Clase 12 Soluciones RD Sharma – Capítulo 22 Ecuaciones diferenciales – Ejercicio 22.10 | conjunto 2

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Resuelve las siguientes ecuaciones diferenciales:

Pregunta 24. (2x – 10y 3 )(dy/dx) + y = 0

Solución:

Tenemos,

(2x – 10y 3 )(dy/dx) + y = 0

(2x – 10y 3 )(dy/dx) = -y

(dx/dy) = -(2x – 10y 3 )/y

(dx/dy) + 2x/y = 10y 2  ………..(i)

La ecuación dada es una ecuación diferencial lineal de la forma

(dx/dy) + Px = Q

Donde, P = 2/año, Q = 10y 2 

Asi que,

SI = e ∫Pdy

= e ∫(2/y)dy

= e 2log|y|

= y 2

La solución de una ecuación diferencial es,

x(SI) = ∫Q(SI)dy + c

x(y 2 ) = ∫(10y 2 )(y 2 )dy + c

xy 2 = 10(y 5 /5) + c

x = 2y 3 + cy -2

Esta es la solución requerida.

Pregunta 25. (x + tany)dy = sin2ydx

Solución:

Tenemos,

(x + tany)dy = sen2ydx

(dx/dy) = (x + tany)/sen2y

(dx/dy) – cosec2y.x = tany/sen2y ………..(i)

La ecuación dada es una ecuación diferencial lineal de la forma

(dx/dy) + Px = Q

Donde, P = -cosec2y, Q = tany/sen2y

Entonces, SI = e ∫Pdy

= e ∫-cosec2ydy

= e^{-\frac{1}{2}log|tany|}

= e^{log|\sqrt{coty}|}

= √coti

La solución de una ecuación diferencial es,

x(SI) = ∫Q(SI)dy + c

x(√coty) = ∫(tany/sen2y).(√coty)dy + c

x\sqrt{coty}=∫\frac{\sqrt{tany}}{\frac{2tany}{1+tan^2y}}dy+c

x\frac{1}{\sqrt{tany}}=∫\frac{1+tan^2y}{2\sqrt{tany}}dy+c

x\frac{1}{\sqrt{tany}}=∫\frac{sec^2x}{2\sqrt{tany}}dy+c

Sea tany = z

Al diferenciar ambos lados tenemos,

segundo 2 ydx = dz

(x/√tany) = (1/2)∫dz/√z + c

(x/√tany) = (1/2)(2√z) + c

x = (√tany)(√tany) + c(√tany)

x = tany + c(√tany)

Esta es la solución requerida.

Pregunta 26. dx + xdy = e -y seg 2 ydy

Solución:

Tenemos,

dx + xdy = e -y segundo 2 ydy

(x – e -y segundo 2 y)dy = -dx

(dx/dy) = (e -y seg 2 y-x) ………..(i)

La ecuación anterior es una ecuación diferencial lineal de la forma

(dx/dy) + Px = Q

Donde, P = 1, Q = e -y seg 2 y

Entonces, SI = e ∫Pdy

= e ∫dy

= e y

La solución de una ecuación diferencial es,

x(SI) = ∫Q(SI)dy + c

x(e y ) = ∫e -y sce 2 ye y dy + c

x(e y ) = ∫seg 2 ydy + c

x(e y ) = tany + c

x = (tany + c)e -y

Esta es la solución requerida.

Pregunta 27. (dy/dx) = ytanx – 2senx

Solución:

Tenemos,

(dy/dx) = ytanx – 2senx

(dy/dx) – ytanx = -2senx   ………..(i)

La ecuación dada es una ecuación diferencial lineal de la forma

(dy/dx) + Py = Q

Donde, P = -tanx, Q = senx

Asi que,

SI = e ∫Pdx

= e ∫-tanxdx

= e -log|secx|

= 1/segx

= cosx

La solución de una ecuación diferencial es,

y(SI) = ∫Q(SI)dx + c

y(cosx) = -2∫senx.(cosx)dx + c

ycosx = -∫2senx.cosxdx + c

Sea, senx = z

Al diferenciar ambos lados tenemos,

cosxdx = dz

ycosx = -2∫zdz + c

ycosx = -2(z 2 /2) + c

ycosx = -sen 2 xdx + c

y = secx(-sen 2 xdx + c)

Esta es la solución requerida.

Pregunta 28. (dy/dx) + ycosx = senx.cosx

Solución:

Tenemos,

(dy/dx) + ycosx = senx.cosx  ………..(i)

La ecuación dada es una ecuación diferencial lineal de la forma

(dy/dx) + Py = Q

Donde, P = cosx, Q = senx.cosx

Asi que,

SI = e ∫Pdx

= e ∫cosxdx

= e senx

La solución de una ecuación diferencial es,

y(SI) = ∫Q(SI)dx + c

y(e senx ) = ∫(e senx )(senx.cosx)dx + c

Sea, senx = z

Diferenciando ambos lados obtenemos,

cosxdx = dz

y(e z ) = ∫ze z dz + c

y(e z ) = z∫e z dz – {(dz/dz)∫e z dz}dz

y(e z ) = ze z – ∫e z dz + c

y(e z ) = e z (z – 1) + c

y = (z – 1) + ce -z

y = (senx – 1) + ce -senx

Esta es la solución requerida.

Pregunta 29. (1 + x 2 )(dy/dx) – 2xy = (x 2 + 2)(x 2 + 1)

Solución:

Tenemos,

(1 + x 2 )(dy/dx) – 2xy = (x 2 + 2)(x 2 + 1)

(dy/dx) – 2xy/(1 + x 2 ) = (x 2 + 2)  ………..(i)

La ecuación dada es una ecuación diferencial lineal de la forma

(dy/dx) + Py = Q

Donde, P = -2x/(1 + x 2 ), Q = (x 2 + 1)

Asi que, 

SI = e ∫Pdx

= e^{-∫\frac{2x}{1+x^2}dx}

=e^{-log|x^2+1|}

= 1/(x2 +1 )

La solución de una ecuación diferencial es,

y(SI) = ∫Q(SI)dx + c

y.[1/(x 2 + 1)] = ∫[(x 2 + 2)/(x 2 + 1)]dx + c

y/(x 2 + 1) = ∫[1 + 1/(x 2 + 1)]dx + c

y/(x 2 + 1) = x + tan -1 x + c

y = (x 2 + 1)(x + tan -1 x + c)

Esta es la solución requerida.

Pregunta 30. senx(dy/dx) + ycosx = 2sen 2 xcosx

Solución:

Tenemos,

senx(dy/dx) + ycosx = 2sen 2 xcosx

(dy/dx) + ycotx = 2senx.cosx  ………..(i)

La ecuación dada es una ecuación diferencial lineal de la forma

(dy/dx) + Py = Q

Donde, P = cotx, Q = 2senx.cosx

Asi que,

SI = e ∫Pdx

= e ∫cotxdx

= e log|senx|

= senx

La solución de una ecuación diferencial es,

y(SI) = ∫Q(SI)dx + c

y(senx) = ∫(2senx.cosx)senxdx + c

Sea, senx = z

Al diferenciar ambos lados tenemos,

cosxdx = dz

yz = 2∫z 2 + c

yz = (2/3)z 3 + c

y.senx = (2/3)sen 3 x + c

Esta es la solución requerida.

Pregunta 31. (x 2 – 1)(dy/dx) + 2(x + 2)y = 2(x + 1)

Solución:

Tenemos,

(x 2 – 1)(dy/dx) + 2(x + 2)y = 2(x + 1)

(dy/dx) + 2(x + 2)y/(x 2 – 1) = 2(x + 1)/(x 2 – 1)

(dy/dx) + 2(x + 2)y/(x 2 – 1) = 2/(x – 1)   ………..(i)

La ecuación dada es una ecuación diferencial lineal de la forma

(dy/dx) + Py = Q

Donde, P = 2(x + 2)/(x 2 – 1), Q = 2/(x – 1)

Asi que,

SI = e ∫Pdx

= e^{∫\frac{2(x+2)}{x^2-1}dx}

=e^{∫\frac{2x}{x^2-1}dx+∫\frac{4}{x^2-1}dx}

=e^{log|x^2-1|+\frac{4}{2}log|\frac{x-1}{x+1}|}

=e^{log(|x^2-1||\frac{x-1}{x+1}|^2)}

=e^{log|\frac{(x-1)^3}{x+1}|}

= (x – 1) 3 /(x + 1)

La solución de una ecuación diferencial es,

y(SI) = ∫Q(SI)dx + c

y.[(x – 1) 3 /(x + 1)] = ∫[(x – 1) 3 /(x + 1)[{2/(x – 1)]dx + c

\frac{(x-1)^3}{(x+1)}y=2∫\frac{(x-1)^2}{(x+1)}+c

\frac{(x-1)^3}{(x+1)}y=2∫\frac{(x+1)^2-4x}{(x+1)}+c

\frac{(x-1)^3}{(x+1)}y=2∫[(x+1)-4\frac{x}{(x+1)}]+c

\frac{(x-1)^3}{(x+1)}y=∫[2x+2-8\frac{x}{x+1}]dx

y.[(x – 1) 3 /(x + 1)] = (x 2 – 6x + 8log|x + 1|) + c

y=\frac{x+1}{(x-1)^3}(x^2-6x+8log|x+1|+c)

Esta es la solución requerida.

Pregunta 32. (dy/dx) + (2y/x) = cosx

Solución:

Tenemos,

(dy/dx) + (2y/x) = cosx   ………..(i)

La ecuación dada es una ecuación diferencial lineal de la forma

(dy/dx) + Py = Q

Donde, P = 2/x, Q = cosx

Asi que,

SI = e ∫Pdx

= e ∫(2/x)dx

= e 2log|x|

= x2 

La solución de una ecuación diferencial es,

y(SI) = ∫Q(SI)dx + c

y(x2 ) = ∫(x2 ).( cosx )dx + c

x 2 (y) = x 2 ∫cosxdx – ∫{(d/dx)x 2 ∫cosxdx}dx + c

x 2 y = x 2 senx – 2∫xsenxdx + c

x 2 y = x 2 senx – 2x∫sinxdx + 2∫{(dx/dx)∫sinxdx}dx + c

x 2 y = x 2 senx + 2xcosx – 2∫cosxdx + c

x 2 y = x 2 senx + 2xcosx – 2senx + c

Esta es la solución requerida.

Pregunta 33. (dy/dx) – y = xe x

Solución:

Tenemos,

(dy/dx) – y = xe x  ………..(i)

La ecuación dada es una ecuación diferencial lineal de la forma

(dy/dx) + Py = Q

Donde, P = -1, Q = xe x

Asi que,

SI = e ∫Pdx

= e ∫-dx

= e- x

La solución de una ecuación diferencial es,

y(SI) = ∫Q(SI)dx + c

y(e -x ) = ∫(e -x )(xe x )dx + c

ye -x = ∫xdx + c

ye -x = (x 2 /2) + c

y = [(x 2 /2) + c].e x 

Esta es la solución requerida.

Pregunta 34. (dy/dx) + 2y = xe 4x

Solución:

Tenemos,

 (dy/dx) + 2y = xe 4x  ………..(i)

La ecuación dada es una ecuación diferencial lineal de la forma

(dy/dx) + Py = Q

Donde, P = 2, Q = xe 4x

Asi que,

SI = e ∫Pdx

= e 2∫dx

= mi 2x

La solución de una ecuación diferencial es,

y(SI) = ∫Q(SI)dx + c

y(e 2x ) = ∫(e 2x ).(xe 4x )dx + c

y(e 2x ) = ∫xe 6x dx + c

y(e 2x ) = x∫e 6x dx – ∫{(dx/dx)∫e 6x dx}dx + c

mi 2x y = (xe 6x ) /6 – ∫(e 6x /6)dx + c

e 2x y = (xe 6x )/6 – e 6x /36 + c

y = (xe 4x )/6 – e 4x /36 + ce -2x

Esta es la solución requerida.

Pregunta 35. (x + 2y 2 )(dy/dx) = y, dado que cuando x = 2, y = 1

Solución:

Tenemos,

(x + 2y 2 )(dy/dx) = y

(dx/dy) = (x + 2y 2 )/y

(dx/dy) – (x/y) = 2y       ………..(i)

La ecuación dada es una ecuación diferencial lineal de la forma

(dx/dy) + Px = Q

Donde, P = 1/año, Q = 2 años

Asi que,

SI = e ∫Pdy

= e ∫-dy/y

= e -log|y|

= 1/año

La solución de una ecuación diferencial es,

x(SI) = ∫Q(SI)dy + c

x(1/y) = ∫(1/y)(2y)dy + c

(x/y) = 2∫dy + c

(x/y) = 2y + c

x = 2y 2 + cy

Dado que cuando x = 2, y = 1

2 = 2 + c

c = 0

x = 2y 2

Esta es la solución requerida.

Pregunta 36(i). Encuentre familias de un parámetro de curvas solución de la siguiente ecuación diferencial (dy/dx) + 3y = e mx , m es un número real dado

Solución:

Tenemos,

(dy/dx) + 3y = e mx     ………..(i)

La ecuación dada es una ecuación diferencial lineal de la forma

(dy/dx) + Py = Q

Donde, P = 3, Q = e mx 

Asi que,

SI = e ∫Pdx

= e ∫3dx

= mi 3x

La solución de una ecuación diferencial es,

y(SI) = ∫Q(SI)dx + c

y(e 3x ) = ∫(e 3x ).(e mx )dx + c

y(e 3x ) = ∫e (3+m)x dx + c

y(e 3x ) = e (m+3)x /(m + 3) + c

y = e mx /(m + 3) + c

Esta es la solución requerida.

Pregunta 36(ii). Encuentre familias de un parámetro de curvas solución de la siguiente ecuación diferencial (dy/dx) – y = cos2x

Solución:

Tenemos,

(dy/dx) – y = cos2x     ………..(i)

La ecuación dada es una ecuación diferencial lineal de la forma

(dy/dx) + Py = Q

Donde, P = -1, Q = cos2x

Asi que,

SI = e ∫Pdx

= e -∫dx

= e- x

La solución de una ecuación diferencial es,

y(SI) = ∫Q(SI)dx + c

y(e -x ) = ∫(e -x ).(cos2x)dx + c

y(e -x ) = ∫e -x cos2xdx + c

Dejar, 

A = ∫e -x cos2xdx

= e -x ∫cos2xdx – {(d/dx)e -x ∫cos2xdx}dx

= (e -x /2)sen2x + ∫(e -x /2)sen2xdx

=e^{-x}sin2x+\frac{1}{2}e^{-x}∫sin2x-\frac{1}{2}∫[\frac{d}{dx}e^{-x}∫sin2xdx]

=\frac{1}{2}e^{-x}sin2x-\frac{1}{4}e^{-x}cos2x-\frac{1}{4}∫e^{-x}cos2xdx

A=e^{-x}sin2x-\frac{1}{4}e^{-x}cos2x-\frac{1}{4}A

(5/4)A = (e -x /2)(2sen2x – cos2x)

A=\frac{2}{5}e^{-x}(2sin2x-cos2x)

ye^{-x}=\frac{2}{5}e^{-x}(2sin2x-cos2x)+c

y=\frac{2}{5}(2sin2x-cos2x)+ce^x

Esta es la solución requerida.

Pregunta 36(iii). Encuentre familias de un parámetro de curvas solución de la siguiente ecuación diferencial x(dy/dx) – y = (x + 1)e -x

Solución:

Tenemos,

x(dy/dx) – y = (x + 1)e -x

(dy/dx) – y/x = [(x + 1)/x]e -x   ………..(i)

La ecuación dada es una ecuación diferencial lineal de la forma

(dy/dx) + Py = Q

Donde, P = -1/x, Q = [(x + 1)/x]e -x

Asi que,

SI = e ∫Pdx

= e -∫dx/x

= e -log|x|

= 1/x

La solución de una ecuación diferencial es,

y(SI) = ∫Q(SI)dx + c

y(1/x) = ∫[(x+1)/x]e -x (1/x)dx + c

y/x = ∫[1/x+1/x 2 ]e -x dx + c

Sea, (1/x)e -x = z

Al derivar ambos lados tenemos

-[1/x + 1/x2]e -x dx = dz

y/x = -∫dz + c

y/x = -z + c

y/x = -(e -x /x) + c

y = -e -x + cx

Esta es la solución requerida.

Pregunta 36(iv). Encuentre familias de un parámetro de curvas solución de la siguiente ecuación diferencial x(dy/dx) + y = x 4 

Solución:

Tenemos,

 x(dy/dx) + y = x 4 

(dy/dx) + y/x = x 3      ………..(i)

La ecuación dada es una ecuación diferencial lineal de la forma

(dy/dx) + Py = Q

Donde, P = 1/x, Q = x 3

Asi que,

SI = e ∫Pdx

= e ∫dx/x

= e log|x|

= x

La solución de una ecuación diferencial es,

y(SI) = ∫Q(SI)dx + c

y(x) = ∫(x)(x 3 )dx + c

xy = ∫x 4 + c

xy = (x 5 /5) + c

y = (x 4 /5) + c/x

Esta es la solución requerida.

Pregunta 36(v). Encuentre familias de un parámetro de curvas solución de la siguiente ecuación diferencial (xlogx)(dy/dx) + y = logx

Solución:

Tenemos,

(xlogx)(dy/dx) + y = logx

(dy/dx) + y/xlogx = 1/x   ………..(i)

La ecuación dada es una ecuación diferencial lineal de la forma

(dy/dx) + Py = Q

Donde, P = 1/xlogx, Q = 1/x

Asi que,

SI = e ∫Pdx

= e ∫dx/xlogx

Sea, logx = z

Al derivar ambos lados tenemos

dx/x = dz

= e ∫dz/z

= elog|z|

= z

=l ogx

La solución de una ecuación diferencial es,

y(SI) = ∫Q(SI)dx + c

y(logx) = ∫(1/x)(logx)dx + c

y(logx) = ∫zdz + c (Sean, logx=z y diferenciando ambos lados)

y(logx) = (z 2 /2) + c

y(logx) = (logx) 2 /2 + c

y = logx/2 + c/logx

Esta es la solución requerida.

Pregunta 36 (vi). Encuentre familias de un parámetro de curvas solución de la siguiente ecuación diferencial (dy/dx) – 2xy/(1 + x 2 ) = x 2 + 2

Solución:

Tenemos,

(dy/dx) – 2xy/(1 + x 2 ) = x 2 + 2   ………..(i)

La ecuación dada es una ecuación diferencial lineal de la forma

(dy/dx) + Py = Q

Donde, P = -2x/(1 + x 2 ), Q = x 2 + 2

Asi que,

SI = e ∫Pdx

= e -∫2xdx/(1+x2)

= e -log|1+x2|

= 1/(1+ x2 )

La solución de una ecuación diferencial es,

y(SI) = ∫Q(SI)dx + c

y[1/(1 + x 2 )] = ∫[1/(1 + x 2 )](x 2 + 2)dx + c

y/(1 + x 2 ) = ∫[(x 2 + 2)/(x 2 + 1)]dx + c

\frac{y}{x^2+1}=∫\frac{x^2+1+1}{x^2+1}dx+c

y/(1 + x 2 ) = ∫dx + ∫dx/(x 2 + 1) + c

y/(x 2 + 1) = x + tan -1 x + c

y = (x + tan -1 x + c)(x 2 + 1)

Esta es la solución requerida.

Pregunta 36 (vii). Encuentre familias de un parámetro de curvas solución de la siguiente ecuación diferencial (dy/dx) + ycosx = e senx cosx

Solución:

Tenemos,

(dy/dx) + ycosx = e senx cosx    ………..(i)

La ecuación dada es una ecuación diferencial lineal de la forma

(dy/dx) + Py = Q

Donde, P = cosx, Q = e senx cosx

Asi que,

SI = e ∫Pdx

= e∫cosxdx

= e senx

La solución de una ecuación diferencial es,

y(SI) = ∫Q(SI)dx + c

y[(e senx ) = ∫(e senx )(e senx cosx)dx + c

Sea, senx = z

AL diferenciar ambos lados tenemos,

cosxdx = dz

ye z = ∫e 2z dz + c

ye z = (e 2z /2) + c

y = ez/2 + ce – z

y = (e sen x /2) + ce – sen x

Esta es la solución requerida.

