Pregunta 1: Los ángulos exteriores, obtenidos al producir la base de un triángulo en ambos sentidos, son 104° y 136°. Encuentra todos los ángulos del triángulo.
Solución:
Teoremas utilizados: El teorema del ángulo exterior establece que la medida de cada ángulo exterior de un triángulo es igual a la suma de los ángulos interiores opuestos y no adyacentes. (Teorema del ángulo exterior)
∠ACD = ∠ABC+ ∠BAC [Teorema del ángulo exterior]
Encuentre ∠ABC:
∠ABC+ ∠ABE = 180° [Par lineal]
∠ABC+ 136° = 180°
∠ABC = 44°
Encuentre ∠ACB:
∠ACB + ∠ACD = 180° [Par lineal]
∠ACB + 1040 = 180°
∠ACB = 76°
Ahora,
Suma de todos los ángulos de un triángulo = 180°
∠A + 44° + 76° = 180°
∠A = 180° − 44°−76°
∠ A = 60°
Los ángulos del triángulo son ∠ A = 60°, ∠B = 44° y ∠C = 76° (respuesta)
Pregunta 2: En un △ABC, las bisectrices internas de ∠B y ∠C se encuentran en P y las bisectrices externas de ∠B y ∠C se encuentran en Q. Demuestra que ∠BPC+ ∠BQC = 180°.
Solución:
En △ABC,
BP y CP son una bisectriz interna de ∠B y ∠C respectivamente
=> ∠B externo = 180° – ∠B
BQ y CQ son una bisectriz externa de ∠B y ∠C respectivamente.
=> ∠C externo = 180° – ∠C
En el triángulo BPC,
∠BPC+ 1/2∠B + 1/2∠C = 180°
∠BPC = 180° – (∠B + ∠C) …. (1)
En el triángulo BQC,
∠BQC+ 1/2(180° – ∠B) + 1/2(180° – ∠C) = 180°
∠BQC+ 180° – (∠B + ∠C) = 180°
∠BPC+ ∠BQC = 180° [Usando (1)] (Probado)
Pregunta 3: En la figura, los lados BC, CA y AB de un △ABC se han producido a D, E y F respectivamente. Si ∠ACD = 105° y ∠EAF = 45°, encuentra todos los ángulos del △ABC.
Solución:
Teoremas utilizados:
(i) El teorema del ángulo exterior establece que la medida de cada ángulo exterior de un triángulo es igual a la suma de los ángulos interiores opuestos y no adyacentes. (Teorema del ángulo exterior)
(ii) La suma de un par de ángulos lineales es 180°
(iii) Los ángulos verticalmente opuestos son iguales.
∠BAC = ∠EAF = 45° [Ángulos verticalmente opuestos]
∠ACD = 180° – 105° = 75° [Par lineal]
∠ABC = 105° – 45° = 60° [Propiedad del ángulo exterior]
Pregunta 4: Calcula el valor de x en cada una de las siguientes figuras:
(i)
Solución:
∠BAC = 180° – 120° = 60° [Par lineal]
∠ACB = 180° – 112° = 68° [Par lineal]
Suma de todos los ángulos de un triángulo = 1800
x = 180° − ∠BAC − ∠ACB
= 180° − 60° − 68° = 52° (respuesta)
(ii)
Solución:
∠ABC = 180° – 120° = 60° [Par lineal]
∠ACB = 180° – 110° = 70° [Par lineal]
Suma de todos los ángulos de un triángulo = 180°
x = ∠BAC = 180° − ∠ABC − ∠ACB
= 180° – 60° – 70° = 50° (respuesta)
(iii)
Solución:
∠BAE = ∠EDC = 52° [Ángulos alternos]
Suma de todos los ángulos de un triángulo = 180°
x = 180° – 40° – 52° = 180° − 92° = 88° (respuesta)
(iv)
Solución:
CD se produce para encontrarse con AB en E.
∠BEC = 180° – 45° – 50° = 85° [Suma de todos los ángulos de un triángulo = 180°]
∠AEC = 180° – 85° = 95° [Par lineal]
Ahora, x = 95° + 35° = 130° [Propiedad del ángulo exterior]
Respuesta: x = 130°
Pregunta 5: En la figura, AB divide ∠DAC en la razón 1 : 3 y AB = DB. Determinar el valor de x.
Solución:
Sea ∠BAD = y, ∠BAC = 3y
∠BDA = ∠BAD = y (Como AB = DB)
Ahora,
∠BAD + ∠BAC+ 108° = 180° [Par lineal]
y + 3y + 108° = 180°
4y = 72°
o y = 18°
Ahora, en ΔADC
∠ADC+ ∠ACD = 108° [Propiedad del ángulo exterior]
x + 18° = 180°
x = 90° (respuesta)
Pregunta 6: ABC es un triángulo. La bisectriz del ángulo exterior B y la bisectriz de ∠C se intersecan en D. Demuestra que ∠D = (1/2)∠A.
Solución:
Sea ∠ABE = 2x y ∠ACB = 2y
∠ABC = 180° – 2K [Par lineal]
∠A = 180° — ∠ABC — ∠ACB [Propiedad de la suma de ángulos]
= 180° -180° + 2x – 2y
= 2(x – y)
Ahora, ∠D = 180° – ∠DBC – ∠DCB
∠D = 180° -(x + 180° – 2x) – y
= x – y
= (1/2)∠A (Por lo tanto probado)
Pregunta 7: En la figura , AC es perpendicular a CE y ∠A:∠B:∠C = 3:2:1 Encuentra ∠ECD.
