Área como integral definida

Las integrales son una parte integral del cálculo. Representan la suma, para las funciones que no son tan sencillas como las funciones estándar, las integrales nos ayudan a calcular la suma y sus áreas y nos dan la flexibilidad para trabajar con cualquier tipo de función con la que queramos trabajar. Las áreas para las funciones estándar ya se conocen, no es fácil mantener y recordar fórmulas para el área de cada tipo de función. Las integrales brindan la posibilidad de generalizar esto y brindan un enfoque para calcular estas cosas para cualquier función general. Las integrales definidas se utilizan para calcular las áreas bajo las curvas. Estudiemos este concepto en detalle.

Integrales definidas

Las integrales definidas se definen como una suma con límites. Estas son integrales con límites definidos como sus límites entre los cuales calculan la suma para la función dada. Estos límites se denominan valores inicial y final definidos como [a, b] donde a se denomina límite inferior y b se denomina límite superior de la suma. La integral definida se calcula calculando la integral indefinida en a y luego b y luego restando ambas.

Dada una función f(x) que es continua entre [a, b], este intervalo se divide en n subintervalos de ancho $\Delta x$ y de cada intervalo se elige un punto x ^*_i . Entonces el valor de la integral definida de la función f(x) de a a b es,

$\int^{b}_{a}f(x)dx = \lim_{n \to \infty} \sum^{n}_{i = 1}f(x^{*}_{i})\Delta x$

a y b se denominan colectivamente intervalo de integración. Esto se calcula usando la siguiente expresión,

Digamos F(x) = $\int f(x)dx$

$\int^{b}_{a}f(x)dx = F(b) - F(a)$

El siguiente gráfico muestra la integral definida de la función f(x) trabajando entre el intervalo a y b.

Las integrales definidas siguen propiedades de suma que nos permiten simplificar nuestros cálculos.

Propiedades de las integrales definidas

Propiedad 1: Los límites de cualquier integral definida se pueden intercambiar, se agrega un signo menos al intercambiar los límites.

$\int^{b}_{a}f(x)dx = -\int^{a}_{b}f(x)dx$

Propiedad 2: si los límites superior e inferior son iguales, entonces el valor de la integral es cero.

$\int^{a}_{a}f(x)dx = 0$

Propiedad 3: Cuando una función se multiplica por una constante, su integral también se multiplica por esa constante.

$\int^{b}_{a}cf(x)dx = c\int^{b}_{a}f(x)dx$

Propiedad 4: Las integrales definidas se pueden descomponer en sumas y diferencias.

$\int^{b}_{a}(f(x) \pm g(x))dx = \int^{b}_{a}f(x)dx \pm \int^{b}_{a}g(x)dx$

Propiedad 5: Los intervalos de las integrales se pueden descomponer.

$\int^{b}_{a}f(x)dx = \int^{c}_{a}f(x)dx + \int^{b}_{c}f(x)dx$

Integrales definidas como área

El cálculo del área delimitada por la curva es una de las aplicaciones más importantes de las integrales. Las integrales definidas nos permiten calcular el área delimitada por cualquier curva f(x) entre un punto fijo x = a y un punto variable x.

Ahora, dado que las integrales definidas calculan la suma de tiras rectangulares muy pequeñas como se muestra en la figura anterior, se pueden usar para calcular el área bajo la curva. En este caso, el área bajo la curva estará dada por,

$\int^{b}_{a}f(x)dx = [F(x)]^{b}_{a} = F(b) - F(a)$

Donde, F(x) = $\int f(x)dx$

El área delimitada por la curva sobre el eje x

Considere la función dada a continuación en el gráfico. La función se encuentra completamente por encima del eje x. Nos interesa calcular el área encerrada entre esta curva y el eje x entre los puntos x = ay x = b. Este caso es bastante simple, solo requiere que calculemos el área bajo la curva

Entonces, cuando la curva se encuentra completamente por encima del eje x, el área se convierte en,

$\int^{b}_{a}f(x)dx = F(b) - F(a)$

El área delimitada por la curva no completamente por encima del eje x

En la siguiente figura, una parte de la curva se encuentra debajo del eje x. La función es f(x) = -x ² + 1

La región de interés está debajo del eje x y la evaluación de la integral en esta parte nos lleva a un área negativa. Esto no es posible ya que el área no puede ser negativa. Si una función se encuentra tanto por encima del eje x como por debajo del eje x en algunos puntos. Luego, debemos tener especial cuidado al calcular el área porque si se calculan juntas, las áreas positivas y negativas se cancelarán entre sí y no obtendremos el valor correcto del área. Entonces, en este caso, los límites deben descomponerse de manera que se separen ambas integrales, y se deben sumar con sus valores absolutos.

Digamos que una función viene dada por f(x), la función se encuentra por encima del eje x entre [0,3] y por debajo del eje x entre (3,∞). El objetivo es calcular el área encerrada por la función entre [0,5].

Entonces, A = $\int^{5}_{0}f(x)dx$

⇒A = $\int^{3}_{0}f(x)dx + |\int^{5}_{3}f(x)dx |$

Veamos algunos problemas de muestra.

Problemas de muestra

Pregunta 1: Calcula el área encerrada por la función f(x) y el eje x entre x = 0 a x = 1.

f(x) = 3

Responder:

$\int^{1}_{0} f(x)dx$

⇒ $\int^{3}_{0}(3 )dx$

⇒ $3[3x]^{3}_{0}$

⇒ $9[x]^{3}_{0}$

⇒ $9(3)$

⇒ 27

Pregunta 2: Calcula el área encerrada por la función f(x) y el eje x entre x = 0 a x = 3.

f(x) = x2 + ²

Responder:

$\int^{3}_{0} f(x)dx$

⇒ $\int^{3}_{0}(x^2 + 2)dx$

⇒ $\int^{3}_{0}x^2dx + \int^{3}_{0}2dx$

⇒ $[\frac{x^3}{3}]^{3}_{0} +[2x]^{3}_{0}$

⇒ $[\frac{3^3}{3} - 0] +[2(3) - 0]$

⇒9 + 6

⇒ 15

Pregunta 3: Calcula el área encerrada por la función f(x) y el eje x entre x = 0 a x = 3.

f(x) = 3x

Responder:

$\int^{3}_{0} f(x)dx$

⇒ $\int^{3}_{0}(3x )dx$

⇒ $3[\frac{x^2}{2}]^{3}_{0}$

⇒ $3[\frac{3^2}{2} - 0]$

⇒ $\frac{3^3}{2}$

⇒ $\frac{27}{2}$

Pregunta 4: Calcula el área encerrada por la función f(x) y el eje x entre x = 0 a x = $\frac{\pi}{2}$ .

f(x) = sen(x) + 2

Responder:

$\int^{\frac{\pi}{2}}_{0} f(x)dx$

⇒ $\int^{\frac{\pi}{2}}_{0}(sin(x) + 2)dx$

⇒ $\int^{\frac{\pi}{2}}_{0}sin(x)dx + \int^{\frac{\pi}{2}}_{0}2dx$

⇒ $[-cos(x)]^{\frac{\pi}{2}}_{0} + [2x]^{\frac{\pi}{2}}_{0}$

⇒ $1 + 2(\frac{\pi}{2} - 0)$

⇒ $1 +\pi$

Pregunta 5: Calcula el área encerrada por la función f(x) y el eje x entre x = 0 a x = 1.

f(x) = ^-ex

Responder:

$\int^{1}_{0} -e^xdx$

Ahora esta función se encuentra completamente debajo del eje x, por lo que solo se considerará la magnitud del área, se ignorará el signo.

⇒ $\int^{1}_{0} -e^xdx$

⇒ $[-e^x]^{1}_{0}$

⇒ $[e^x]^{0}_{1}$

⇒1 – mi

Sólo se considerará la magnitud de esta área.

Pregunta 6: Calcular el área por la función f(x) entre [0,3].

$f(x)= \begin{cases} -3x,& \text{if } x\geq 1\\ x, & \text{otherwise} \end{cases}$

Solución:

Es obvio por la definición que la función se vuelve negativa después de x >=1.

Entonces, la integral debe descomponerse en x = 1.

$\int^{3}_{0}f(x)dx$

⇒ $\int^{1}_{0}f(x)dx + \int^{3}_{1}f(x)dx$

⇒ $\int^{1}_{0}xdx + \int^{3}_{1}(-3x)dx$

⇒ $[\frac{x^2}{2}]^{1}_{0} + [\frac{-3x^2}{2}]^{3}_{1}$

⇒ $[\frac{1}{2}] + |(-3)[\frac{3^2}{2} - \frac{1^2}{2}]|$

⇒ $\frac{1}{2}+ |(-3)4|$

⇒ $\frac{1}{2}+ 12$

⇒ $\frac{25}{2}$