Pregunta 36 (viii). Encuentre familias de un parámetro de curvas solución de la siguiente ecuación diferencial (x + y)(dy/dx) = 1

Solución:

Tenemos,

(x + y)(dy/dx) = 1

(dy/dx) = 1/(x + y)

(dx/dy) = (x + y)

(dx/dy) – x = y    ………..(i)

La ecuación dada es una ecuación diferencial lineal de la forma

(dx/dy) + Px = Q

Donde, P = -1, Q = y

Asi que,

SI = e ∫Pdy

= e -∫dy

= e- y

La solución de una ecuación diferencial es,

x(SI) = ∫Q(SI)dy + c

x(e -y ) = ∫(e -y )(y)dy + c

xe -y = y∫e -y dy – ∫{(dy/dy)∫e -y dy}dy + c

xe -y = -ye -y + ∫e -y + c

xe -y = -ye -y – e -y + c

xe -y + ye -y + e -y = c

e -y (x + y + 1) = c

(x + y + 1) = ce y

Esta es la solución requerida.

Pregunta 36(ix). Encuentre familias de un parámetro de curvas solución de la siguiente ecuación diferencial cos 2 x(dy/dx) = (tanx – y)

Solución:

Tenemos,

cos 2 x(dy/dx) = (tanx – y)

(dy/dx) = (tanx – y)/cos 2 x

(dy/dx) = tanx.seg 2 x – yseg 2 x

(dy/dx) + ysec 2 x = tanx.sec 2 x    ………..(i)

La ecuación dada es una ecuación diferencial lineal de la forma

(dy/dx) + Py = Q

Donde, P = seg 2 x, Q = tanx.sec 2 x

Asi que,

SI = e∫Pdx

=e^{∫sec^2xdx}

= e tanx

La solución de una ecuación diferencial es,

y(SI) = ∫Q(SI)dx + c

y(e tanx ) = ∫(e tanx )(tanx.sec 2 x)dx + c

Sea, tanx = z

Al diferenciar ambos lados tenemos,

seg 2 xdx = dz

y(e z ) = ∫ze z dz + c

y(e z ) = z∫e z dz – ∫{(dz/dz)∫e z dz}dz

y(e z ) = ze z – ∫e z dz + c

y(e z ) = ze z – e z + c

y = (z – 1) + ce -z

y = (tanx – 1) + ce -tanx

Esta es la solución requerida.

Pregunta 36(x). Encuentre familias de un parámetro de curvas solución de la siguiente ecuación diferencial e -y sec 2 ydy = dx + xdy

Solución:

Tenemos,

dx + xdy = e -y segundo 2 ydy

(x – e -y segundo 2 y)dy = -dx

(dx/dy) = (e -y seg 2 y – x)

(dx/dy) + x = e -y seg 2 y        ………..(i)

La ecuación dada es una ecuación diferencial lineal de la forma

(dx/dy) + Px = Q

Donde, P = 1, Q = e -y seg 2 y

Entonces, SI = e ∫Pdy

= e ∫dy

= e y

La solución de una ecuación diferencial es,

x(SI) = ∫Q(SI)dy + c

x(e y ) = ∫e -y sce 2 ye y dy + c

x(e y ) = ∫seg 2 ydy + c

x(e y ) =tany + c

x = (tan y + c)e -y

Esta es la solución requerida.

Pregunta 36(xi). Encuentre familias de un parámetro de curvas solución de la siguiente ecuación diferencial (xlogx)(dy/dx) + y = 2logx

Solución:

Tenemos,

(xlogx)(dy/dx) + y = 2logx

(dy/dx) + y/xlogx = 2/x   ………..(i)

La ecuación dada es una ecuación diferencial lineal de la forma

(dy/dx) + Py = Q

Donde, P = 1/xlogx, Q = 2/x

Asi que, 

SI = e ∫Pdx

= e ∫dx/xlogx

Sea, logx = z

Al derivar ambos lados tenemos

dx/x = dz

= e ∫dz/z

= elog|z|

= z

= logaritmo x

La solución de una ecuación diferencial es,

y(SI) = ∫Q(SI)dx + c

y(logx) = ∫(2/x)(logx)dx + c

y(logx) = 2∫zdz + c (Sea, logx = z y diferenciando ambos lados)

y(logx) = 2(z 2 /2) + c

y(logx) = (logx) 2 + c

y = logx + c/logx

Esta es la solución requerida.

Pregunta 36(xii). Encuentre familias de un parámetro de curvas solución de la siguiente ecuación diferencial x(dy/dx) + 2y = x 2 logx

Solución:

Tenemos,

x(dy/dx) + 2y = x 2 logx

(dy/dx) + 2y/x = xlogx   ………..(i)

La ecuación dada es una ecuación diferencial lineal de la forma

(dy/dx) + Py = Q

Donde, P = 2/x, Q = xlogx

Asi que,

SI = e∫Pdx

= e 2∫dx/x

= e 2logx

= x2

La solución de una ecuación diferencial es,

y(SI) = ∫Q(SI)dx + c

y(x2 ) = ∫(x2 )( xlogx )dx + c

x 2 y = ∫x 3 logxdx + c

x 2 y = logx∫x 3 dx + ∫{(d/dx)logx∫x 3 dx}dx + c

x 2 y = (1/4)x 4 logx – (1/4)∫x 3 dx + c

x 2 y = (1/4)x 4 logx – (1/16)x 4 + c 

y = (x2 / 16 )(4logx – 1) + c/ x2

Esta es la solución requerida.