Solución:
Dado que ∠A:∠B:∠C = 3:2:1
Sean los ángulos 3x, 2x y x.
3x + 2x + x = 180° [Propiedad de la suma de ángulos]
6x = 180°
x = 30° = ∠ACB
Por lo tanto,
∠ECD = 180° – ∠ACB – 90° [Par lineal]
= 180° – 30° – 90°
= 60° (respuesta)
Pregunta 8: En la figura, AM es perpendicular a BC y AN es la bisectriz de ∠ A. Si ∠ B = 65° y ∠ C = 33° encuentra ∠ MAN.
Solución:
Sea ∠BAN = ∠NAC = x [AN biseca ∠A]
Por lo tanto, ∠ANM = x + 33° [Propiedad del ángulo exterior]
En △AMB,
∠BAM = 90° – 65° = 25° [Propiedad del ángulo exterior]
Por lo tanto, ∠MAN = ∠BAN – ∠BAM = x – 25°
Ahora en △MAN,
(x – 25°) + (x + 33°) + 90° = 180° [Propiedad de la suma de ángulos]
o, 2x + 8° = 90°
o x = 41°
Por lo tanto, ∠MAN = 41° – 25° = 16° (respuesta)
Pregunta 9: En un △ABC, AD biseca ∠A y ∠C > ∠B. Demuestra que ∠ADB > ∠ADC.
Solución:
Supongamos que ∠BAD = ∠CAD = x. [dado AD biseca ∠A]
Dado que,
∠C > ∠B
o, ∠C+ x > ∠B + x [Suma x en ambos lados]
o, 180° – ∠ADC > 180° – ∠ADB [Propiedad de la suma de ángulos]
o, – ∠ADC >- ∠ADB
o, ∠ADB > ∠ADC. (demostrado)
Pregunta 10: En un △ABC, BD es perpendicular a AC y CE es perpendicular a AB. Si BD y CE se cortan en O, pruebe que ∠BOC = 180° -∠A.
Solución:
En el cuadrilátero AEOD,
∠A + ∠AEO + ∠EOD + ∠ADO = 360°
o, ∠A + 90° + 90° + ∠EOD = 360°
o, ∠A + ∠BOC = 360° – 90° – 90° [∠EOD = ∠BOC ya que son ángulos verticalmente opuestos]
o, ∠BOC = 180° – ∠A (probado)
Pregunta 11: En la figura, AE biseca ∠CAD y ∠B = ∠C. Demostrar que AE || ANTES DE CRISTO.
Solución:
Sea ∠B = ∠C = x
Después,
∠CAD = ∠B + ∠C = 2x (ángulo exterior)
∠CAD/2 = x
∠EAC = ∠C [AE biseca ∠CAD y ∠C = x asumido]
Estos son los ángulos interiores de las rectas AE y BC,
Por lo tanto,
ES || BC (probado)
Pregunta 12: En la figura, AB || DELAWARE. Encuentre ∠ACD.
Solución:
Dado que, AB || Delaware
Por lo tanto,
∠ABC = ∠CDE = 40° [Ángulos alternos]
∠ACB = 180° – ∠ABC – ∠BAC
= 180° – 40° – 30°
= 110°
Por lo tanto,
∠ACD = 180° – ∠ACB [Par lineal]
=70°
Pregunta 13. ¿Cuáles de las siguientes afirmaciones son verdaderas (V) y cuáles son falsas (F):
(i) La suma de los tres ángulos de un triángulo es 180°.
Respuesta: [Verdadero]
(ii) Un triángulo puede tener dos ángulos rectos.
Respuesta: [Falso]
(iii) Todos los ángulos de un triángulo pueden ser menores de 60°.
Respuesta: [Falso]
(iv) Todos los ángulos de un triángulo pueden ser mayores de 60°.
Respuesta: [Falso]
(v) Todos los ángulos de un triángulo pueden ser iguales a 60°.
Respuesta: [Verdadero]
(vi) Un triángulo puede tener dos ángulos obtusos .
Respuesta: [Falso]
(vii) Un triángulo puede tener como máximo un ángulo obtuso.
Respuesta: [Verdadero]
(viii) Si un ángulo de un triángulo es obtuso, entonces no puede ser un triángulo rectángulo .
Respuesta: [Verdadero]
(lx) Un ángulo exterior de un triángulo es menor que cualquiera de sus ángulos opuestos interiores.
Respuesta: [Falso]
(x) Un ángulo exterior de un triángulo es igual a la suma de los dos ángulos interiores opuestos.
Respuesta: [Verdadero]
(xi) Un ángulo exterior de un triángulo es mayor que los ángulos interiores opuestos.
Respuesta: [Verdadero]
Pregunta 14: Completa los espacios en blanco para hacer verdaderas las siguientes afirmaciones
(i) La suma de los ángulos de un triángulo es _________.
Respuesta: 180°
(ii) Un ángulo exterior de un triángulo es igual a los dos ángulos opuestos ____________.
Respuesta: interiores
(iii) Un ángulo exterior de un triángulo siempre es _________________ que cualquiera de los ángulos opuestos interiores.
Respuesta: mayor
(iv) Un triángulo no puede tener más de ______________________ ángulos rectos.
Respuesta: uno
(v) Un triángulo no puede tener más de ________________________ ángulos obtusos.
Respuesta: uno
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Artículo escrito por akashkumarsen4 y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA