Pregunta 1. En ΔABC, D, E y F son, respectivamente, los puntos medios de BC, CA y AB. Si las longitudes de los lados AB, BC y CA son 7 cm, 8 cm y 9 cm, respectivamente, encuentre el perímetro de ΔDEF.
Solución:
De la pregunta se da que
AB = 7 cm BC = 8 cm AC = 9 cm
Encuentre: el perímetro de ΔDEF
En ∆ABC,
D, E y F son los puntos medios de BC, CA y AB.
Entonces, por el teorema del punto medio
FE = 1/2 aC,
DF = 1/2 AC y DE = 1/2 AB
Ahora, encontramos el perímetro de ΔDEF
Entonces, Perímetro de ∆DEF = DE + EF + DF
= (1/2) AB + (1/2) BC+ (1/2) AC
= 1/2 (AB + BC+ AC)
= 1/2(7 + 8 + 9)
= 1/2 (24)
= 12 centímetros
Por lo tanto, el perímetro de ΔDEF es 12 cm
Pregunta 2. En un ΔABC, ∠A = 50°, ∠B = 60° y ∠C = 70°. Encuentra las medidas de los ángulos del triángulo formado al unir los puntos medios de los lados de este triángulo.
Solución:
De la pregunta se da que
∠A = 50°, ∠B = 60° y ∠C = 70°
En ΔABC,
D, E y F son puntos medios de AB, BC y AC
Entonces del teorema del punto medio
DE ∥ CA, DE = (1/2) CA
DE = (1/2) AC = CF
En cuadrilátero DECF
DE ∥ AC, DE = CF [Probado arriba]
Por lo tanto, DECF es un paralelogramo.
Entonces, ∠C = ∠D = 70° [Porque los lados opuestos de un paralelogramo son iguales]
Similarmente,
BEFD es un paralelogramo,
Entonces, ∠B = ∠F = 60°
ADEF es un paralelogramo,
Entonces, ∠A = ∠E = 50°
Por lo tanto, los ángulos de ΔDEF son
∠D = 70°, ∠E = 50°, ∠F = 60°
Pregunta 3. En un triángulo, P, Q y R son los puntos medios de los lados BC, CA y AB respectivamente. Si AC = 21 cm, BC = 29 cm y AB = 30 cm, encuentra el perímetro del cuadrilátero ARPQ.
Solución:
De la pregunta se da que
AC = 21 cm, BC = 29 cm y AB = 30 cm
En ΔABC,
R y P son puntos medios de AB y BC
Entonces del teorema del punto medio
RP ∥ CA, RP = (1/2) CA
En el cuadrilátero ARPQ,
RP ∥ AQ, RP = AQ [Porque los lados opuestos de un paralelogramo
son iguales y paralelos entre sí]
Por lo tanto, AQPR es un paralelogramo
Ahora,
AR = (1/2) AB = 1/2 x 30 = 15 cm
Entonces, AR = QP = 15 cm [Porque los lados opuestos de un paralelogramo son iguales]
Similarmente,
RP = (1/2) AC =1/2 x 21 = 10,5 cm
Entonces, RP = AQ = 10,5 cm [Porque los lados opuestos de un paralelogramo son iguales]
Ahora encontramos el perímetro del cuadrilátero ARPQ
Entonces, Perímetro de ARPQ = AR + QP + RP + AQ
= 15 + 15 + 10,5 + 10,5
= 51 centímetros
Por lo tanto, el perímetro de la ARPQ = 51cm
Pregunta 4. En un ΔABC, la mediana AD se produce en x tal que AD = DX. Demuestre que ABXC es un paralelogramo.
Solución:
De la pregunta se da que
DA = DX
BD = CC
Para demostrar: Demuestre que ABXC es un paralelogramo.
Prueba: Ahora,
En un cuadrilátero ABXC, tenemos
AD = DX [Dado]
BD = DC [Dado]
Entonces, las diagonales AX y BC se bisecan entre sí.
Por lo tanto, ABXC es un paralelogramo
Pregunta 5. En un ΔABC, E y F son los puntos medios de AC y AB respectivamente. La altura AP a BC interseca a FE en Q. Demuestre que AQ = QP.
Solución:
en ΔABC
E y F son puntos medios de AB y AC
Entonces del teorema del punto medio
EF ∥ FE, (1/2) BC = FE
Similarmente,
en ΔABP
F es el punto medio de AB
Entonces, del teorema del punto medio
Entonces, FQ ∥ BP [puesto que EF ∥ BP]
Q es el punto medio de AP
Por lo tanto AQ = QP
Pregunta 6. En un ΔABC, BM y CN son perpendiculares desde B y C respectivamente sobre cualquier recta que pase por A. Si L es el punto medio de BC, demuestre que ML = NL.
