Clase 9 Soluciones RD Sharma – Capítulo 8 Introducción a Líneas y Ángulos – Ejercicio 8.2 | conjunto 2

Pregunta 11. En la figura, ACB es una línea tal que ∠DCA = 5x y ∠DCB = 4x. Encuentra el valor de x.

Solución:

Se da que ACB es una línea en la figura que se muestra a continuación.

Por lo tanto, ∠ACD y ∠BCD forman un par lineal.

Por lo tanto, su suma debe ser igual a 180°.

O podemos decir que 

∠ACD + ∠BCD = 180°

Además, ∠ACD = 4x y ∠BCD = 5x. 

Esto se simplifica aún más a:

4x + 5x = 180

9x = 180

x = 

x = 20°

Pregunta 12. En la figura dada, ∠POR = 3x y ∠QOR = 2x + 10, encuentre el valor de x para el cual POQ será una línea.

Solución:

Aquí tenemos POQ como una línea

Entonces, ∠POR y ∠QOR forman un par lineal.

Por lo tanto, su suma debe ser igual a 180°

O

∠POR + ∠QOR = 180°

Se da que ∠POR = (3x)° y ∠QOR = (2x + 10)°. Al sustituir estos valores anteriores obtenemos,

3x + (2x + 10) = 180°

3x + 2x + 10 = 180° 

5x + 10 = 180°

5x = 180 – 10

5x = 170

x = 

x = 34°

Pregunta 13. En la figura dada, a es mayor que b en un tercio de un ángulo recto. Encuentre los valores de a y b.

Solución:

Se da que en la figura dada a continuación; a es mayor que b en un tercio de un ángulo recto.

O podemos decir que la diferencia entre a y b es 

es decir

un-b = 

a – b = 30° ……..(yo)

También a y b forman un par lineal. Por lo tanto, su suma debe ser igual a 180°.

Podemos decir eso:

a + b = 180° ……….(ii)

Al sumar (i) y (ii), obtenemos:

2a = 180 + 30

2a = 210

un = 

a = 105°

Al poner a = 105 en (i)

105 – b = 30

-b = 30 – 105

-b = -75

b = 75°

Por lo tanto, a = 105° y b = 75°

Pregunta 14. ¿Qué valor de y haría de AOB una línea en la figura dada, si ∠AOC = 4y y ∠BOC = (6y + 30)

Solución:

Supongamos, AOB como una línea recta.

Esto hace que ∠AOC y ∠BOC formen un par lineal. Por lo tanto, su suma debe ser igual a 180°.

Podemos decir eso:

∠AOC+ ∠BOC = 180°

Además, ∠AOC = 4y y ∠BOC = 6y + 30. Esto se simplifica aún más a:

4 años + (6 años + 30) = 180

10 años + 30 = 180

10 años = 180 – 30

10 años = 150

y = 

y = 15°

Por lo tanto, el valor de y = 15° hace que AOB sea una línea.

Pregunta 15. Si la figura dada, ∠AOF y ∠FOG forman un par lineal.

∠EOB = ∠FOC = 90° y ∠DOC = ∠FOG = ∠AOB = 30°

(i) Encuentra la medida de ∠FOE, ∠COB y ∠DOE.

(ii) Nombre todos los ángulos rectos.

(iii) Nombre tres pares de ángulos complementarios adyacentes.

(iv) Nombre tres pares de ángulos suplementarios adyacentes.

(v) Nombre tres pares de ángulos adyacentes.

Solución:

La cifra dada es la siguiente:

(i) Se da que ∠AOB, ∠FOE, ∠EOB y ∠FOG forman un par lineal.

Por lo tanto, su suma debe ser igual a 180°

es decir

∠AOB + ∠FOE + ∠EOB + ∠FOG = 180°

Se da que:

∠NIEBLA = 30°

∠AOB = 30°

∠EOB = 90° en la ecuación anterior, obtenemos:

∠AOB + ∠FOE + ∠EOB + ∠FOG = 180°

30° + ∠FOE + 90° + 30° = 180°

∠FOE + 150° = 180°

∠FOE = 180° – 150° 

∠FOE = 30°

se da que 

∠FOC = 90°

De la figura anterior:

∠FOE + ∠DOE + ∠COD = 90°

30° + ∠DOE + 30° = 90°

∠DOE + 60° = 90°

∠DOE = 90° – 60°

∠DOE = 30°

Del mismo modo, tenemos:

∠EOB = 90°

De la figura anterior:

∠DOE + ∠DOC+ ∠COB = 90°

30° + 30° + ∠COB = 90°

∠COB + 60° = 90°

∠COB = 90° – 60°

∠COB = 30°

(ii) Tenemos:

∠NIEBLA = 30°

∠FOE = 30°

∠EOD = 30°

∠DQO = 30°

∠COB = 30°

∠AOB = 30°

De la figura anterior y las medidas de los ángulos calculados obtenemos dos ángulos rectos como ∠DOG y ∠AOD.

Dos ángulos rectos ya se dan como ∠FOC y ∠EOB

(iii) Tenemos que encontrar los tres pares de ángulos complementarios adyacentes.

Sabemos que ∠EOB es un ángulo recto.

Por lo tanto,

∠EOC y ∠COB son ángulos complementarios.

De manera similar, ∠AOD es un ángulo recto.

Por lo tanto,

∠AOC y ∠COD son ángulos complementarios.

(iv) Tenemos que encontrar los tres pares de ángulos suplementarios adyacentes.

Ya que, ∠AOG es una línea recta.

Por lo tanto, los siguientes son los tres pares lineales, que son complementarios:

∠AOB y ∠BOG

∠AOC y ∠COG

∠AOD y ∠DOG

(v) Tenemos que encontrar un par de ángulos adyacentes, que son los siguientes:

∠AOB y ∠BOC

∠COD y ∠DOE

∠EOF y ∠FOG

Pregunta 16. En la figura dada, OP, OQ, OR y OS son cuatro rayos. Pruebalo:

∠POQ + ∠QOR + ∠SOR + ∠POS = 360°.

Solución:

Dibujemos TOP como una línea recta.

Dado que TOP es una línea, ∠POQ, ∠QOR y ∠ROT forman un par lineal.

Además, ∠POS y ∠SOT forman un par lineal.

Así, tenemos:

∠POQ + ∠QOR + ∠ROT = 180° ……(i)

y

∠POS + ∠SOT = 180° …….(ii)

Al sumar (i) y (ii), obtenemos;

(∠POQ + ∠QOR + ∠ROT) + (∠POS + ∠SOT) = 180° + 180°

∠POQ + ∠QOR + (∠ROT + ∠SOT) + ∠POS = 360°

∠POQ + ∠QOR + ∠SOR + ∠POS = 360°

Por lo tanto probado.

Pregunta 17. En la figura dada, el rayo OS se encuentra en una línea POQ, el rayo OR y el rayo OT son bisectrices de ∠POS y ∠SOQ respectivamente. Si ∠POS = x, encuentra ∠ROT.

Solución:

En la figura que se presenta a continuación, tenemos

Ray OR como la bisectriz de ∠POS

Por lo tanto,

∠POR = ∠ROS

o,

∠POS = 2∠ROS ………..(i)

De manera similar, el rayo OT como la bisectriz de ∠SOQ

Por lo tanto,

∠TOQ = ∠TOS

o,

∠QOS = 2∠TOS ……….(ii)

Además, Ray OS se encuentra en una línea POQ. Por lo tanto, ∠POS y ∠QOS forman un par lineal.

De este modo,

∠POS + ∠QOS = 180°

De (i) y (ii)

2∠ROS + 2∠TOS = 180°

2(∠ROS + ∠TOS) = 180°

∠ROS + ∠TOS = 

∠ROT = 90°

Pregunta 18. En la figura dada, las rectas PQ y RS se cortan en el punto O. Si ∠POR: ∠ROQ = 5:7, encuentra todos los ángulos.

Solución:

Sean ∠POR y ∠ROQ 5x y 7x respectivamente.

Desde entonces, Ray OR se encuentra en la línea POQ. Por lo tanto, ∠POR y ∠ROQ forman un par lineal.

Por lo tanto, su suma debe ser igual a 180°.

O,

∠POR + ∠ROQ = 180°

5x + 7x = 180°

12x = 180°

x = 

x = 15° …….(i)

De este modo,

∠POR = 5x

= 5(15)

= 75

∠POR = 75°

De este modo,

∠ROQ = 7x

= 7(15)

=105

∠ROQ = 105°

Es evidente a partir de la figura que ∠QOS y ∠POR son ángulos verticalmente opuestos.

Y sabemos que los ángulos verticalmente opuestos son iguales.

Por lo tanto,

∠QOS = ∠POR

∠QOS = 75°

De manera similar, ∠POS y ∠ROQ son ángulos verticalmente opuestos.

Y sabemos que los ángulos verticalmente opuestos son iguales.

Por lo tanto,

∠POS = ∠ROQ

∠POS = 105°

Pregunta 19. En la figura dada, POQ es una línea. El rayo OR es perpendicular a la línea PQ. OS es otro rayo que se encuentra entre los rayos OP y OR. Pruebalo

∠ROS = 1212 (∠QOS − POS).

Solución:

La figura dada muestra:

Tenemos POQ como una línea. El rayo OR es perpendicular a la línea PQ. Por lo tanto,

∠ROQ = 90°

∠POR = 90°

De la figura anterior, obtenemos

∠ROS + ∠POS = 90° ………(i)

∠POS y ∠QOS forman un par lineal. 

Por lo tanto,

∠QOS + ∠POS = 180° ……(ii)

De la ecuación (i) y (ii) obtenemos:

∠QOS + ∠POS = 2 × 90 ∠QOS + ∠POS = 2 × 90

∠QOS + ∠POS = 2(∠ROS + ∠POS)

2∠ROS = ∠QOS – ∠POS

∠ROS =   (∠QOS – ∠POS)

Por lo tanto, probado.