Pregunta 37. Resuelve lo siguiente usando el problema de valor inicial:-

(i). y’ + y = e x , y(0) = (1/2)

Solución:

Tenemos,

y’ + y = e x

dy/dx + y = e x   ………..(i)

La ecuación dada es una ecuación diferencial lineal de la forma

(dy/dx) + Py = Q

Donde, P = 1, Q = e x

Entonces, SI = e ∫Pdx

= e ∫dx

= e x

La solución de la ecuación diferencial es,

y(SI) = ∫Q(SI)dx + c

y(e x ) = ∫e x .e x dx + c

y(e x ) = (1/2)e 2x + c

En t = 0, y = (1/2)

(1/2)e 0 = (1/2)e 0 + c

c = 0

y(e x ) = (1/2)e 2x

y = (ex / 2)

Esta es la solución requerida.

(ii). x(dy/dx) – y = logx, y(1) = 0

Solución:

Tenemos,

x(dy/dx) – y = logx

(dy/dx) – y/x = logx/x   ………..(i)

La ecuación dada es una ecuación diferencial lineal de la forma

(dy/dx) + Py = Q

Donde, P = -1/x, Q = logx/x

Asi que,

SI = e ∫Pdx

= e -∫dx/x

= e -log|x|

= 1/x

La solución de una ecuación diferencial es,

y(SI) = ∫Q(SI)dx + c

y(1/x) = ∫(1/x)(logx/x)dx + c

(y/x) = ∫(logx/x 2 )dx + c

(y/x) = logx∫(dx/x 2 ) – ∫{(d/dx)logx∫(dx/x 2 )}dx + c

(y/x) = -(logx/x) + ∫(dx/x 2 ) + c

(y/x) = -(logx/x) – (1/x) + c

En x = 1, y = 0

0 = -0 – 1 + c

c = 1

(y/x) = -(logx/x) – (1/x) + 1

y = x – 1 – logaritmo x

Esta es la solución requerida.

(iii). (dy/dx) + 2y = e -2x senx, y(0) = 0

Solución:

Tenemos,

(dy/dx) + 2y = e -2x senx    ………..(i)

La ecuación dada es una ecuación diferencial lineal de la forma

(dy/dx) + Py = Q

Donde, P = 2, Q = e -2x senx

Asi que,

SI = e ∫Pdx

= e ∫2dx

= mi 2x

La solución de una ecuación diferencial es,

y(SI) = ∫Q(SI)dx + c

y(e 2x ) = ∫e -2x senx.(e 2x )dx + c

y(e 2x ) = ∫senxdx + c

y(e 2x ) = -cosx + c

En x = 0, y = 0

0 = -1 + c

c = 1

y(e 2x ) = 1 – cosx

Esta es la solución requerida.

(iv). x(dy/dx) – y = (x + 1)e -x , y(1) = 0 

Solución:

Tenemos,

x(dy/dx) – y = (x + 1)e -x

(dy/dx) – (y/x) = [(x + 1)/x]e -x  ………..(i)

La ecuación dada es una ecuación diferencial lineal de la forma

(dy/dx) + Py = Q

Donde, P = -(1/x), Q = [(x + 1)/x]e -x

Asi que,

SI = e ∫Pdx

= e -∫(dx/x)

= e -log(x)

= e log(1/x)

= 1/x

La solución de una ecuación diferencial es,

y(SI) = ∫Q(SI)dx + c

y(\frac{1}{x})=∫(\frac{x+1}{x})e^{-x}.(\frac{dx}{x})+c

(y/x) = ∫[(1/x) + (1/x 2 )]e -x + c

Ya que, -∫[f(x) + f'(x)]e -x dx = f(x)e -x + c

(y/x) = -e -x /x + c

En x = 1, y = 0

0 = -e -1 + c

c = e- 1

(y/x) = -e -x /x + e -1

y = xe -1 – e -x

Esta es la solución requerida.

(v). (1 + y 2 )dx + (x –  e^{-tan^{-1}y} )dx = 0, y(0) = 0

Solución:

Tenemos,

(1 + y 2 )(dx/dy) + x = e^{-tan^{-1}y}

(dy/dx) + [1/(y 2 + 1)]x =  e^{-tan^{-1}y} /(y 2 + 1)   ………..(i)

La ecuación dada es una ecuación diferencial lineal de la forma

(dy/dx) + Px = Q

Donde, P = 1/(y 2 + 1), Q =  e^{-tan^{-1}y} /(y 2 + 1)

Asi que,

SI = e ∫Pdy

=e^{∫\frac{1}{y^2+1}dy}

= e tan-1y

La solución de una ecuación diferencial es,

x(SI) = ∫Q(SI)dy + c

x( e^{-tan^{-1}y} ) = ∫[ e^{-tan^{-1}y} /(y 2 + 1)] e^{-tan^{-1}y} dx + c

x( e^{-tan^{-1}y} ) = ∫dy/(1 + y 2 ) + c

x(e tan-1y ) = tan -1 y + c

En x = 0, y = 0

0*e 0 = 0 + c

c = 0

x( e^{-tan^{-1}y} ) = bronceado -1 y

Esta es la solución requerida.

(vi). (dy/dx) + ytanx = x 2 tanx + 2x, y(0) = 1

Solución:

Tenemos,

(dy/dx) + ytanx = x 2 tanx + 2x   ………..(i)

La ecuación dada es una ecuación diferencial lineal de la forma

(dy/dx) + Py = Q

Donde, P = tanx, Q = x 2 tanx+2x

Asi que,

SI = e ∫Pdx

= e ∫tanxdx

= e log|secx|

= secx

La solución de una ecuación diferencial es,

y(SI) = ∫Q(SI)dx + c

y(segx) = ∫(x 2 tanx + 2x)segxdx + c

y(secx) = ∫(x 2 tanxsecx + 2xsecx)dx + c

y(segx) = ∫x 2 tanxsecxdx + 2∫xsecxdx + c

y(secx) = ∫x 2 tanxsecxdx + 2secx∫xdx – 2∫{(d/dx)secx∫xdx}dx + c

y(secx) = ∫x 2 tanxsecxdx + x 2 .secx – ∫x 2 tanxsecxdx + c

y(segx) = x 2 ,(segx)+c

En, x = 0, y = 1

1 = 0 + c

c = 1

y = x 2 + cos x

Esta es la solución requerida.

(vii). x(dy/dx) + y = xcosx + senx, y(π/2) = 1

Solución:

Tenemos,

x(dy/dx) + y = xcosx + senx

(dy/dx) + (y/x) = cosx + senx/x  ………..(i)

La ecuación dada es una ecuación diferencial lineal de la forma

(dy/dx) + Py = Q

Donde, P = 1/x, Q = cosx + senx/x

Asi que,

SI = e ∫Pdx

= e ∫dx/x

= e log|x|

= x

La solución de una ecuación diferencial es,

y(SI) = ∫Q(SI)dx + c

y(x) = ∫(cosx + senx/x)(x)xdx + c

y(x) = ∫xcosxdx + ∫senxdx + c

xy = x∫cosxdx – ∫{(dx/dx)∫cosxdx}dx – cosx + c

xy = xsenx – ∫senxdx – cosx + c

xy = xsenx + cosx – cosx + c

xy = xsenx + c

En x = π/2, y = 1

π/2 = π/2sen(π/2) + c

c = 0

y = senx

Esta es la solución requerida.

(viii). (dy/dx) + ycotx = 4xcosecx, y(π/2) = 0

Solución:

Tenemos,

(dy/dx) + ycotx = 4xcosecx   ………..(i)

La ecuación dada es una ecuación diferencial lineal de la forma

(dy/dx) + Py = Q

Donde, P = cotx, Q = 4xcosecx

Asi que,

SI = e ∫Pdx

= e ∫cotx.dx

= e log|senx|

= senx

La solución de una ecuación diferencial es,

y(SI) = ∫Q(SI)dx + c

y(senx) = 4∫(xcosecx)(senx)xdx + c

y(senx) = 4∫xdx + c

y(senx) = 4(x 2 /2) + c

y(senx) = 2x 2 + c

En x = π/2, y = 0,

0 = 2(π/2) 2 + c

c = -π 2 /2

y(senx) = 2x 2 – π 2 /2

Esta es la solución requerida.

(ix). (dy/dx) + 2ytanx = senx, y = 0 cuando x = π/3

Solución:

Tenemos,

(dy/dx) + 2ytanx = senx   ………..(i)

La ecuación dada es una ecuación diferencial lineal de la forma

(dy/dx) + Py = Q

Donde, P = 2tanx, Q = senx

Entonces, SI = e ∫Pdx

= e ∫2tanxdx

= e 2log|secx|

= segundo 2 x

La solución de una ecuación diferencial es,

y(SI) = ∫Q(SI)dx + c

y.seg 2 x = ∫senx.seg 2 xdx + c

y.seg 2 x = ∫tanx.segxdx + c

y.seg 2 x = secx+c

En x = π/3, y = 0,

0 = segundo 2 (π/3) + c

c = -2

y.seg 2 x = secx – 2

y = cosx – 2cos 2 x

Esta es la solución requerida.

(X). (dy/dx) – 3ycotx = sen2x, y = 2 cuando x = π/2

Solución:

Tenemos,

(dy/dx) – 3ycotx = sen2x        ………..(i)

La ecuación dada es una ecuación diferencial lineal de la forma

(dy/dx) + Py = Q

Donde, P = -3cotx, Q = sen2x

Entonces, SI = e ∫Pdx

= e ∫-3cotxdx

= e -3log|senx|

= cosec 3 x

La solución de una ecuación diferencial es,

y(SI) = ∫Q(SI)dx + c

y.(cosec 3 x) = 2∫(cosec 3 x).(sen2x)dx + c

y.(cosec 3 x) = 2∫cotx.cosecxdx + c

y.(coseg 3 x) = -2cosesx +c

y = -2sen 2 x + c.sen 3 x

En x = π/2, y = 2.

2 = -2sen 2 (π/2) + c.sen 3 (π/2)

c = 4

y = c.sen 3 x – 2sen 2 x

Esta es la solución requerida.