Solución:
En ΔBLM y ΔCLN
∠BML = ∠CNL = 90°
BL = CL [Porque L es el punto medio de BC]
∠MLB = ∠NLC [Porque el ángulo es verticalmente opuesto]
Entonces, ΔBLM ΔCLN
Por lo tanto, por partes correspondientes de triángulos congruentes
LM = LN
Pregunta 7. En la figura, el Triángulo ABC es un triángulo rectángulo en B. Dado que AB = 9 cm, AC = 15 cm y D, E son los puntos medios de los lados AB y AC respectivamente, calcula
(i) La longitud de BC
(ii) El área de ΔADE.
Solución:
De la pregunta se da que
AB = 9 cm, AC = 15 cm, ∠B = 90°
D, E son los puntos medios de AB y AC
En ΔABC,
Usando el teorema de Pitágoras
CA 2 = AB 2 + BC 2
= 152 = 92 + BC 2
= BC 2 = 225 – 81 = 144
BC = 12
Similarmente,
AD = DB = AB/2 = 9/2 = 4,5 cm [D es el punto medio de AB]
D y E son puntos medios de AB y AC
Entonces, del teorema del punto medio
DE ∥ BC ⇒ DE = BC/2
Ahora, encontramos el área de ΔADE
Entonces, Área = 1/2 x AD x DE
= 1/2 x 4,5 x 6
= 13,5
Por lo tanto, el área de ΔADE es 13,5 cm 2
Pregunta 8. En la figura, M, N y P son puntos medios de AB, AC y BC respectivamente. Si MN = 3 cm, NP = 3,5 cm y MP = 2,5 cm, calcule BC, AB y AC.
Solución:
De la pregunta se da que
MN = 3 cm, NP = 3,5 cm y MP = 2,5 cm.
Encuentra: el valor de BC, AB y AC
en ΔABC
M y N son puntos medios de AB y AC
Entonces, del teorema del punto medio
MN = (1/2) BC, MN ∥ BC
= 3 = (1/2) aC
= 3 x 2 = BC
= BC = 6 cm
Similarmente,
CA = 2 MP = 2 (2,5) = 5 cm
AB = 2 NP = 2 (3,5) = 7 cm
Por lo tanto, los valores de BC, AB y AC son 6 cm, 7 cm y 5 cm
Pregunta 9. ABC es un triángulo ya través de A, B, C se dibujan líneas paralelas a BC, CA y AB, respectivamente, que se cortan en P, Q y R. Demuestra que el perímetro de ΔPQR es el doble del perímetro de ΔABC.
Solución:
Para probar: El perímetro de ΔPQR es el doble del perímetro de ΔABC.
Prueba:
en ΔABC
Se da que el paso ΔABC por A, B, C se trazan líneas
paralela a BC, CA y AB e intersectando en P, Q y R.
Entonces, ABCQ y ARBC son paralelogramos.
BC = AQ y BC = AR [Porque los lados opuestos de un paralelogramo son iguales]
= AQ = AR
= A es el punto medio de QR
Ahora sabemos que,
B y C son los puntos medios de PR y PQ
Entonces, del teorema del punto medio
AB = (1/2) PQ, BC = (1/2) QR, CA = (1/2) PR
= PQ = 2AB, QR = 2BC y PR = 2CA
= PQ + QR + RP = 2 (AB + BC+ CA)
Perímetro de ΔPQR = 2 (perímetro de ΔABC)
Por lo tanto probado.
Pregunta 10. En la figura, BE⊥ AC, AD es cualquier línea de A a BC que corta a BE en H. P, Q y R son, respectivamente, los puntos medios de AH, AB y BC. Demostrar que ∠PQR = 90°
Solución:
De la pregunta se da que
BE ⊥ AC y P, Q y R son el punto medio de AH, AB y BC.
Para probar: ∠PQR = 90°
Prueba:
En ΔABC,
Q y R son puntos medios de AB y BC
Entonces, del teorema del punto medio
QR ∥ CA ….. (i)
En ΔABH,
Q y P son los puntos medios de AB y AH
Entonces, del teorema del punto medio
QP ∥ BH ….. (ii)
Pero, BE⊥AC
Entonces, de la ecuación (i) y (ii) tenemos,
QP⊥QR
∠PQR = 90°
Por lo tanto probado
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Artículo escrito por simardeep032002 y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA