o k≤-4

Valor mínimo positivo de k=4

Pregunta 9. Encuentra el valor de k para el cual la ecuación cuadrática (3k + 1) x² + 2(k + 1) x + 1 = 0 tiene raíces iguales. Además, encuentra las raíces.

Solución:

(3k + 1) x² + 2(k + 1) x + 1 = 0

Aquí a=(3k+1), b=2(k+1),c=1

Ahora, b ² -4ac=[2(k+1)] ² -4*(3k+1)*1

=4(k ² +2k+1)-4(3k+1)

=4k ² +8k+4-12k-4

=4k ² -4k

Las raíces son reales e iguales.

b ² -4ac=0

4k ² -4k=0

k2- k = ⁰ k(k-1)=0

Ya sea k=0 o k-1=0, entonces k=1

k=0,1

(i) Cuando k=0, entonces

(3*0*1)x2 + ² (0+1)x+1=0

x2 + ^2x +1=0

(x+1) ² =0

x+1=0

x=-1

Cuando k=1, entonces

(3*1+1)x2 + ² (1+1)x+1=0

4×2 ⁺ 4×2 + ¹ =0

(2x+1) ² =0

2x+1=0

2x=-1⇒x=-1/2

x=1, -1/2

Pregunta 10. Encuentra los valores de p para los cuales la ecuación cuadrática (2p + 1) x² – (7p + 2) x + (7p – 3) = 0 tiene raíces iguales. Además, encuentre estas raíces.

Solución:

Aquí, a=2-+1, b=-(7p+2), c=(7p-3)

D=0 [Raíces iguales]

Como b ² -4ac=0

[-(7p+)] ² -4(2p+1)(7p-3)=0

(7p+2) ² -4(14p ² -6p+7p-3)=0

49p ² +28p+4-56p ² +24p-28p+12=0

-7p ² +24p+16=0

7p ² -24-16=0 ————-(Dividiendo ambos lados por -1)

7p(p-4)+4(p-4)=0

(p-4)(7p+4)=0

p-4=0 o 7p+4=0

p=4 o p=-4/7

Las raíces son x=-b/2a [Como raíces iguales (dado)]

Donde p=4,

raíces iguales es 5/3

Cuando p=-4/7

raíces iguales son 5/3 y 7