(xi). (dy/dx) + ycotx = 2cosx, y(π/2) = 0 

Solución:

Tenemos,

(dy/dx) + ycotx = 2cosx        ………..(i)

La ecuación dada es una ecuación diferencial lineal de la forma

(dy/dx) + Py = Q

Donde, P = cotx, Q = 2cosx 

Entonces, SI = e ∫Pdx

= e ∫cotxdx

= e log|senx|

= senx

La solución de una ecuación diferencial es,

y(SI) = ∫Q(SI)dx + c

y.(senx) = ∫(senx).(2cosx)dx + c

y.(senx) = 2∫senx.cosxdx + c

y.(senx) = ∫sen2xdx + c

y.(senx) = -(cos2x/2) + c

En x = π/2, y = 0

0 = -cos(π)/2 + c

do = -(1/2)

y.(senx) = -(cos2x/2) – (1/2)

2y(senx) = -(1 + cos2x)

2y(senx) = -2cos 2 x

y = -cotx.cosx

Esta es la solución requerida.

(xii). dy = cosx(2 – ycosecx)dx,

Solución:

Tenemos,

dy = cosx(2 – ycosecx)dx

(dy/dx) = -ycotx + 2cosx

(dy/dx) + ycotx = 2cosx    ………..(i)

La ecuación dada es una ecuación diferencial lineal de la forma

(dy/dx) + Py = Q

Donde, P = cotx, Q = 2cosx

Asi que,

SI = e ∫Pdx

= e ∫cotxdx

= e log|senx|

= senx

La solución de una ecuación diferencial es,

y(SI) = ∫Q(SI)dx + c

y(senx) = 2∫cosx.(senx)dx + c

ysenx = ∫2cosx.senxdx + c

ysenx = ∫sen2x + c

ysenx = -(cos2x/2) + c

Esta es la solución requerida.

Pregunta 38. x(dy/dx) + 2y = x 2

Solución:

Tenemos,

x(dy/dx) + 2y = x 2

(dy/dx) + 2y/x = x    ………..(i)

La ecuación dada es una ecuación diferencial lineal de la forma

(dy/dx) + Py = Q

Donde, P = 2/x, Q = x

Entonces, SI = e ∫Pdx

= e 2∫dx/x

= e 2logx

= x2

La solución de una ecuación diferencial es,

y(SI) = ∫Q(SI)dx + c

yx 2 = ∫x2.xdx + c

yx 2 = ∫x 3 dx + c

x 2 y = (x 4 /4) + c

y = (x1/4) + cx -2

Esta es la solución requerida.

Pregunta 39. (dy/dx) – y = cosx

Solución:

Tenemos,

(dy/dx) – y = cosx   ………..(i)

La ecuación dada es una ecuación diferencial lineal de la forma

(dy/dx) + Py = Q

Donde, P = -1, Q = cosx

Entonces, SI = e ∫Pdx

= e -∫dx

= e- x

La solución de una ecuación diferencial es,

y(SI) = ∫Q(SI)dx + c

y(e -x ) = ∫cosx.e -x dx + c

Sea, I = ∫cosx.e -x dx

yo = e -x ∫cosxdx – ∫{(d/dx)e -x ∫cosxdx}dx

I = e -x senx + ∫e -x senxdx

yo = e -x senx + e -x ∫sinxdx-∫{(d/dx)e -x ∫sinxdx}dx

I = e -x senx – e -x cosx-∫e -x cosxdx

2I = e -x (senx – cosx)

I = (e -x /2)(senx – cosx)

y(e -x ) = (e -x /2)(senx – cosx) + c

y = (1/2)(senx-cosx) + ce x

Esta es la solución requerida.

Pregunta 40. (y + 3x 2 )(dx/dy) = x

Solución:

Tenemos,

(y + 3x 2 )(dx/dy) = x

(dy/dx) = (y + 3x 2 )/x

(dy/dx) – y/x = 3x    ………..(i)

La ecuación dada es una ecuación diferencial lineal de la forma

(dy/dx) + Py = Q

Donde, P = -1/x, Q = 3x

Entonces, SI = e ∫Pdx

= e -∫dx/x

= e -logx

= 1/x

La solución de una ecuación diferencial es,

y(SI) = ∫Q(SI)dx + c

y(1/x) = 3∫x.(1/x)dx + c

y(1/x) = 3∫dx + c

y/x = 3x + c

Esta es la solución requerida.

Pregunta 41. Hallar una solución particular de la ecuación diferencial (dx/dy) + xcoty = y 2 coty + 2y, dado que x = 0, cuando y = π/2

Solución:

Tenemos,

(dx/dy) + xcoty = y 2 coty + 2y     ………..(i)

La ecuación dada es una ecuación diferencial lineal de la forma

(dx/dy) + Px = Q

Donde, P = coty, Q = y 2 coty + 2y

Asi que,

SI = e ∫Pdy

= e ∫cotydy

= e log|seny|

= seno

La solución de una ecuación diferencial es,

x(SI) = ∫Q(SI)dy + c

x(seno) = ∫(y 2 coty + 2y)senody + c

x(seny) = ∫(y 2 acogedor + 2xseny)dy + c

x(seno) = y 2 ∫cosydx – {(d/dy)y 2 ∫cosydy}dy + ∫2ysinydy + c

x(seny) = y 2 seny – ∫2ysinydy + ∫2ysinydy + c

x(seno) = y 2 seno + c

En x = 0, y = π/2

0 = (π/2) 2 sen(π/2) + c

c = -π 2 /4

x(seno) = y 2 seno – π 2 /4

Esta es la solución requerida.

Publicación traducida automáticamente

Artículo escrito por vivekray59 y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA

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