Clase 12 RD Sharma Solutions – Capítulo 1 Relaciones – Ejercicio 1.1 | conjunto 2

Pregunta 11. ¿Es cierto que toda relación simétrica y transitiva es también reflexiva? Dar razones.

Solución:

Verificaremos esto tomando un ejemplo.

Considere un conjunto A = {1, 2, 3} y una relación R en A tal que R = { (1, 2), (2,1), (2,3), (1,3) }

La relación R sobre el conjunto A es simétrica y transitiva.

Pero no es reflexivo.

(1,1),(2, 2) y (3,3) ∉ R.

Por lo tanto, R no es una relación reflexiva.

Por lo tanto, no es cierto que toda relación que es simétrica y transitiva también sea reflexiva porque es posible que todos los pares de tipo (x, x) no estén presentes en la relación.

Pregunta 12. Se dice que un entero m está relacionado con otro entero n si m es múltiplo de n. Compruebe si la relación es simétrica, reflexiva y transitiva.

Solución:

Definamos una relación tal que 

R = {m, n : m, n ∈ Z, m = k×n} donde, k ∈ N (número natural)

Primero comprobemos si la relación es reflexiva o no. Se dice que una relación ‘R’ sobre un conjunto ‘A’ es reflexiva si (x R x) ∀ x ∈ A, es decir (x, x) ∈ R ∀ x ∈ A.

Sea m un elemento de R.

Entonces, m = k×m es cierto para k=1

(m, m) ∈ R.

Entonces, R es reflexivo. 

Compruebe si la relación es una relación simétrica o no. Una relación R sobre el conjunto A es simétrica si (a, b)∈ R y (b, a)∈ R para todo (a, b)∈ A.

Sea (m, n) ∈ R 

⇒ m = k×n para algún k ∈ N

y según la transitividad, n = (1/k)×m para algún k ∈ N pero, 1/k ∉ N.

Entonces, R no es una relación simétrica. 

Ahora comprueba si la relación es transitiva o no. Se dice que una relación ‘R’ es Transitiva sobre el conjunto ‘A’ si (x, y) ∈ R y (y, z) ∈ R entonces (x, z) ∈ R ∀ x, y, z ∈ A.

Sean m, n, o elementos cualesquiera de R entonces, (m, n) y (n, o) ∈ R

⇒ m = k1×n y n = k2×o para algún k1, k2 ∈ N

⇒ m = (k1×k2)×o 

⇒ (m, o) ∈ R.

Entonces, R es una relación transitiva. 

Pregunta 13. Demuestre que la relación “ ≥ ” en el conjunto R de todos los números reales es reflexiva, transitiva pero no simétrica.

Solución:

Definamos una relación R como

R = { (a, b) a, b ∈ R ; un ≥ segundo }

Primero comprobemos si la relación es reflexiva o no. Se dice que una relación ‘R’ sobre un conjunto ‘A’ es reflexiva si (x R x) ∀ x ∈ A, es decir (x, x) ∈ R ∀ x ∈ A.

Sea a un elemento de R.

⇒ un ∈ R

⇒ a ≥ a , que siempre es cierto.

⇒ (a, a) ∈ R 

Por lo tanto, R es una relación reflexiva.

Compruebe si la relación es una relación simétrica o no. Una relación R sobre el conjunto A es simétrica si (a, b)∈ R y (b, a)∈ R para todo (a, b)∈ A.

Sean (a, b) ∈ R.

⇒ un ≥ segundo 

⇒ b ≥ a [según la transitividad] 

pero no siempre es cierto excepto cuando a=b.

⇒ (b, a) ∉ R 

Por lo tanto, R no es una relación simétrica.

Ahora comprueba si la relación es transitiva o no. Se dice que una relación ‘R’ es Transitiva sobre el conjunto ‘A’ si (x, y) ∈ R y (y, z) ∈ R entonces (x, z) ∈ R ∀ x, y, z ∈ A.

Sean (a, b) y (b, c) ∈ R

⇒ a ≥ b y b ≥ c

⇒ un ≥ segundo ≥ c 

⇒ un ≥ c

⇒ (a, c) ∈ R

Por lo tanto, R es una relación transitiva.

Pregunta 14. Da un ejemplo de una relación. Cual es

(i) Reflexivo y simétrico pero no transitivo. 
(ii) Reflexivo y transitivo pero no simétrico. 
(iii) Simétrica y transitiva pero no reflexiva. 
(iv) Simétrico pero ni reflexivo ni transitivo. 
(v) Transitiva pero no reflexiva ni simétrica.

Solución:

Relación reflexiva:
Se dice que una relación ‘R’ sobre un conjunto ‘A’ es reflexiva si (x R x) ∀ x ∈ A, es decir (x, x) ∈ R ∀ x ∈ A.

Relación simétrica:
Una relación R en el conjunto A es simétrica si (a, b)∈ R y (b, a)∈ R para todo (a, b)∈ A.

Relación Transitiva:
Se dice que una relación ‘R’ es Transitiva sobre el conjunto ‘A’ si (x, y) ∈ R y (y, z) ∈ R entonces (x, z) ∈ R ∀ x, y, z ∈ A .

Sea A un conjunto como,
A = {1, 2, 3J

(i) Sea R la relación sobre A tal que

R = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (1, 2), (2, 1), (2, 3}

Así, R es reflexivo y simétrico, pero no transitivo.

(ii) Sea R la relación sobre A tal que AR= { (1,1), (2, 2), (3, 3), (1, 2), (1, 3), (2, 3) }

Claramente, la relación R sobre A es reflexiva y transitiva, pero no simétrica.

(iii) Sea R la relación sobre A tal que R = { (1, 2), (2, 1), (1, 3), (3,1), (2, 3) }

Vemos que la relación R sobre A es simétrica y transitiva, pero no reflexiva.

(iv) Sea R la relación sobre A tal que R = { (1, 2), (2, 1), (1, 3), (3, 1) }

La relación R sobre A es simétrica, pero no reflexiva ni transitiva.

(v) Sea R la relación sobre A tal que R = { (1, 2), (2, 3) ,(1, 3) }

La relación R sobre A es transitiva, pero no simétrica ni reflexiva.

Pregunta 15. Dada la relación R={(1, 2), (2, 3)} sobre el conjunto A={1, 2, 3}, suma un número mínimo de pares ordenados para que la relación ampliada sea simétrica, reflexiva y transitiva.

Solución:

Hemos dado la relación,

R = {(1, 2), (2,3)}

Para que R sea reflexivo debe tener (1,1), (2, 2), (3,3).

Para que R sea una relación simétrica, todos los pares ordenados al intercambiar los elementos deben estar presentes en la relación R. Por tanto, R debe contener (2,1 ) y (3, 2), (3,1), (1, 3).

Y para ser una relación transitiva, debe contener (1,3).

Por tanto, el número de pares ordenados que hay que sumar a R es 7, es decir, {(1,1), (2, 2), (3,3), (1,3), (3,1), (2, 1), (3, 2)}.

Pregunta 16. Sean A={1, 2, 3} y R={(1, 2), (1, 1), (2, 3)} una relación sobre A. ¿Qué número mínimo de pares ordenados hay que sumar? en R para que pueda convertirse en una relación transitiva en A.

Solución:

La relación R sobre A es tal que R = {(1, 2), (1,1), (2,3)}

Para que la relación R sea transitiva, debemos tener (1, 2) ∈ R, ya que (2, 3) ∈ R 

⇒ (1,3) ∈ R

Por lo tanto, el número mínimo de pares ordenados que deben agregarse a la relación R es 1, es decir, (1, 3) para que sea una relación transitiva en A. 

Pregunta 17. Sean A={a, b, c} y una relación R definida sobre A como sigue
R={(a, a), (b, c), (a, b)}. Luego escriba el número mínimo de pares ordenados que se agregarán en R para que sea reflexivo y transitivo.

Solución:

Hemos dado un conjunto A = {a, b, c} y una relación R={(a, a), (b, c), (a, b)}.

Para que la relación sea reflexiva, debe contener (b, b) y (c, c).

Y para que la relación sea transitiva R debe contener (a, c) ya que (a, b) ∈ R y (b, c) ∈ R

Por lo tanto, el número mínimo de pares ordenados que se agregarán a la relación R es (b, b), (c, c) y (a, c), es decir, 3. 

Pregunta 18. Cada uno de los siguientes define una relación en N 

(i) x > y, x, y ∈ N
(ii) x + y =10, x, y ∈ N
(iii) xy es un cuadrado de entero,   x, y ∈ N
(iv) x + 4y =10, x, y ∈ norte

Determine cuáles de las relaciones anteriores son simétricas , reflexivas y transitivas.

Solución:

(i) Hemos dado la relación definida como 
R = {(x > y), x, y ∈ N}

Primero comprobemos si la relación es reflexiva o no. Se dice que una relación ‘R’ sobre un conjunto ‘A’ es reflexiva si (x R x) ∀ x ∈ A, es decir (x, x) ∈ R ∀ x ∈ A.

si (x, x) ∈ R entonces, x > x, lo cual no es cierto.
⇒ (x, x) ∉ R

Entonces, la relación no es una relación reflexiva.

Ahora compruebe si la relación es una relación simétrica o no. Una relación R sobre el conjunto A es simétrica si (a, b)∈ R y (b, a)∈ R para todo (a, b)∈ A.

Sea (x, y) ∈ R, entonces x R y 

⇒ x > y

y según la propiedad simétrica, (y, x) ∈ R

⇒ y > x, pero no es cierto ya que x > y

⇒ (x, y) ∈ R pero (y, x) ∉ R

Entonces, la relación no es una relación simétrica.

Ahora comprueba si la relación es transitiva o no. Se dice que una relación ‘R’ es Transitiva sobre el conjunto ‘A’ si (x, y) ∈ R y (y, z) ∈ R entonces (x, z) ∈ R ∀ x, y, z ∈ A.

Sean (x, y) ∈ R y (y, z) ∈ R

⇒ x > y y y > z

⇒ x > z

⇒ (x, z) ∈ R

Entonces, R también es una relación transitiva.

(ii) Hemos dado la relación definida como
     R = { x + y =10, x, y ∈ N }

Claramente, la relación será R = { (1, 9), (2, 8), (3, 7), (4, 6), (5, 5), (6, 4), (7, 3) , (8, 2), (9, 1) }

Primero comprobemos si la relación es reflexiva o no. Se dice que una relación ‘R’ sobre un conjunto ‘A’ es reflexiva si (x R x) ∀ x ∈ A, es decir (x, x) ∈ R ∀ x ∈ A.

Podemos ver que, (1, 1) ∉ R.

Entonces, R no es una relación reflexiva.

Ahora compruebe si la relación es una relación simétrica o no. Una relación R sobre el conjunto A es simétrica si (a, b)∈ R y (b, a)∈ R para todo (a, b)∈ A.

Observando la relación anterior, podemos decir que ∀ (x, y) ∈ R, (y, x) ∈ R.

Entonces, R es una relación simétrica.

Ahora comprueba si la relación es transitiva o no. Se dice que una relación ‘R’ es Transitiva sobre el conjunto ‘A’ si (x, y) ∈ R y (y, z) ∈ R entonces (x, z) ∈ R ∀ x, y, z ∈ A.

En la relación, (1, 9) ∈ R y (9, 1) ∈ R pero (1, 1) ∉ R

Entonces, R no es una relación transitiva.

(iii) Hemos dado la relación como
      R = { xy es un cuadrado de entero, x, y ∈ N }

Primero comprobemos si la relación es reflexiva o no. Se dice que una relación ‘R’ sobre un conjunto ‘A’ es reflexiva si (x R x) ∀ x ∈ A, es decir (x, x) ∈ R ∀ x ∈ A.

Claramente, (x, x) ∈ R ∀ x ∈ N

ya que, x ² es el cuadrado de un entero para cualquier x ∈ N.

Por lo tanto, R es una relación reflexiva.

Ahora compruebe si la relación es una relación simétrica o no. Una relación R sobre el conjunto A es simétrica si (a, b)∈ R y (b, a)∈ R para todo (a, b)∈ A.

Sea (x, y) ∈ R

⇒ xy es el cuadrado de un entero

⇒ yx también es un cuadrado del mismo entero ya que, xy = yx

⇒ (y, x) ∈ R

Entonces, la relación es una relación simétrica.

Ahora comprueba si la relación es transitiva o no. Se dice que una relación ‘R’ es Transitiva sobre el conjunto ‘A’ si (x, y) ∈ R y (y, z) ∈ R entonces (x, z) ∈ R ∀ x, y, z ∈ A.

Sean (x, y) ∈ R y (y, z) ∈ R

⇒ xy es un cuadrado de un número entero e yz es un cuadrado de un número entero

Entonces sean xy = m ² y yz = n ² para algún m, n ∈ Z

⇒ x = m ² /y y z = n ² /y

⇒ xz = (m ² n ² )/y ² , que también es el cuadrado de un número entero

⇒ (x, z) ∈ R

Entonces, R es una relación transitiva.

(iv) Hemos dado la relación como
      R = { x + 4y =10, x, y ∈ N }

Primero comprobemos si la relación es reflexiva o no. Se dice que una relación ‘R’ sobre un conjunto ‘A’ es reflexiva si (x R x) ∀ x ∈ A, es decir (x, x) ∈ R ∀ x ∈ A.

Claramente, la relación será R = {(2, 2), (6, 1)} [puesto que x, y ∈ N]

(1, 1) ∉ R

Entonces, la relación R no es reflexiva.

Ahora compruebe si la relación es una relación simétrica o no. Una relación R sobre el conjunto A es simétrica si (a, b)∈ R y (b, a)∈ R para todo (a, b)∈ A.

Podemos ver que, (1, 6) R pero (6, 1) R

Entonces, R no es una relación simétrica.

Ahora comprueba si la relación es transitiva o no. Se dice que una relación ‘R’ es Transitiva sobre el conjunto ‘A’ si (x, y) ∈ R y (y, z) ∈ R entonces (x, z) ∈ R ∀ x, y, z ∈ A.

De la definición, podemos ver que R es una relación transitiva.